AA 天文学的发展 1687 - 7977 1687 - 7969 Hindawi出版公司 703217年 10.1155 / 2012/703217 703217年 研究文章 招商银行地图恢复 波宾 J。 1 斯塔克 J.-L。 1 Sureau F。 1 Fadili J。 2 Burigana 卡洛 1 Laboratoire目的 IRFU SEDI-SAP 服务d奥秘 奥姆镇des Merisiers 蝙蝠709 282年,91191年的温度 法国 2 卡昂大学GREYC CNRS ENSICAEN, 6 大道du Marechal Juin 14050年卡昂Cedex 法国 unicaen.fr 2012年 04 03 2012年 2012年 30. 09年 2011年 24 12 2011年 12 02 2012年 2012年 版权©2012 j波宾等。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

估计宇宙微波背景为宇宙学是至关重要的。然而,它估计等证据调查的威尔金森微波各向异性探测器或最近普朗克挑战:招商银行地图通常估计通过一些源分离技术的应用从未防止噪音污染,最终映射前景残差。这些虚假的污染噪音或前景是否残差是众所周知的是瘟疫对大多数宇宙学相关测试或评估;这包括招商银行透镜重建或非高斯特征搜索。降噪通常是通过一个简单的维纳滤波器在球面谐波;然而,这并不占的non-stationarity噪音。前景污染通常是由屏蔽解决最强烈的残差检测到的地图,这使得招商银行评估难以执行。在本文中,我们引入一个新的降噪框架创造LIW-Filtering线性小波滤波迭代就是能占噪声空间变异性由于小波建模,同时保持高度期望的维纳滤波器的线性。我们进一步表明,相同的过滤技术可以有效地执行前景减少污染从而提供一个全球清洁CMB地图。数值模拟结果普朗克提供数据。

1。介绍</gydF4y2Batitle> <p>2009年中期,欧洲空间机构(ESA)将在轨道上最新的空间天文台普朗克对宇宙微波背景(CMB)进行调查。这些数据是特定科学重要的,因为它将提供更多的洞察的理解宇宙的诞生。大多数宇宙学参数可以从这些招商银行数据的研究。经过一系列成功的招商银行试验(Archeops飞去来器,最大值,COBE,威尔金森微波各向异性探测器(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xgydF4y2Baref>]),普朗克ESA的使命是提供更准确的数据将参考张全景高分辨率招商银行数据在接下来的几十年。更准确地说,恢复有用的科学信息需要解开宇宙微波背景辐射的贡献几个天体物理组件,即星系排放的粉尘和同步加速器,Sunyaev-Zel 'dovich(深圳)集群,免费排放,CO排放仅举几例,看到<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B2"> 2</xgydF4y2Baref>]。经典,宇宙微波背景地图估计通过一些源分离方法的应用。然而,非常复杂的源分离方法的应用程序(见[<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xgydF4y2Baref>- - - - - -<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B6"> 6</xgydF4y2Baref>)不污染的防止最后估计地图各种虚假的组件:(i)仪器噪声和(2)前景残差。处理各种污染来源是至关重要的对于大多数宇宙学相关测试或评估:这包括招商银行透镜重建(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B7"> 7</xgydF4y2Baref>)或非高斯特征搜索。解决噪音问题和前景残余减少因此重要,是本文的核心。</gydF4y2Bap> <statement id="head1"> <title>(一)仪器噪音</gydF4y2Batitle> <p>非常具体的扫描模式张全景CMB的实验导致了工具性高斯噪声紧密,展品重要的空间变化:普朗克噪音远非均匀。更准确地说,噪声的统计不同空间;领域的统计,据说噪音是不稳定的。作为一个示例,图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig1"> 1</xgydF4y2Baref>显示一个普朗克模拟均方根(RMS)仪器噪声地图<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"> <mml:mn> 217年</米米l:米n><米米l:米o> </mml:mo> </mml:math> </inline-formula>GHz。这些数据来自公开模拟中描述(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xgydF4y2Baref>]。此外,虽然噪音是无关紧要的,大规模的,它在很大程度上是主要在小范围内(例如,通常<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> <mml:mi> ℓ</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o> <mml:mn> 1500年</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>普朗克)。大多数源分离方法应用到目前为止招商银行数据线性方法:估计宇宙微波背景辐射图可以表示为一个线性组合的所有像素的输入的观察。因此,传播工具在宇宙微波背景噪声地图也通常认为的非平稳高斯。</gydF4y2Bap> <p>噪声可以是一个重要的限制对于大多数宇宙学测试或重建。高噪声水平可以阻碍同时测试,喧闹的地图可能是“高斯”比无噪声的地图。经典方法在宇宙学领域通常由招商银行通过减少噪音的球面谐波的维纳滤波器。如果<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>代表宇宙微波背景的理论功率谱<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>噪声的功率谱,维纳滤波器的定义如下:<gydF4y2Badisp-formula id="EEq1"> <label>(1)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mo> ∀</米米l:米o> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o> <mml:mn> 0</米米l:米n><米米l:米o> ;</米米l:米o> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我><米米l:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我><米米l:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我><米米l:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>(职责。<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我><米米l:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>)代表的球面谐波系数过滤后的地图<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>(职责、输入地图<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>)。虽然这种方法使利润的一些知识的能量分布噪声的频率,它不占空间或非平稳变化。很有可能这样的非平稳可以创建全球非高斯信号高频时这种差异是锋利的。强非平稳已知有强烈影响招商银行透镜重建(见[<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B8"> 8</xgydF4y2Baref>]),创造一个不受欢迎的重建的偏见。</gydF4y2Bap> <p>另一个不那么传统的但常见的噪声减少当地维纳滤波技术。它可以归结为应用补丁的维纳滤波器在傅里叶空间像素域。这种方法的主要缺点是,尽管大补丁应该支持捕获的非平稳噪声,它们可以捕捉在尺度相关性大于块大小。</gydF4y2Bap> </statement> <fig id="fig1"> <label>图1</l一个bel> <p> <italic> 仪器噪音普朗克</我talic>模拟均方根噪声地图<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mn> 217年</米米l:米n><米米l:米o> </mml:mo> </mml:math> </inline-formula>在可GHz(天线温度)。这些模拟普朗克数据描述<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xgydF4y2Baref>]。</gydF4y2Bap> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aa/2012/703217.fig.001"></graphic> </fig> <p> <statement id="head2"> <title>(b)前景残留</gydF4y2Batitle> </statement></p> <p>第一个评价复杂CMB-dedicated源分离方法已经在执行<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xgydF4y2Baref>]。以来,小说非常有效的方法提出了Needlet ILC [<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B4"> 4</xgydF4y2Baref>],广义ILC [<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B9"> 9</xgydF4y2Baref>],SMICA [<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B10"> 10</xgydF4y2Baref>]或GMCA [<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B6"> 6</xgydF4y2Baref>]。然而,由于数据的复杂性非常高,这些很有效的方法可以提供招商银行保证免费的地图前景污染。如果残余污染通常是在大尺度上(例如,低<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mi> ℓ</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 500年</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>普朗克),它在更高的频率通常是重要的。很可能剩余的污染主要来源于点源或强大的功能在银河平面。显然这些残差高度偏见的存在任何宇宙宇宙微波背景辐射污染地图上执行测试。通常的方法在于掩盖已知的宇宙微波背景的像素之前任何后期处理(例如,20<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mn> 40</米米l:米n><米米l:米text> %</米米l:米text> </mml:math> </inline-formula>天空的通常是蒙面)。然而掩蔽提出了几个问题:(i)样本数量的限制,任何测试可以应用,限制其统计相关性和(2)屏蔽通常会使任何后期处理更加复杂的正常执行(例如,修复所需的面具通常是之前任何CMB透镜重建(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B7"> 7</xgydF4y2Baref>])。避免或至少限制面具应用的程度应该大大帮助改善任何宇宙测试估计CMB地图上。此外,屏蔽不阻止残差的存在未被发现的来源可能是众多在天空。前景的进一步减少残差应该清楚地是有益的。</gydF4y2Bap> <p></p> <statement id="head3"> <title>(c)的贡献</gydF4y2Batitle> <p>本文的贡献是双重的:<l我st> <list-item> <label>(我)</l一个bel> </list-item> </list></p> <p>它引入了一个新颖的降噪框架,在反对古典球函数基于维纳滤波器,占的非平稳噪声。