招商银行地图恢复

摘要

宇宙学微波背景的估计是宇宙学研究的重要内容。然而，从诸如WMAP或最近的普朗克等全天空测量中估计CMB是具有挑战性的:CMB图通常是通过应用一些源分离技术来估计的，这些技术无法防止最终图受到噪声和前景残留的污染。这些伪污染，无论是噪声还是前景残余物，都是大多数宇宙学相关测试或评估的瘟神;这包括CMB透镜重建或非高斯特征搜索。在球面谐波中，一般采用简单的维纳滤波器进行降噪;然而，这并不能解释噪声的非平稳性。前景污染通常通过掩盖在地图中检测到的最强烈的残留来处理，这使得CMB的评估更难执行。在本文中，我们介绍了一种新的降噪框架，即线性迭代小波滤波的liw -滤波，由于基于小波的建模，在保持维纳滤波器高度期望的线性的同时，能够解释噪声的空间变异性。我们进一步证明，同样的过滤技术可以有效地减少前景污染，从而提供一个全球更清洁的CMB地图。给出了模拟普朗克数据的数值结果。

1.介绍

2009年年中，欧洲空间局(ESA)将最新的空间天文台普朗克送入轨道，用于研究宇宙微波背景(CMB)。这些数据具有特殊的科学重要性，因为它将为我们理解宇宙的诞生提供更多的见解。大多数宇宙学参数可以从这些CMB数据的研究中得到。在一系列成功的CMB实验(Archeops, Boomerang, Maxima, COBE和WMAP [1)，普朗克欧洲航天局任务将提供更准确的数据，这将是未来几十年的全天空高分辨率CMB数据参考。更准确地说，恢复有用的科学信息需要从几个天体物理成分的贡献中分离出CMB，即来自尘埃和同步加速器的银河系辐射、Sunyaev-Zel 'dovich (SZ)星团、Free-Free辐射、CO辐射等等，参见[2］．经典的CMB图估计方法是应用一些源分离方法。然而，应用非常复杂的源分离方法(见[3.- - - - - -6)并不能防止最终估计地图受到各种伪成分的污染:(i)仪器噪声和(ii)前景残余物。处理这些不同的污染源对于大多数与宇宙学相关的测试或评估是至关重要的:这包括CMB透镜重建[7或非高斯签名搜索。因此，解决噪声和前景残差降低的问题是非常重要的，也是本文的核心。

(一)仪器噪音
在全天空CMB实验中，非常特定的扫描模式导致仪器噪声接近高斯，显示出显著的空间变化:普朗克噪声远不是均匀的。更准确地说，噪声的统计量随空间而变化;在统计学领域，噪声被认为是非平稳的。作为说明，图1显示一个普朗克模拟的根均线（RMS）型仪器噪声图GHz。这些数据来源于[3.］．此外，虽然噪声在大尺度上是无关紧要的，但在小尺度上是主要的(例如，典型的普朗克)。迄今为止，用于CMB数据的源分离方法大多是线性方法:估计的CMB图可以表示为输入观测的所有像元的线性组合。因此，在CMB图中传播的仪器噪声也通常假定为非平稳高斯分布。
噪声可能是大多数宇宙学测试或重建的一个重要限制。高噪声水平会妨碍非高斯性测试，因为噪声映射可能比无噪声映射“高斯性更强”。宇宙学领域的经典方法通常是通过球面谐波的维纳滤波器来降低宇宙微波背景的噪声。如果表示宇宙微波背景辐射的理论功率谱对于噪声的功率谱，维纳滤波器的定义如下: 在哪里（resp。，)表示过滤后的图的球谐系数(对应于输入映射)．虽然这种方法利用了噪声在频率上的能量分布的一些知识，但它没有考虑其空间变化或非平稳性。这种非平稳性很可能在剧烈变化时产生高频率的全局非高斯信号。已知强非平稳性对CMB透镜重建有很强的影响(见[8)，造成了不希望的重建偏差。
另一种不太传统但经常遇到的降噪技术是局部维纳滤波。它可以归结为将傅里叶空间的维纳滤波器应用于像素域的小块上。这种方法的主要缺点是，虽然大的斑块应该被用来捕获噪声的非平稳性，但它们能够在比斑块大小更大的尺度上捕获相关性。

(b)前景残留
对已经非常复杂的cmb专用源分离方法的第一次评估已在[3.］．因此，提出了新的非常有效的方法Needlet ILC [4]、通用ILC [9]，smica [10]或GMCA [6］．然而，由于数据非常复杂，这些非常有效的方法都不能提供保证前景不受污染的CMB地图。如果残留污染在大范围内通常是低的(例如对于普朗克来说)，它通常在更高的频率下是显著的。剩余的污染很可能主要来自于银道面的点源或强特征。显然，这些残余物的存在极大地影响了对受污染的CMB地图进行的任何宇宙学测试。通常的方法是在任何后处理(例如，20到20天空通常被遮盖)。然而掩蔽提出了几个问题:(i)样本数量的限制,任何测试可以应用,限制其统计相关性和(2)屏蔽通常会使任何后期处理更加复杂的正常执行(例如,修复所需的面具通常是之前任何CMB透镜重建(7])。避免或至少限制掩膜的应用范围，将极大地有助于改进对估计CMB图进行的任何宇宙学测试。此外，掩蔽并不能防止未被探测到的点源残余物的存在，这些残余物很可能遍布天空。进一步减少前景剩余的数量显然是有帮助的。

