文摘
我们将学习一个新的伯努利多项式与模拟的进积分。此外,我们检查Hurwitz-typeζ函数,取代进理性的整数与一个模拟对于一个进数量与,插入伯努利多项式的模拟。
1。介绍
让是一个固定的奇质数。在这篇论文,,,将分别代表的戒指进理性的整数,领域进有理数,复数域,进完成代数关闭。的进的绝对值归一化,和是一个进数与。我们使用的符号 (cf。1- - - - - -13)为所有。因此,。对于一个固定的奇怪的正整数与,让 在哪里在于。对于任何, 是一个分布(cf。1- - - - - -13])。
我们说一致可微函数在一个点吗,表示这个属性,如果被除数的区别 有一个限制作为(cf。2,6,7])。的进函数的积分被定义为
通过使用进积分上众所周知, 在哪里。然后我们注意到伯努利多项式被定义为 从(1。6)和(1。7),我们有 对所有。我们注意到,。
节2,我们研究一个伯努利多项式与模拟的进-integrals-simply,我们说伯努利多项式。节3,我们检查Hurwitz-typeζ函数,取代进理性的整数与一个模拟对于一个进数量与,插入伯努利多项式的模拟。
2。一个新的模拟的伯努利多项式
在这一部分中,从的角度(1。8),我们可以定义一个新的多项式模拟的伯努利方程如下: 我们注意到,被称为“伯努利数。然后我们发现的一些性质伯努利数字和多项式如下。
定理2.1。为,一个
证明。从(1。5),我们可以找到以下:
定理2.2。为和被一个奇怪的正整数,一个
证明。从(1。5),我们可以推出(2.4)如下:
自和
为,和。
让的生成功能伯努利多项式如下:
从(2.2)和(2.7),我们可以得到以下定理。
定理2.3。让在上面的生成函数。然后,一个
证明。通过使用(2.2)和(2.7),我们可以推出(2.8)如下:
3所示。一个新的Hurwitz-Type公式ζ函数
在本节中,我们考虑到生成功能这插入伯努利多项式如下: 从(3.1),我们直接获得下面的定理。
定理3.1。为每一个,一个
证明。由两岸th分化(3.1),我们可以推出(3.2)如下:
我们的话,
为。从(3.2),我们得到一个扩展Hurwitz-typeζ函数如下:与和,我们定义
注意,函数在分析和他们有简单的杆。从(3.2),(3.4)和(3.5),我们可以看到Hurwitz-typeζ函数插入伯努利多项式如下。
定理3.2。为每一个,一个
承认
本文是2008年建国大学的支持。