这种新方法保存的线性过滤。事实上,线性在这个领域是至关重要的,因为它使误差传播的研究通过蒙特卡罗模拟更方便。在这个框架中,我们使用一个简单的,但高效的小波建模允许的噪声建模不同尺度的非平稳。这将是讨论的部分<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec3"> 3</xgydF4y2Baref>。</gydF4y2Bap> <list-item> <label>(2)</l一个bel> <p>我们讨论这个方法的延伸,进一步估计前景的一个近似贡献每小波尺度通过残差的均方根地图。从而减少污染可能是相同的过滤框架内解决。</gydF4y2Bap> </list-item>减少噪音和污染问题,重塑成平方作为正则化最小二乘问题,然后使用最近推出了算法有效地解决了基于近端微积分。提供广泛的数值试验表明了该方法的有效性在减少噪音<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec2.3"> 2.3</xgydF4y2Baref>和前台残差部分<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec3.3"> 3.3</xgydF4y2Baref>。<gydF4y2Bap></p> </statement> </sec> <sec sec-type="section" id="sec2"> <title>2。招商银行地图用的非平稳噪声过滤</gydF4y2Batitle> <sec sec-type="subsection" id="sec2.1"> <title>2.1。招商银行地图过滤</gydF4y2Batitle> <p>在一个非常一般的上下文和更准确地在普朗克的背景下,习惯上认为输入噪声数据,用<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在下面,是建模为追求无噪声的信号的线性组合<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>和噪音<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>:<gydF4y2Badisp-formula id="eq1"> <label>(2)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o> </mml:math> </disp-formula>间去相关<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>也是经典。在下面,我们将假定这些信号采样球面上根据Healpix [<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B11"> 11</xgydF4y2Baref>采样网格。招商银行采样信号<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>被认为是组成的吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>样品<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。恢复估计<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>可以作为反问题制定。根据贝叶斯的方法解决逆问题,一些<我talic> 先天的</我talic>知识感兴趣的信号<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>必须表达。这个推理框架非常适合宇宙微波背景去噪问题一样强烈<我talic> 之前</我talic>假设可以制定。事实上,自(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B12"> 12</xgydF4y2Baref>),这是证实宇宙微波背景可以近似为一个各向同性高斯随机场精度高。这尤其意味着它完全由其功率谱特征<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> <p>更准确地说,宇宙微波背景<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>由其在球面谐波的扩张可以定义:<gydF4y2Badisp-formula id="EEq2"> <label>(3)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo> ∑</米米l:米o> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 0</米米l:米n><米米l:米o> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ∞</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo> ∑</米米l:米o> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我><米米l:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我><米米l:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:math> </disp-formula>假设宇宙微波背景是完全高斯功率谱<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,它的球函数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我><米米l:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我><米米l:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>独立分布在高斯分布均值为0,方差吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>:<gydF4y2Badisp-formula id="EEq3"> <label>(4)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我><米米l:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ~</米米l:米o> <mml:mi mathvariant="script"> N</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:math> </disp-formula>宇宙微波背景辐射的功率谱估计,一般pseudo-power谱定义如下:<gydF4y2Badisp-formula id="EEq4"> <label>(5)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n><米米l:米i mathvariant="script"> l</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo> ∑</米米l:米o> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我><米米l:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ⋆</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我><米米l:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我><米米l:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ⋆</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>代表的共轭<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我><米米l:mi> 米</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。的<我talic> 先天的</我talic>概率分布<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>招商银行的地图<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个和协方差矩阵正态分布吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℱ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="bold-italic"> C</米米l:米我><米米l:mi> ℱ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mrow> <mml:mi> ℱ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>代表了球面谐波和基础<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℱ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>它的伴随。矩阵<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold-italic"> C</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>斜着<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mi mathvariant="bold-italic"> C</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 诊断接头</米米l:米我><米米l:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。这个收益率以下招商银行<我talic> 之前</我talic>概率分布:<gydF4y2Badisp-formula id="EEq5"> <label>(6)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mi mathvariant="script"> P</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> ∝</米米l:米o> <mml:mi> 经验值</米米l:米我><米米l:mo> ⁡</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo> {</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="script"> F</米米l:米我><米米l:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> }</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:math> </disp-formula>在本节中,我们假设仪器噪声可以建模为一个不稳定但不相关的高斯场的像素域等<gydF4y2Badisp-formula id="eq2"> <label>(7)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mo> ∀</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ]</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> ~</米米l:米o> <mml:mi mathvariant="script"> N</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:math> </disp-formula></p> <p>写不同,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个实现多值0和协方差矩阵的高斯变量意味着什么<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mi mathvariant="bold"> Σ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 诊断接头</米米l:米我><米米l:mo> </mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> ⋯</米米l:米o> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。