(c)本文件的贡献
本文的贡献是双重的：(我)它引入了一种新的降噪框架，与经典的基于球谐的维纳滤波器相反，解释了噪声的非平稳性。这种新方法保持了滤波的线性。事实上，线性在这个领域是至关重要的，因为它使得通过蒙特卡罗模拟来研究误差传播更加方便。在这个框架中，我们使用了一个简单的，但有效的，基于小波的噪声建模，允许在不同尺度上的非平稳建模。这将在本节中讨论3.．(2)我们讨论了该方法的扩展，以进一步估计每个小波尺度的前景残差的近似贡献，通过均方根图。因此，可以在相同的过滤框架内解决污染减少问题。噪声/污染还原问题，作为二次正则化的重量，然后使用最近引入的基于近端微分的算法有效地解决了。提供了广泛的数值实验，显示了所提出的方法在减少截面中的噪声方面的有效性2．3和前景残差3．3．

2.非平稳噪声的CMB映射滤波

2．1．招商银行地图过滤

在一个非常普遍的背景下，更准确地说在普朗克的背景下，习惯上假设输入噪声数据，表示为在下面，被建模为所寻求的无噪声信号的线性组合噪声项： 间去相关和也是经典的假设。在接下来的内容中，我们将假设每个信号都是根据Healpix在球体上采样的[11采样网格。采样的CMB信号被认为是由样品．恢复估计数的可以写成逆问题。根据求解逆问题的贝叶斯方法，给出了求解逆问题的方法先天的关于兴趣信号的知识必须被表达出来。该推理框架特别适合于CMB去噪问题事先的假设可以被表述出来。事实上,自(12，证明了宇宙学微波背景可以近似为各向同性高斯随机场，具有较高的精度。这特别意味着它完全由它的功率谱来描述．

更准确地说，是CMB可由其在球谐中展开定义: 假设CMB的功率谱为完全高斯分布，它的球面谐波独立分布服从均值为0和方差的高斯分布： CMB的功率谱一般采用伪功率谱估计，其定义如下: 在哪里表示共轭．这先天的概率分布宇宙微波背景图正态分布是否有协方差矩阵在哪里为球谐基和它的伴随。矩阵斜着．这就产生了下面的CMB事先的概率分布： 在本节中，我们假设仪器噪声可以在像素域建模为一个非平稳但不相关的高斯场，这样

写不同,是一个多值高斯变量的实现与均值0和协方差矩阵．相关噪声的情况将在本节稍后讨论。从的高斯建模时，似然函数平凡地得到如下: 服从贝叶斯规则，的后验分布是以下内容： CMB图可以用最大值来估计后验（地图）估算器具有以下分析解决方案： 读者在这里识别经典的维纳滤波器。与球形谐波中的经典使用的维纳滤波器相反，（11)明确地解释了噪声的非平稳性。然而，这种维纳类解的计算评价提出了一些数值问题:噪声协方差矩阵在像素域是对角的，而CMB协方差矩阵在球谐域是对角的。出现在(11)表示为像素域: 在这个表达式中，矩阵为CMB在像素域的逆协方差矩阵。这个矩阵显然不是对角的。回忆,是秩序威尔金森微波各向异性探测器和对于普朗克来说，存储和处理这个矩阵是非常不现实的。作为一种替代方法，在这种情况下最有效的方法就是解线性方程组使用共轭梯度(CG， [13]） 例如。但是，在下一节中，我们宁愿利用最近引入的近端算法。该优化框架导致算法，其呈现比CG更低的收敛速度，而是更灵活地处理不同的过滤技术或更好地限制溶液。

2．1．1．迭代滤波

正如前一段所明确指出的，计算MAP解需要对一个方程组进行倒转，而这个方程组由于普朗克数据的大规模而变得棘手。最直接的数值求解方法是众所周知的共轭梯度。然而，虽然这种求解器被认为是求解线性方程组的快速和准确的数值方法，但它缺乏更现代的优化技术的灵活性。因此，我们宁愿选择更灵活的近端结石优化框架(见[14]及其参考文献)。

(a)灵活的优化框架:前后分离
的问题12）可以作为两个运营商的总和的最小化写入和： 这个函数为凸且下半连续可微;这个函数是严格凸的，连续的，可微的。因此，这类问题是唯一的解决办法(见[14])。如果的梯度，我们也假设这个梯度是李普希茨。在本文感兴趣的特定背景下，和．在这种情况下，一个有效的算法框架是在[14］．在近端微积分的范例中，任何凸下半连续功能（见[14])允许定义良好的近端操作符: 在FBS框架下，(14)通过迭代不动点算法计算，在迭代时 已证明[14[条件下，保证了上述固定点算法的收敛性；注意，在不相关非平稳噪声的CMB图恢复设置中，．

