文摘
最近,崔et al。(2008)的研究扩展的Apostol-Bernoulli Apostol-Euler多项式的秩序和多个赫维茨ζ函数。在本文中,我们定义很的类型欧拉数和欧拉多项式。我们获得的生成功能和,分别。我们也有很的类型的分布关系欧拉多项式。最后,我们获得ζ函数与很有关联的类型欧拉数和Hurwitz_s类型ζ函数与很有关联的类型欧拉多项式为负整数。
1。介绍
让是一个固定的奇怪'。在这篇文章中,和和将分别表示的戒指吗进理性的整数,领域进有理数、复数域和完成代数关闭。让是自然数的集合。让归一化指数的估值与当一谈到扩展,被认为是一个不确定的,是一个复杂的号码吗或者一个进数量。如果通常一个假设如果然后一个假设我们也使用符号
对于一个固定的奇怪的正整数与,让 在哪里在于。定义的分布
我们说是一致可微函数在一个点,表示这个属性,如果被除数的区别有一个限制作为。为,进不变积分的定义是 的费密子进措施上被定义为 和费密子进不变积分上被定义为 为。详细信息请参阅[1- - - - - -10]。
古典欧拉数定义的生成功能 和这些数字内插的欧拉ζ函数被定义为
后Carlitz [11)给扩展的古典伯努利数和多项式扩展的伯努利方程和欧拉数和多项式已经研究了几个作者(cf。1- - - - - -16,18- - - - - -26,34- - - - - -39])。
通过使用进积分,欧拉数被定义为 的欧拉数通过定义生成函数 (cf。8,26])。金(22给一个新的建设欧拉数可以唯一地决定了吗 取代通常的惯例通过。
扭曲的欧拉数字和欧拉多项式是非常重要的在几个领域的数学和物理,所以他们已经被许多作者研究。西姆西可(37,38)构建生成的功能广义欧拉数字和多项式和扭曲广义欧拉数字和多项式。最近,黄懿慧金等。27]给出了扭曲欧拉ζ函数与扭曲欧拉数字和获得欧拉的身份。他们也有扩展欧拉函数的负整数和扭曲的欧拉ζ函数的模拟。金(24扭曲的定义)欧拉数字和高阶多项式和研究多个扭曲欧拉ζ函数。
Apostol-Bernoulli和Apostol-Euler多项式和数字已经研究了几个作者(cf。15,17,32,33,40,41])。最近,扩展Apostol-Bernoulli和Apostol-Euler多项式和数字已经研究了许多作者怀着极大的兴趣。在[15),Cenkci,可以引入和调查伯努利多项式的扩展。崔et al。16研究了一些扩展的Apostol-Bernoulli Apostol-Euler多项式的秩序和多个赫维茨ζ函数。
在本文中,我们定义很的类型欧拉数字和欧拉多项式。然后,我们有很的类型的生成功能欧拉数字和欧拉多项式和分布很有关系的类型欧拉多项式。节2,我们定义很有型欧拉数和欧拉多项式。然后,我们获得的生成功能和,分别。我们也有很的类型的分布关系欧拉多项式。节3,我们获得ζ函数与很有关联的类型欧拉数字和赫维茨的类型ζ函数与很有关联的类型欧拉多项式为负整数。
2。在扩展的Apostol-Euler数字和多项式
在本节中,我们将假定与为,让循环群的秩序,让局部不变的空间的空间,也就是说,
让。我们定义很有型欧拉数的 然后,我们有 在哪里二项式系数。
很有型的欧拉多项式定义为 自 我们有从(2。4), 由(2。2)和(2。6),我们有 自 我们有 因此,我们也有
请注意,(2。7)和(2.10)是两个表示。因此,我们有以下结果。
定理2.1。为和,一个
现在,我们将找到的生成功能和,分别。让的生成功能。然后,我们有 因此,生成函数的= 请注意, 生成的函数,我们有 因此,我们获得以下定理。
定理2.2。为,一个
自(2.16)=生成函数(2.17)=生成功能,我们有下面的结果。
推论2.3。为和,一个
现在,我们将找到的分布关系。由(2。4),我们有 注意,为奇数和, 由(2.19),我们有 因此,我们获得的分布关系如下。
定理2.4。为,与,一个
3所示。上基本进一步评论ζ函数与很有关联的类型欧拉数字和多项式
在本节中,我们假设与。让。为,ζ函数与很有关联的类型欧拉数定义为 分析在整个复杂的是哪一个飞机。替换与成和使用推论2。3,那么我们到达
现在,我们也考虑赫维茨的类型ζ函数与很有关联的类型欧拉多项式如下: 替换与成和使用推论2。3,那么我们到达 因此,我们获得ζ函数与很有关联的类型欧拉数字和赫维茨的类型ζ函数与很有关联的类型欧拉多项式为负整数。