相关噪声的情况下将稍后在本节中讨论。从高斯建模的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>似然函数是非常得到如下:<gydF4y2Badisp-formula id="EEq6"> <label>(8)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> ∣</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> </米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> ∝</米米l:米o> <mml:mi> 经验值</米米l:米我><米米l:mo> ⁡</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo> {</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> }</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:math> </disp-formula>贝叶斯规则后,后验分布<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>如下:<gydF4y2Badisp-formula id="EEq7"> <label>(9)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ∣</米米l:米o> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ∝</米米l:米o> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> ∣</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> </米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> P</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <disp-formula id="EEq8"> <label>(10)</l一个bel> <mml:math class="end-align" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> ∝</米米l:米o> <mml:mi> 经验值</米米l:米我><米米l:mo> ⁡</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> </米米l:米我><米米l:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="script"> F</米米l:米我><米米l:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:math> </disp-formula>宇宙微波背景地图可以使用的最大估计<我talic> 后验</我talic>(MAP)估计以下解析解:<gydF4y2Badisp-formula id="EEq9"> <label>(11)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mtext> Argmax</米米l:米text> </mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:munder> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ∣</米米l:米o> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi> </mml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <disp-formula id="EEq10"> <label>(12)</l一个bel> <mml:math class="end-align" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="script"> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:math> </disp-formula>读者可以在这里认识到一个经典维纳滤波器。与经典维纳滤波器用于球面谐波,解决方案(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq9"> 11</xgydF4y2Baref>)明确的非平稳噪声。然而,这Wiener-like解决方案提出了一些数值的计算评价问题:噪声协方差矩阵是对角在像素域,而招商银行协方差矩阵是对角的球面谐波域。(过滤器出现的解决方案<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq9"> 11</xgydF4y2Baref>)是制定在像素域:<gydF4y2Badisp-formula id="eq3"> <label>(13)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="script"> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:math> </disp-formula>在这个表达式中,矩阵<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℱ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> ℱ</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>是逆协方差矩阵的宇宙微波背景像素域。这显然不是对角矩阵。回忆,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>的订单吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mn> 1</米米l:米n><米米l:米i> e</米米l:米我><米米l:mn> 13</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>威尔金森微波各向异性探测器和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mn> 2</米米l:米n><米米l:米i> e</米米l:米我><米米l:mn> 15</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>普朗克,存储和处理这个矩阵太不切实际。作为一种替代方法,最有效的方法在这种情况下解的线性方程组<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> Σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℱ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> ℱ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> Σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>使用共轭梯度(CG, (<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B13"> 13</xgydF4y2Baref>例如])。然而,在下一节中,我们将利用最近推出了近端算法。这种优化框架会导致算法展品收敛速度低于CG,但获得的更大的灵活性来处理不同的过滤技术或更好的限制的解决方案。</gydF4y2Bap> <sec sec-type="subsubsection" id="sec2.1.1"> <title>2.1.1。迭代滤波</gydF4y2Batitle> <p>说显然在前款规定,计算地图解决方案要求反相一个方程组,由于普朗克数据的大规模棘手。最简单的数值解算器是众所周知的共轭梯度。然而,尽管这个解算器是一个快速和准确的数值方法求解方程的线性系统,它缺乏现代优化技术的灵活性。因为这个原因我们而选择更灵活的优化框架的近端微积分(见[<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B14"> 14</xgydF4y2Baref>)和引用)。</gydF4y2Bap> <statement id="head4"> <title>(一)灵活的优化框架:Forward-Backward分裂</gydF4y2Batitle> <p>的问题(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq10"> 12</xgydF4y2Baref>)可以写成的总和最小化两个运营商<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>:<gydF4y2Badisp-formula id="EEq11"> <label>(14)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 参数</米米l:米text> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> 最小值</米米l:米我><米米l:mo> ⁡</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:munder> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <disp-formula id="EEq12"> <label>(15)</l一个bel> <mml:math class="end-align" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> </mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 参数</米米l:米text> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> 最小值</米米l:米我><米米l:mo> ⁡</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:munder> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="script"> F</米米l:米我><米米l:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这个函数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℱ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> ℱ</米米l:米我><米米l:mi> x</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>低凸和半连续可微的;这个函数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> Σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是严格凸,连续可微的。