(b)的近端操作人
在本文感兴趣的问题中，．因为这个函数是连续且可微的，所以它是更不必说了下半连续。以下定义（16），近端运营商定义如下: 这个问题的解决方案有一个简单的闭形式表达式: 的近端算子在球面谐波空间中是一个Mere Wiener滤波器。将所有内容求出，结果迭代维纳式过滤就像我们在算法中看到1．

(c)计算成本
这种迭代维纳算法的计算成本特别低。第一步(2-a)只需要向量的入口乘法和加法。因此，它属于．第二步(2-b)是迄今为止最需要计算的;它要求向量的分量相乘和加法的阶数是(一般)和单前/后球面谐波变换。在截面数值实验中2．3和3．3，起点将被选为具有等于零的条目。当CMB映射的连续估计之间的相对方差 - 欧几里德常态之间的相对方差 - 估计低于某个阈值时，算法停止：．迭代的总数一般不大于．

(d)迭代维纳滤波器的线性和偏置
所提出的迭代滤波技术保留了整体CMB地图处理的线性。实际上，在所提出的算法的每个步骤中，每个输出在其输入上线性地依赖于它们的输入。此属性至关重要，因为它允许通过Monte-Carlo模拟研究错误传播的简单方法;然后，每个模拟必须完全接受先前描述的相同的处理步骤。值得概述所提出的迭代维纳滤波器的解决方案正好是（11)．因此，所提出的方法表现出与Wiener估计完全相同的偏差和方差。与全局维纳滤波器相似，该估计器的偏差并不会消失，而是取决于噪声统计量和信号本身。方差也是一样的。

2．2.相关噪声的情况

假设数据的完美校准，仪器噪声的非稳定性主要来自天空的不均匀扫描。较低的一个区域中的扫描时间的数量越低，噪声水平越高，反之亦然。数字1显示信道噪声的均方根图GHz;数学上，这不仅仅是对角线的平方根．然而，众所周知的是，与前一节的假设相反，噪声远非不相关。噪声的相关性主要有两个来源:(我)普朗克扫描天空的方式使噪声沿扫描方向相关。这意味着噪声沿像素域的拉长模式相关;由于数值上的原因，这很难在像素方向的协方差矩阵中解释．(2)最现代的CMB专用源分离方法，针ILC [4]、通用ILC [9]，smica [10]或GMCA [6依赖于小波或针状域数据的局部分析。此外，最终的CMB图通常是由不同分辨率的观测数据混合而成。这意味着最终污染CMB的噪声在像素域是相关的。

因此，对非平稳相关噪声进行建模似乎很自然:(i)在小波域中捕获其相关性，(ii)局部捕获其非平稳性。

(1)小波:基础
众所周知，小波是分析非平稳信号的首选工具[15］．在考虑球面数据时，有几种小波在球面上的实现。在本文中，我们将利用[16］．IUWT可以被看作是著名的的多孔球形数据的算法(见影响深远的书[15]及其参考文献)。与任何小波变换一样，IUWT首先由一个尺度函数定义由固定频率截止定义．正如在[16，这个比例函数是建立在球面上的方位角不变的(也就是说，它不依赖于)．经典地，每个缩放函数的缩放版本与低通滤波器相关联或者同样的在球面谐波。传统上，通过计算连续平滑近似来执行基于小波的多尺度分析．这些平滑的近似是通过卷积得到的与缩放函数的二次缩放版本: 在哪里为天平的总数。所谓的尺度小波函数，，定义为两个连续标度尺度函数之差: 尺度上的小波函数可以等效地与高通滤波器相关联或者同样的在球面谐波。小波系数在尺度上然后通过卷积平滑的近似来计算在规模与th小波函数． 在球面谐波中，这量为信号的球形谐波系数与小波滤波器的简单倍增．由于分解是冗余的，因此可以设计几种重构策略来自小波系数和粗略分辨率．最简单的一种是美国人所提倡的的多孔算法: 接下来，在每个小波尺度上进行噪声建模;也就是说，在每一组系数上．

(2)相关噪声的小波统计建模
如前所述，模拟乐器噪声的一个优雅方式是考虑其膨胀系数在球面小波域中的分布。基本思想包括假设小波噪声系数近似去相关。这个想法在多尺度统计建模领域中占据了它的根源：已经显示出小波表现出（几乎） - 用于某些类别的非营养随机过程的性质。只给一个例子，这是分数布朗运动的情况[17它已被广泛地用于模拟遵循随机过程的幂律。在下面,是否表示噪声项的小波系数在规模上在像素公约:对应于最好的规模和到粗分辨率。根据这个定义，我们将假设这些小波系数验证: 在哪里表示噪声在像素处的局部方差和对于克罗内克函数。这就要求噪声在小波尺度下的协方差矩阵为对角线，并等于: 噪声的本地标准偏差，，必须事先根据数据进行估计。在本节的数值实验中2．3，这些参数估计从单一噪声实现。一般认为，人们可以从模拟或数据本身获得噪声实现。假设本地方差噪声从一个像素到另一个像素变化缓慢，它可以近似于像素通过在一个固定的邻域内的方差的经验估计;接下来，这个社区的面积将是一小块以像素为中心： 在哪里表示构成围绕该像素的patch的像素的指数．请注意，补丁大小很大程度上取决于噪声方差在空间上的变化速度。这特别意味着在最好的情况下应该更小，什么时候更大增加。采用小波变换的自然二进尺度，对小波变换后的小块大小进行尺度变换将按如下方式扩展：在哪里表示最细尺度上的补丁大小。