因此一个独特的解决方案等问题(见[<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B14"> 14</xgydF4y2Baref>])。如果<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mo> ∇</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>表示的梯度<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,我们也会认为这个梯度<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>李普希茨。在这篇文章中,感兴趣的特定设置<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mo> ∇</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 2</米米l:米n><米米l:米sup> <mml:mrow> <mml:mi> Σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 2</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ∥</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> Σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ∥</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。在这种背景下,一个有效的算法框架中定义的forward-backward分裂(FPS)技术(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B14"> 14</xgydF4y2Baref>]。近端范式的微积分,下半连续函数(见[任何凸<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B14"> 14</xgydF4y2Baref>])承认一个定义良好的近端接线员:<gydF4y2Badisp-formula id="EEq13"> <label>(16)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mtext> 箴</米米l:米text> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mtext> x</米米l:米text> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我><米米l:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 参数</米米l:米text> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> 最小值</米米l:米我><米米l:mo> ⁡</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:munder> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我><米米l:mi> f</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> 为</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> 为</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </disp-formula>的边后卫框架,解决问题(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq11"> 14</xgydF4y2Baref>)是通过迭代计算不动点算法,在迭代<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula> <disp-formula id="EEq14"> <label>(17)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mtext> 箴</米米l:米text> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mtext> x</米米l:米text> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> γ</米米l:米我><米米l:mo> ∇</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <disp-formula id="EEq15"> <label>(18)</l一个bel> <mml:math class="end-align" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mtext> 箴</米米l:米text> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mtext> x</米米l:米text> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 2</米米l:米n><米米l:米i> γ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> Σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>的证明(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B14"> 14</xgydF4y2Baref>),上面的不动点算法的收敛条件下<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mi> γ</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>;注意,在招商银行的设置与不相关的非平稳噪声地图的复苏,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mi> l</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n><米米l:米o> /</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 最小值</米米l:米我><米米l:mo> </mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="head5"> <title>(b)的近端操作符< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M76 " > < mml: mrow > < mml: msub > < mml: mrow > < mml: mi > f < / mml: mi > < / mml: mrow > < mml: mrow > < mml: mn > 1 < / mml: mn > < / mml: mrow > < / mml: msub > < / mml: mrow > < / mml:数学> < / inline-formula ></gydF4y2Batitle> <p>在本文的兴趣的问题,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℱ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> ℱ</米米l:米我><米米l:mi> x</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula>。这个函数是连续可微的,它是<我talic> 更不必说了</我talic>断断续续的低。定义在(后<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq13"> 16</xgydF4y2Baref>),近端运营商<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>定义如下:<gydF4y2Badisp-formula id="EEq16"> <label>(19)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mtext> 箴</米米l:米text> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mtext> x</米米l:米text> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mtext> 参数</米米l:米text> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi> 最小值</米米l:米我><米米l:mo> ⁡</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:munder> </mml:mrow> <mml:mo> ⁡</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="script"> F</米米l:米我><米米l:mi> u</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> 为</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> u</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> 为</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </disp-formula>解决这个问题有一个简单的封闭表达式:<gydF4y2Badisp-formula id="EEq17"> <label>(20)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"> <mml:mtext> 箴</米米l:米text> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mtext> x</米米l:米text> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> γ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="script"> F</米米l:米我><米米l:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 2</米米l:米n><米米l:米i> γ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="script"> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> z</米米l:米我></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <disp-formula id="EEq18"> <label>(21)</l一个bel> <mml:math class="end-align" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="right"></mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> F</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 2</米米l:米n><米米l:米i> γ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi mathvariant="script"> F</米米l:米我><米米l:mi> z</米米l:米我><米米l:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>近端运营商<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>仅仅是维纳滤波器的球函数空间。