2.3。数值实验

2.3.1。实验数据集

下文将对[3.];据我们所知，这是唯一可以公开获得的全天空模拟数据。输入CMB图是通过应用最近引入的源分离技术Local-GMCA (L-GMCA，见[6，18)到普朗克模拟数据。这些数据已经在[3.]来评价源分离方法的性能。有关这些数据的更多技术细节，请参阅[3.］．据我们所知，这个数据集是唯一的全天空现实普朗克模拟数据集，是公开可用的。它包含各种各样的贡献，如同步加速器和自由自由发射，反常尘埃，尘埃，SZ效应和CMB。这些普朗克模拟观测上的仪器噪声被假定为不相关但非平稳性的。

在大多数成分分离技术的输出中，污染原始CMB图的噪声是非平稳的和相关的。宇宙微波背景图是由不同分辨率的观测数据估算出来的，其输出噪声具有明显的相关性。源分离技术，如L-GMCA [6，18或Needlet-ILC [4并对不同小波尺度或针状尺度的小块数据进行分析。这种局部/多尺度过程也是污染CMB图的噪声相关性的起源。

２.４.实验结果

在本节中，我们特别关注所提出的方法的降噪方面。在天体物理学领域和更具体地进行CMB数据分析的参考去噪方法是全球球面谐波的维纳滤波器。与传统的滤波技术相反，提出的迭代滤波方法考虑了噪声的非平稳性;因此，它尤其应该提供比全球维纳更好的解决方案。

如前一节所述，噪声贡献的建模是在小波域进行的:假设噪声是非平稳的，但在每个小波尺度上是不相关的．在每个小波尺度中，噪声协方差矩阵在本地从单一噪声实现估计。每个小波刻度的噪声协方差在尺寸的斑块本地评估按照惯例,定义为最优小波尺度。作为说明，图8显示估计噪声均方根图的比例．

通过对原始CMB映射进行滤波，得到全局维纳解用球谐定义的线性滤波器(11)．CMB的功率谱是一个wmap7最适合的估计;噪声功率谱估计是通过伪功率谱实现的噪声。

将迭代维纳算法应用于原始的有噪声CMB图．要调整的单个参数是迭代的数量；在接下来的实验中，它被固定为250。数字2给出了噪声图、liw滤波解决方案和用于估计噪声局部方差的最小小波尺度的噪声实现。数字3.显示设备的残留映射全球维纳和LIW过滤解决方案。正如所备注的那样，噪声的非间抗占地面积清楚地看出估计地图的偏差较低的剩余LIW滤波图。

数字4特征功率谱的原始和过滤地图。我们要指出的是，这些功率谱是从原始地图中计算出来的;没有应用掩蔽。这特别意味着，这些估计很可能是有偏差的，从银河面强有力的前景。首先观察到全局维纳滤波器不能完全去除高噪声与迭代过滤技术相反。这可以通过高度的显着的非稳定性存在解释这会在高频下产生很大的偏置。有趣的是，迭代技术在很大程度上降低了高噪声因此支持噪声非平稳性在功率谱上产生偏差的重要贡献。更严格地说，值得注意的是，只要随机过程是广义平稳的，它的功率谱的定义是正确的[19］．显然，噪声的非平稳性使它偏离了这个假设;因此功率谱在这种情况下没有严格的统计意义。换句话说，就是噪声的功率谱不包含在像素域中的非标准噪声的所有信息。

众所周知，维纳滤波器提供具有偏置功率谱的CMB映射。因此，维纳滤网在图中为红色4-产生功率谱是负偏在高当噪声在cmb上高度占主导地位时，通常为．

数字5显示剩余功率谱:．这个量特别适合于可视化原始CMB图之间的频率功率差异及其估计．正如预期,全球维纳滤波降低了高噪声的贡献(见图中的蓝线5)．仍然，过滤的地图很大程度上从原始地图离开。有趣的是，所提出的迭代过滤技术（以图中的红色为单位）5)的性能大大优于经典的维纳滤波器来．更准确地说，剩余功率减少了一个数量级．

一种更完整的测量原始地图之间差异的方法而其中一个估计主要是对小波域的均方误差(MSE)进行评估。为此，你想想6在对数尺度上显示了5个小波尺度下CMB图不同估计量的MSE。一些CMB地图估计之间的归一化MSE而“真”CMB图的计算方法如下:．同样，这幅图表明，直接考虑噪声非平稳性的迭代技术，比传统的方法性能更好全球维纳滤波器。噪音的影响在较大的尺度上趋于消失(通常为)．