To sum everything up, the resulting iterative Wiener-like filtering is as we can see in Algorithm<xref ref-type="other" rid="alg1"> 1</xgydF4y2Baref>。</gydF4y2Bap> </statement> <p id="alg1"> <list list-content="algorithm"> <title><大胆>算法1 < /大胆></gydF4y2Batitle> <list-item></list-item> </list></p> <p>(1)<gydF4y2Babold> 初始化:</gydF4y2Babold>设置迭代次数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 马克斯</米米l:米我><米米l:mo> </mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,步长<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mi> γ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 最小值</米米l:米我><米米l:mo> </mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>和起点<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> <list-item> <p>(2)<gydF4y2Babold> 主循环:</gydF4y2Babold>应用迭代以下步骤在每个迭代<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>:</gydF4y2Bap> </list-item> <list-item> <p>(一)FPS的向前一步:</gydF4y2Bap> </list-item> <list-item> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> u</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 2</米米l:米n><米米l:米i> γ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> Σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula></p> </list-item> <list-item> <p>(b) FPS的倒退:</gydF4y2Bap> </list-item> <list-item> <p> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ℱ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 2</米米l:米n><米米l:米i> γ</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mi> ℱ</米米l:米我><米米l:mi> u</米米l:米我></米米l:math> </inline-formula></p> </list-item> <list-item> <p>(3)<gydF4y2Babold> 停止</gydF4y2Babold>当<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 马克斯</米米l:米我><米米l:mo> </mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </list-item> <p></p> <statement id="head6"> <title>(c)计算成本</gydF4y2Batitle> <p>这种迭代维纳算法的计算成本特别低。第一步(a)只需要entrywise向量的乘法和加法。因此的顺序<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mi> </米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> N</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。第二步(2 b)是迄今为止最计算要求;它需要entrywise向量的乘法和加法的顺序<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mi> </米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 马克斯</米米l:米我><米米l:mo> </mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>(一般<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 马克斯</米米l:米我><米米l:mo> </mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≃</米米l:米o> <mml:mn> 3000年</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>向前/向后)和单球面谐波转换。数值实验的部分<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec2.3"> 2.3</xgydF4y2Baref>和<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec3.3"> 3.3</xgydF4y2Baref>的起点<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mn> 0</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>将选择条目等于零。连续算法停止时的相对差异欧式norm-between估计宇宙微波背景地图低于某个阈值:<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mo stretchy="false"> ∥</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ∥</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> ∥</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ∥</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n><米米l:米sup> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 6</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。迭代的总数一般不大于<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 马克斯</米米l:米我><米米l:mo> </mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 250年</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="head7"> <title>(d)迭代维纳滤波器的线性和偏见</gydF4y2Batitle> <p>提出迭代过滤技术保存整个宇宙微波背景辐射的线性映射处理。事实上,在算法的每一步,每一个输出线性依赖于他们的输入。这个属性是至关重要的,因为它允许一个简单的方法,通过蒙特卡罗模拟研究错误的传播;每个仿真然后接受前面描述的完全相同的处理步骤。值得轮廓的解决方案提出了迭代维纳滤波器完全解决方案中描述的维纳滤波器(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq9"> 11</xgydF4y2Baref>)。因此,该方法表现出完全相同的维纳估计量的偏差和方差。类似全球维纳滤波器,这个估计量的偏差不会消失,可以显示依赖于噪声统计数据和信号本身。这个方法同样适用于方差。</gydF4y2Bap> </statement> </sec> </sec> <sec sec-type="subsection" id="sec2.2"> <title>2.2。相关噪声的情况</gydF4y2Batitle> <p>假设一个完美的校准数据,工具的非平稳噪声主要来自天空的非均匀扫描。较低的扫描时间的数量在一个领域,噪声水平越高,反之亦然。图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig1"> 1</xgydF4y2Baref>显示了RMS在信道噪声地图<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mn> 217年</米米l:米n><米米l:米o> </mml:mo> </mml:math> </inline-formula>GHz;数学上这是不超过的对角线的平方根<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> Σ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。然而这也是众所周知的,相反一直认为在前一节中,远不是不相关的噪声。主要有两个起源相关的噪声:<l我st> <list-item> <label>(我)</l一个bel> </list-item> </list></p> <p>天空是由普朗克扫描的方式使噪声沿扫描方向相关。这意味着噪音是沿着细长的相关模式在像素域;数值的原因,这很难占pixelwise协方差矩阵<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> Σ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> <list-item> <label>(2)</l一个bel> <p>大多数现代CMB-dedicated源分离方法,Needlet ILC [<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B4"> 4</xgydF4y2Baref>],广义ILC [<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B9"> 9</xgydF4y2Baref>],SMICA [<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B10"> 10</xgydF4y2Baref>]或GMCA [<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B6"> 6</xgydF4y2Baref>)依赖于局部分析中数据的小波或needlet域。此外,最终的招商银行地图通常得到的混合物观察不共享相同的决议。这意味着最后污染宇宙微波背景的噪声,在像素域中,相关的。</gydF4y2Bap> </list-item> <p></p> <p>然后似乎自然模型non-stationary-correlated噪音:(i)在小波域中捕获其相关性和(2)本地捕获其非平稳。</gydF4y2Bap> <statement id="head8"> <title>(1)小波:基础知识</gydF4y2Batitle> <p>小波是众所周知的工具选择分析的非平稳信号(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B15"> 15</xgydF4y2Baref>]。