为了更好地说明全球维纳滤波器及其迭代对应，图7显示了在纬度为10°的小波域上计算的CMB图不同估计量的MSE。按照惯例，银道面以纬度0°为中心。数字7(一)显示了从最优小波尺度评估的MSE；这对应于范围为的分析窗口来．再一次，从全球来看，我们可以指出两者之间的明显改善全球维纳滤波器及其迭代版本。正如预期的那样，维纳滤波器是最优的意义上的MSE。更有趣的是，这两种滤波技术的MSE在高纬度地区似乎相当稳定，在范围内急剧增加．正如前面所强调的，当信噪比(SNR)降低时，任何这些线性滤波技术的影响都更加显著。在较小的规模上显然是这样。在较大的尺度上，信噪比增加，滤波的影响就不那么显著了。这正是我们在图的右侧所观察到的7 (b)：任何过滤的CMB地图的MSE在比例下，大致对应的分析窗口范围为来，大致相同。

作为这些实验结果的简要结论，显然噪声的非平稳性对CMB估计有影响。该领域最经典的降噪技术，即全球维纳滤波器，只依赖于宇宙微波背景的功率谱和噪音．显然，噪声功率谱的行为几乎没有关于其空间行为的信息。这些实验表明，噪声非恒定对CMB产生明显的影响。进一步核对噪声方差的空间变化有助于通过戏剧性的量改善降噪过程。

3.从减少噪音到减少污染

如本节引言中所述1，本文的目的之一是解决分离后污染减少的问题。在这种情况下，污染通常意味着仪器噪声和星系前景的残余。在普朗克情况下，CMB图通常是通过应用源分离方法得到的。这些方法中的大多数都提供了一种可以表述为原始普朗克多通道观测的线性组合的解决方案。因此，我们可以假设这些污染物对CMB图起到了补充作用: 在哪里代表前景污染和对于仪器的噪音。此外，假定这三个组成部分也是很自然的，和是相互不相关的。前面介绍的过滤技术主要依赖于污染物的协方差矩阵特征这一事实．我们在本段中要处理的问题是:我们知道多少 如何从数据中估计?

３．１．前景剩余误差建模

与噪声不同，前景剩余通常是非高斯，除了CIB（见[20.])。我们进一步限制残差的建模到它们的二阶统计量，从而选择它们的贡献的高斯近似。前景残差的贡献显然是事先不知道的;这意味着它们的协方差矩阵必须直接从数据中估计出来。由不同组分的不相关性可知，(29)然后读取第二次统计数据:

在这个方程中，前景像素的相关性意味着是分支。与噪声相似，前景像素的二阶依赖过于复杂，无法在像素域建模。

为了捕获前景像素的相关性，一种自然而简单的策略可以归结为上节对相关噪声进行建模的基于小波的统计建模2．2(2)。为此,表示的小波系数在规模上在像素公约:对应于最好的规模和到粗分辨率。根据这个定义，我们将假设这些小波系数验证: 在哪里表示前景在像素处的局部方差．小波尺度下前景残差的协方差矩阵为对角线，并等于: 在实际情况下,需要根据数据来估计吗他们自己。类似于噪声的建模，前景的局部噪声方差将由周围大小的方差的经验估计来近似以像素为中心：

3.2。污染过滤

在本文的其余部分中，我们通常使用术语“污染”来表示前景残差和仪器噪声的贡献。在下文中，如前所述，我们也选择完全相同的模型来捕获仪器噪声的像素依赖性。因此，我们现在将在像素处局部定义和规模污染(噪声和前景)的方差．噪声和前景残差的联合贡献将由数据共同评估。

从局部方差的估计；我们必须记住，污染物的方差是不能直接获得的，但它等于: 在哪里表示CMB和的方差．请注意，从宇宙微波背景图的平稳性来看，不明确依赖；这与补丁大小一致是足够大的CMB波动(即相关长度)在小波尺度。尺度上的CMB方差的值与此尺度下的CMB功率直接相关;它的值可以从CMB的功率谱中得到和小波分析过滤器。为此，让我们表示球形谐波滤波器从其中小波尺度定义。正如本节所强调的1CMB地图的球形谐波系数应相互不相关。这特别需要CMB中的力量第Th小波尺度为: 由此可得污染在像素处的方差大约等于： 因此,从先天的了解CMB功率谱，残差的近似贡献可以在每个像素和每个小波尺度上评估。读者必须记住，这一贡献的度量只是近似的，必须根据以下假设来考虑:(1)残差的贡献被建模为一个非平稳高斯场，其中协方差矩阵在每个小波尺度是对角的，(2)其方差被评估在小块的大小，假设它在给定的分析块中近似平稳。然而，即使有了这些近似，我们的模型也比传统的Wiener方法提供了更真实的数据复杂性建模。这个模型的改进将在本节中讨论4．1．

让．然后，在Section中介绍了算法2，噪声矩阵用以下协方差矩阵代替:

在哪里为各向同性小波变换它的伴随。以及段中介绍的迭代技术2，将产生的基于小波的滤波将在下面的线性迭代维纳滤波中被共同滤波。

3．3.普朗克模拟数据的污染减少

本节使用的数据集与我们研究降噪时使用的数据集完全相同。本节将对此进行描述2．3．

正如本节所强调的3.，到目前为止所使用的基于小波的噪声/污染方差建模使得可以考虑到过滤过程中的前景污染的贡献。估算前景污染的贡献，详细说明3.，使减少污染成为可能。在接下来的实验中，污染，包括噪声的贡献和前景残差的近似贡献，已经在小波域中建模[16使用6个天平。在每个小波尺度内，除了没有进行滤波的最粗尺度外，假设污染的贡献是高斯分布的，并且在局部尺度上是平稳的．数字9特征估计方差图在对数尺度。作为一个注解，如果这个污染方差图的形态在第一眼看上去与纯噪声方差图相似，那么前者的动态范围显然要大3个数量级。这些差异在银道面和可能是SZ星团点源或残差的局部特征上最为显著。

将提出的基于维纳迭代法应用于上述普朗克模拟数据。数字10给出了最小小波尺度下纯噪声liw滤波方案和污染感知liw滤波方案的区别图。显然，地图之间的差异主要集中在银道面和高纬度的可能点源上。

数字11以黑色虚线显示原始和滤波后的CMB图的功率谱以及模拟图的理论功率谱。乍一看，考虑前景残差的贡献，即使是近似的，也会产生改进．也许更有趣，Figure12显示残差图的功率谱:污染物感知过滤技术明显优于之前的方法来在范围上有了巨大的改善．

数字13显示了我们在前一段中描述的基于小波的MSE。污染物感知过滤技术的结果被进一步添加到图中的图中6．让我们记得上一节中描述的降噪技术主要有助于降低噪声主导地区的噪音。特别解释了为什么MSE在小波尺度中仍然仍未妨碍．有趣的是，核算前景的近似贡献有助于降低其在更大尺度的影响，通常为．

数字14给出了在最细的小波尺度下，在不同纬度处计算得到的MSE-在图上绘图14（a）-和绘制在图14（b）．考虑污染物的贡献提高了过滤后的地图在所有纬度上的MSE。有趣的是，MSE在银河(纬度0°)上下降了很多——大约是5倍。在小波尺度上，这同样适用于更轻微的量．

假设普朗克仪器噪声是高斯噪声被广泛认为是一个合理的假设。这显然不是前景残差的情况，前景残差的存在很可能在很大程度上扭曲了CMB中对非高斯特征的搜索。因此，减少污染物的量应该有助于防止非高斯检验受到前景残差的非高斯影响。在CMB非高斯性评估领域，一种经典的技术归结为小波域高阶统计量的测量[21］．选择的统计量之一是4阶的统计量，表示，a.k.a. kurtosis。估计的CMB地图的小波系数的Kurtosis已在5尺度中进行评估;非高斯度测试结果如图所示15．第一个观察是，提出的方法有助于减少非高斯污染，即使只有噪声建模为一个伪成分。这表明噪声的非平稳行为可以产生不期望的非高斯特征。因此，在降噪过程中考虑噪声的非平稳行为可以在最小的小波尺度上降低滤波图的峰度。

图中的红色虚线15当对前景残差的贡献进行建模时，滤波后的图的峰度明显降低。更准确地说，是价值被大幅减少了4个数量级，2个数量级一个数量级．虽然仅限噪声滤波产生的地图离开高斯假设，污染感知滤波映射现在与高斯假设在所有小波尺度．

数字16提供更详细的非高斯检验;这幅图展示了三个情节，在三个最好的小波尺度中，它已在宽度的纬度带进行了评估．银道面以该点为中心．非高斯污染主要来源于星系前景残差的存在，这些残差主要集中在星系面。这就解释了…的巨大价值在纬度范围内．在空间高频处的第二个非高斯签名源是无线电和红外点源。这些前景大致均匀地散落在天空中。点来源可能是高纬度的非高斯签名的主要来源，从而解释了相对大的值在这个纬度范围内。如图所示(16日)，进一步过滤污染(见红色虚线)产生戏剧性的减少在银河平面上可达5个数量级。经过过滤的宇宙微波背景图很可能在每个纬度都符合高斯假设，甚至在银道平面上也是如此。在第二个小波尺度中，同样的非高斯信号的减少也可以在较小的范围内看到，主要在该范围内的银道面．在第三小波尺度上，该滤波方法可能会降低银道平面上的非高斯特征;在这个尺度范围内(即，第三小波尺度大致对应于一个跨该范围的分析窗口)， CMB在很大程度上占主导地位，这意味着:(i)输入映射已经与高斯假设相当相容，(ii)当测量非高斯性时，滤波的影响可能不那么明显。

4.讨论、展望和结论

4.1。讨论和前景

以下4.4.1。过滤地图，有什么用?

在估计的CMB图上进行了重要的宇宙学测试和评估;CMB透镜重建尤其如此[7]和非高斯特征检测，仅举两个例子。这些测试对污染估计CMB图的伪成分特别敏感，无论是噪声还是前景残差。因此，这是至关重要的估计一个CMB地图是尽可能少的污染。我们要强调的第二点是，上述的宇宙学测试或评估通常是在全天空数据上进行的;在进行任何后期处理之前，估计的地图都要被遮盖，以消除银河前景和点源的影响。这有两个主要后果:(一)它限制了进行这些测试/评价的样品的大小，从而增加了这些测试的统计方差;(二)任何这些测试都必须处理这一面具(例如，通过[7)，使得CMB图的分析一般更为复杂。

如前面的实验所示，提出的滤波通过考虑噪声的非平稳行为，明确地限制了噪声的影响。此外，结果表明，建模的前景残差贡献，即使在银道面污染减少有效。这有两个主要的结果:(i)它使得在任何估计的CMB地图分析之前使用一个更小的掩模成为可能，(ii)它有助于减少来自前景残差存在的非高斯特征。

4.1.2。超出建议的方法

无论是否存在噪声或前景残留，污染建模的核心假设是我们在第一部分中所做的去相关假设3.．假设污染物在每个小波尺度中具有潜在的非平稳但不相关的样本。支持这一假设的基本思想是众所周知的小波基的去相关性质。如果这个假设几乎适用于理论上的随机过程(例如分数布朗运动)[17仅举一例)，这只是对更一般的信号，如银河前景或复杂相关噪声的大致近似。这一假设背后的基本思想是多尺度分析基础能够捕获相关形态要建模的组件的。在涉及光栅扫描的测量中，如WMAP或Planck，仪器噪声很可能沿着扫描方向高度相关。这意味着普朗克仪器噪声的相关性可以更好地建模为多尺度信号表示中的非相关随机过程，该信号表示最好地表示细长结构，如Curvelet紧框架[16］．我们可以将同样的论点外推到前景残差的建模中。

到目前为止，本文所采用的污染模型都得益于去相关假设;它特别有助于简化过滤过程，只需要处理对角矩阵(即均方根映射)。脱离去相关假设将大大增加所提出的滤波技术的复杂性。然而，要扩展所提出的方法，一个简单的方法是选择更适合于被建模信号的形态学或结构的多尺度信号表示。

4.1.3。减少污染对CMB非高斯性的潜在影响

重要的是想知道是否在本节中引入了减少污染的过滤3.可能会影响或降低与cmb相关的潜在非高斯性。一个重要的点是在节中估计污染的局部方差的方法3.在实践中，导致前景污染的估计在每个小波尺度上大大超过平均CMB功率。因此，滤波对量级小于或等于CMB量级的非高斯效应的影响应该小得多。值得指出的是……36)来估计局部污染方差，也可以选择不同的方法，只考虑非高斯性，这些非高斯性保证大大超过CMB的量级，从而肯定避免了对潜在的CMB相关非高斯性的任何影响。未来的工作将集中在评估所提出的滤波技术对CMB透镜重建和非高斯检测的潜在影响。

4．2．结论

宇宙学微波背景图是由诸如WMAP之类的全天空调查或最近的普朗克研究估计出来的，通常会受到各种来源的污染:(i)仪器噪声通常是非平稳的，可能会产生非高斯信号;(ii)即使应用了最先进的源分离方法，前景残差通常仍然存在。在这种情况下，最经典的去噪技术，即。全球维纳滤波器;尽管它很简单，但它不能解释仪器噪声的非平稳性。为此，本文提出了一种新的线性迭代小波滤波降噪技术——liw滤波全球同时考虑噪声的潜在非平稳性。在该框架中，噪声在小波域中被建模为一个非平稳但非相关的过程。然后去噪问题采用非常简单的二次正则化最小二乘形式，其中噪声协方差矩阵在小波域是对角的，信号协方差矩阵在球谐域(即CMB功率谱)也是对角的。采用最新的近端算法进行求解。当噪声降低有危险时，我们证明了所提出的迭代技术成功地降低了滤波解的均方误差(MSE)全球维纳滤波器在该领域的经典应用。此外，本文引入的建模/估计框架使前景污染的减少成为可能。与仪器噪声的非平稳相似，前景污染在小波域中被建模为一个非平稳但非相关的过程。数值实验表明:(1)改进了滤波后地图的MSE;特别是在银河平面上，(ii)非常有趣的是，非高斯信号也显著减少。这特别提供了支持将所提议的滤波技术作为后处理步骤应用于CMB的论点，其关键目标是减少噪声，或许更重要的是前景污染。同样重要的是要指出，类似于全球维纳滤波(liw - filter)是一种线性滤波技术。这意味着liw滤波在研究误差时也是相关的，通过蒙特卡罗模拟，误差在估计CMB图上的传播是不可避免的。