当考虑球面数据,存在几个小波在球面上的实现。在本文中,我们将利用各向同性抽取小波变换(IUWT)介绍<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B16"> 16</xgydF4y2Baref>]。IUWT可以被看作是一个著名的延伸<我talic> 的多孔</我talic>算法球面数据(见重要著作(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B15"> 15</xgydF4y2Baref>)和引用)。任何小波变换,IUWT首先由尺度函数定义<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> θ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> φ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>定义为一个固定的截止频率<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。强调在[<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B16"> 16</xgydF4y2Baref>),这个尺度函数构建,azimuth-invariant球面上(即。,它不依赖于<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>)。经典,每一个新版本的扩展功能<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> </mml:mi> </mml:math> </inline-formula>关联到一个低通滤波器<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>或者同样的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ℓ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>在球面谐波。传统上,小波多尺度分析是由计算连续光滑近似<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。这些光滑近似是通过卷积<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>与dyadically新版本的扩展功能:<gydF4y2Badisp-formula id="eq4"> <label>(22)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ∀</米米l:米o> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> J</米米l:米我><米米l:mo> ;</米米l:米o> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋆</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mrow> <mml:mi> J</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是天平的总数。所谓的小波函数在规模<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ψ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> θ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> φ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>,被定义为两个连续的新扩展函数的区别:<gydF4y2Badisp-formula id="eq5"> <label>(23)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ψ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mi> θ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> φ</米米l:米我><米米l:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mi> θ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> φ</米米l:米我><米米l:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ϕ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mi> θ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> φ</米米l:米我><米米l:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:math> </disp-formula>小波函数在规模<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>可以等价关联到一个高通滤波器<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>或者同样的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ℓ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n><米米l:米o> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> ℓ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>在球面谐波。尺度的小波系数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>然后计算卷积平滑近似的<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在规模<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>与<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> </mml:mo> </mml:math> </inline-formula>th小波函数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ψ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> θ</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> φ</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。<gydF4y2Badisp-formula id="eq6"> <label>(24)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ∀</米米l:米o> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> J</米米l:米我><米米l:mo> ;</米米l:米o> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋆</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在球面谐波,这相当于一个简单的乘法运算的信号与小波滤波器的球面谐波系数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。冗余分解,几个策略可以用来重建<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>小波系数和粗分辨率<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> J</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。最简单的是提倡的<我talic> 的多孔</我talic>算法:<gydF4y2Badisp-formula id="eq7"> <label>(25)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> J</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:munderover> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo> ∑</米米l:米o> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> J</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在下面,噪声建模将在每个小波进行规模;每组的系数<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> J</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> </statement> <statement id="head9"> <title>(2)小波统计建模的相关噪声</gydF4y2Batitle> <p>正如前面强调的那样,一个优雅的方式来建模工具噪声是考虑其扩张系数的分布在球面小波域。的基本思想在于假定噪声的小波系数大约decorrelated。这个想法的根源领域的多尺度统计建模:它已经表明,小波展览(几乎)-decorrelating属性的非平稳随机过程的一些类。只举一个例子,这是对分数布朗运动(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B17"> 17</xgydF4y2Baref>)已广泛用于幂律模型后随机过程。在下面,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>表示噪声的小波系数项吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在规模上<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在像素<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>公约:<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>对应于最好的规模和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> J</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>粗分辨率。从这个定义,我们将假设这些小波系数验证:<gydF4y2Badisp-formula id="EEq19"> <label>(26)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi mathvariant="double-struck"> E</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:mo> {</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ]</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> }</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>代表当地的像素噪声的方差<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>克罗内克符号函数。