未来的工作将专注于炼制噪声和前景剩余的建模。在不失这种方法的简单性的情况下，我们更具体地专注于研究更适应的信号表示，以更好地模拟噪声/前景污染空间行为。

开发的IDL代码将通过以下网站随ISAP(交互式稀疏天文数据分析包)的下一个版本发布:http://jstarck.free.fr/isap.html．

致谢

这项工作得到了法国国家研究机构(anr -08- emero -009-01)和欧洲研究理事会SparseAstro基金(ERC-228261)的支持。

参考

1. C. L. Bennett, M. Halpern, G. Hinshaw等人，“第一年威尔金森微波各向异性探测器(WMAP)观测结果:初步图和基本结果”，天体物理学杂志，增刊系列第一四八卷第一百四十八期1，页1 - 27,2003。视图:出版商的网站|谷歌学者
2. F. R. Bouchet和R. Gispert，“前景和CMB实验:I.污染的半分析估计，”新的天文学，第4卷，第4期。第6页，第443-479页，1999。视图:谷歌学者
3. S. M. Leach, J. F. Cardoso, C. Baccigalupi等，“普朗克任务的成分分离方法”，天文学和天体物理学，卷。491，没有。2，pp。597-615,2008。视图:出版商的网站|谷歌学者
4. J. Delabrouille, J. F. Cardoso, M. Le Jeune, M. Betoule, G. Fay, and F. Guilloux，“WMAP的全天空、低前景、高分辨率CMB地图”，天文学和天体物理学，第493卷，第2期。3, pp. 835-837, 2009。视图:出版商的网站|谷歌学者
5. “盲源分离的稀疏性和形态多样性”，《中国生物医学工程学报》，2018年第4期。IEEE图像处理汇刊，第16卷，第5期。11, pp. 2662-2674, 2007。视图:出版商的网站|谷歌学者
6. J. Bobin, F. Sureau和j - l。Starck， <宇宙学中的源分离，从全球模型到局部模型>，发表于IEEE图像处理国际会议论文集， pp. 1297 - 1300,2011。视图:出版商的网站|谷歌学者
7. p . p . J. p . J. p . J. L.Starck和A. Lavabre， "宇宙微波背景透镜的重建普朗克”,天文学和天体物理学，第519卷，A4文章，14页，2010年。视图:出版商的网站|谷歌学者
8. D. Hanson, G. Rocha，和K. Górski，“来自普朗克天空图的透镜重建:非均匀噪声，”《皇家天文学会月刊》第400卷第1期4, pp. 2169 - 2173,2009。视图:出版商的网站|谷歌学者
9. 雷马泽尔先生、德拉布罗伊先生和j - f。基于广义内部线性组合的前景成分分离《皇家天文学会月刊》号，第418卷。1, pp. 467-476, 2011。视图:出版商的网站|谷歌学者
10. J. Delabrouille, J. F. Cardoso，和G. Patanchon，“多探测器多组分光谱匹配和宇宙微波背景数据分析的应用”，《皇家天文学会月刊》号，第346卷4、2003年。视图:出版商的网站|谷歌学者
11. M. Górski, E. Hivon, a . J. Banday等，“HEALPix:一个用于球体上分布数据的高分辨率离散化和快速分析的框架”，天体物理学杂志》上年第622卷第2页，p. 759-771, 2005。视图:出版商的网站|谷歌学者
12. E. Komatsu, J. Dunkley, M. R. Nolta等人，“五年威尔金森微波各向异性探测观测:宇宙学解释，”天体物理学杂志，增刊系列，第180卷，第1期。2, pp. 330 - 376,2009。视图:出版商的网站|谷歌学者
13. G. H. Golub和C. F. Van Loan，矩阵计算，美国马里兰州巴尔的摩市约翰·霍普金斯大学出版社，1996年第3版。
14. P. L. Combettes和V. R. Wajs，“近端前后分裂的信号恢复”，多尺度建模与仿真，第4卷，第4期。4，页1168 - 1200,2005。视图:出版商的网站|谷歌学者
15. S. Mallat，信号处理的小波变换，学术出版社，圣地亚哥，美国加州，1998。
16. J. L. Starck, Y. mou登，P. Abrial, M. Nguyen，《球面上的小波、脊和曲波》，天文学和天体物理学号，第446卷。3，页1191-1204,2006。视图:出版商的网站|谷歌学者
17. “分数阶布朗运动的小波分析与综合”，IEEE信息理论汇刊第38卷第2期2, 1992年。视图:出版商的网站|谷歌学者
18. “基于广义形态成分分析的SZ和CMB重建方法”，统计方法，第5卷，第5期。4，第307-317页，2008。视图:出版商的网站|谷歌学者
19. t . Chonavel统计信号处理:建模和估计，春天，纽约，纽约，美国，2002年。
20. F. R. Bouchet，R. Gispert和J. Puget，“揭开宇宙红外背景”知识产权会议论文集，E. DWEK，ED。，PP。255-258,1995。视图:谷歌学者
21. J. L. Starck, N. Aghanim，和O. Forni，“用多尺度方法探测和识别宇宙非高斯信号”，天文学和天体物理学，第416卷，第2期。1，页9-17,2004。视图:出版商的网站|谷歌学者

版权

版权所有©2012 J. Bobin et al。这是一篇发布在知识共享署名许可协议，允许在任何媒介上不受限制地使用、传播和复制，但必须正确引用原作。