这需要在小波噪声的协方差矩阵的规模<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>对角线,等于:<gydF4y2Badisp-formula id="EEq20"> <label>(27)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 诊断接头</米米l:米我><米米l:mo> ⁡</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>当地的标准偏差的噪音,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> Σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,必须事先估计的数据。数值实验的部分<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec2.3"> 2.3</xgydF4y2Baref>这些参数估计,实现从单一噪声。一般认为,一个能够访问噪声实现通常来源于模拟或从数据本身。假设当地的差异<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>慢慢地从一个像素的噪声不同,它可以近似像素<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>实证估计的方差在固定周围社区;在接下来的这个社区将一片大小<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:msqrt> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:msqrt> <mml:mo> ×</米米l:米o> <mml:msqrt> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:msqrt> </mml:math> </inline-formula>为中心的像素<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>:<gydF4y2Badisp-formula id="EEq21"> <label>(28)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:munder> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo> ∑</米米l:米o> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi mathvariant="script"> N</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:mi> </米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>代表像素组成的指标周围像素的补丁<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。注意,补丁的大小<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:msqrt> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>高度取决于噪声方差空间变化有多快。这尤其意味着<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:msqrt> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>应该在最好的和更大的规模小一点的吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>增加。自然的二元尺度的小波变换后,补丁规模大小<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>将规模如下:<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>代表补丁的大小在最细尺度上。</gydF4y2Bap> </statement> </sec> <sec sec-type="subsection" id="sec2.3"> <title>2.3。数值实验</gydF4y2Batitle> <sec sec-type="subsubsection" id="sec2.3.1"> <title>2.3.1。实验数据集</gydF4y2Batitle> <p>在下面,将进行数值实验模拟普朗克数据描述(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xgydF4y2Baref>];据我们所知,这是唯一的证据公开可用的模拟数据。输入招商银行地图已被应用最近推出了计算源分离技术创造Local-GMCA (L-GMCA,参见[<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B6"> 6</xgydF4y2Baref>,<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B18"> 18</xgydF4y2Baref>普朗克模拟数据)。这些数据已经部署在[<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xgydF4y2Baref>)对源分离方法的性能进行评估。关于这些数据的更多技术细节,我们感兴趣的读者参考<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xgydF4y2Baref>]。据我们所知这个数据集是唯一的证据现实普朗克模拟公开的数据集。它包含各种同步加速器和免费排放的贡献,异常灰尘,灰尘,SZ效应和招商银行。这些普朗克模拟观测的仪器噪声在每个被认为是不相关的,但非平稳。</gydF4y2Bap> <p>污染原始宇宙微波背景辐射的噪声地图输出的大多数组件分离技术是不稳定的和相关的。宇宙微波背景地图估计从几个观察在不同的决议,估计输出噪声明显相关。源分离技术如L-GMCA [<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B6"> 6</xgydF4y2Baref>,<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B18"> 18</xgydF4y2Baref>]或Needlet-ILC [<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B4"> 4</xgydF4y2Baref>)也在不同的小波分析数据在小补丁或needlet鳞片。这样的地方/多尺度过程还在原点的相关的噪声污染宇宙微波背景地图。</gydF4y2Bap> </sec> </sec> <sec sec-type="subsection" id="sec2.4"> <title>2.4。实验结果</gydF4y2Batitle> <p>在本节中,我们特别关注了该方法的降噪方面。参考天体物理学领域的去噪方法,更特别的是招商银行数据分析<我talic> 全球</我talic>维纳滤波器应用于球函数。反对这个经典的过滤技术,提出了迭代滤波方法占非平稳噪声;因此,它比全球维纳尤其应该提供更好的解决方案。</gydF4y2Bap> <p>在前面的小节中,详细的建模噪声贡献表现在小波域:噪音被认为是不稳定但decorrelated在每个小波尺度<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。在每个小波尺度,噪声协方差矩阵估计本地实现从单一噪声。每个小波尺度的噪声协方差评价上本地补丁的大小<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>按照惯例,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>被定义为最好的小波尺度。作为一个示例,图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig8"> 8</xgydF4y2Baref>显示估计噪声RMS地图规模<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> <p>全球维纳解计算过滤原始宇宙微波背景辐射图<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>与球函数中定义的线性滤波器(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq9"> 11</xgydF4y2Baref>)。宇宙微波背景辐射功率谱<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是一个WMAP7最佳估计;噪声功率谱<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>通过pseudo-power谱估计噪声的实现。</gydF4y2Bap> <p>迭代维纳已经应用到原始嘈杂的CMB地图<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。单一参数调优是迭代的数量<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 马克斯</米米l:米我><米米l:mo> </mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>;在接下来的实验中,它已经被固定到250。图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig2"> 2</xgydF4y2Baref>显示了噪声地图,LIW-Filtering解决方案和实现用于估计噪声当地最好的小波尺度差异。图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig3"> 3</xgydF4y2Baref>显示剩余的地图<我talic> 全球</我talic>维纳和LIW-Filtering解决方案。如预期的非平稳足迹噪声残余LIW-Filtering地图上出现明显的偏差估计地图较低。</gydF4y2Bap> <fig-group id="fig2"> <p> <italic> 招商银行地图</我talic>(一)噪声图像。(b) LIW-Filtering解决方案。(c)中残留的地图(真正的map-noisy地图)最好的小波尺度。(d)中残留的地图(真map-LIW-Filtering解决方案)最好的小波尺度。单位<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:mrow> <mml:mtext> 可</米米l:米text> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> <fig id="fig2a"> <label>(一)</l一个bel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aa/2012/703217.fig.002a"></graphic> </fig> <fig id="fig2b"> <label>(b)</l一个bel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aa/2012/703217.fig.002b"></graphic> </fig> <fig id="fig2c"> <label>(c)</l一个bel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aa/2012/703217.fig.002c"></graphic> </fig> <fig id="fig2d"> <label>(d)</l一个bel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aa/2012/703217.fig.002d"></graphic> </fig> </fig-group> <fig-group id="fig3"> <p> <italic> 去除噪声地图</我talic>(例如,<我talic> 嘈杂的数据</我talic>- - - - - -<我talic> 过滤数据</我talic>)最好的小波尺度,(一个)<我talic> 全球</我talic>维纳滤波器。从LIW-Filtered (b)的解决方案。<我talic> 这些地图对应所过滤的噪声地图</我talic>。噪声的数量被LIW-Filtering则更为现实。单位<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:mrow> <mml:mtext> 可</米米l:米text> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> <fig id="fig3a"> <label>(一)</l一个bel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aa/2012/703217.fig.003a"></graphic> </fig> <fig id="fig3b"> <label>(b)</l一个bel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aa/2012/703217.fig.003b"></graphic> </fig> </fig-group> <p>图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig4"> 4</xgydF4y2Baref>过滤特性的功率谱和地图。我们想要指出,这些功率谱计算的原始地图;没有屏蔽应用。这尤其意味着这些估计可能是偏见从银河盘面的前景。第一个观察是全球维纳滤波器并未完全消除噪音高<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>相反的迭代滤波技术。这可以解释为在高存在明显的非平稳<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>可以产生大量的偏见在高频率。有趣的是,迭代技术成功在很大程度上减少噪音高<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M165"> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>因此支持重大贡献的非平稳噪声功率谱产生偏见。更多的技术,值得注意的是,一个随机过程的功率谱是正确地定义,只要这个过程是广泛意义上固定<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B19"> 19</xgydF4y2Baref>]。显然,非平稳噪声使它离开这个假设;从而功率谱没有严格的统计意义。说不同,噪声的功率谱<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M166"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>不包含所有的信息的非平稳噪声在像素域。</gydF4y2Bap> <fig id="fig4"> <label>图4</l一个bel> <p> <italic> 功率谱。</我talic>横坐标:球面谐波系数。纵坐标:招商银行权力<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:mtext> 米</米米l:米text> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mtext> K</米米l:米text> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。虚线显示噪声的功率谱为不同的地图。</gydF4y2Bap> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aa/2012/703217.fig.004"></graphic> </fig> <p>众所周知,维纳滤波器提供了招商银行有偏置功率谱的地图。从而维纳滤波器在红图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig4"> 4</xgydF4y2Baref>产生一个负面的偏见在高功率谱<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>当噪音高度在CMB-typically主导<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M169"> <mml:mi> ℓ</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o> <mml:mn> 2500年</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> <p>图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig5"> 5</xgydF4y2Baref>显示剩余的功率谱:<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M170"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>。这个数量是特别适合可视化之间的权力差异的频率原始宇宙微波背景辐射图<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M171"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>及其估计<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M172"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。正如预期,<我talic> 全球</我talic>维纳滤波降低在高噪声的贡献<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M173"> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>(见蓝线在图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig5"> 5</xgydF4y2Baref>)。不过,过滤后的地图很大程度上偏离原来的地图。有趣的是,该迭代过滤技术(红色在图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig5"> 5</xgydF4y2Baref>)很大程度上优于经典的维纳滤波器<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M174"> <mml:mi> ℓ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 900年</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>来<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M175"> <mml:mi> ℓ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 3000年</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。更准确地说,剩余功率降低了一个数量级<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M176"> <mml:mi> ℓ</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o> <mml:mn> 2500年</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> <fig id="fig5"> <label>图5</l一个bel> <p> <italic> 剩余功率谱。</我talic>横坐标:球面谐波系数。纵坐标:招商银行权力<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M177"> <mml:mtext> 米</米米l:米text> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mtext> K</米米l:米text> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。虚线显示噪声的功率谱为不同的地图。</gydF4y2Bap> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aa/2012/703217.fig.005"></graphic> </fig> <p>一个更完整的测量原始地图之间的差异<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M178"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>和它的一个估计<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M179"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在于评估均方误差(MSE)的小波域。为此,数字<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig6"> 6</xgydF4y2Baref>宇宙微波背景地图的显示不同的估计的均方误差在5小波尺度在对数刻度。一些招商银行地图之间的归一化均方误差估计<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M180"> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和“真实”招商银行地图计算如下:<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M181"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> /</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。再一次,这一数字表明,迭代技术直接占的非平稳噪声,执行比<我talic> 全球</我talic>维纳滤波器。噪声的影响往往消失在更大的尺度(<我talic> 通常</我talic>为<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M182"> <mml:mi> ℓ</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1500年</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>)。</gydF4y2Bap> <fig id="fig6"> <label>图6</l一个bel> <p> <italic> 每个小波尺度MSE。</我talic>横坐标:小波scale-0对应<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M183"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。纵坐标:归一化均方误差。</gydF4y2Bap> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aa/2012/703217.fig.006"></graphic> </fig> <p>为了更好地说明之间的差异<我talic> 全球</我talic>维纳滤波和迭代同行,图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig7"> 7</xgydF4y2Baref>显示不同的宇宙微波背景估计的均方误差映射每个乐队已在小波域中计算纬度的宽度10°。按照惯例,银面集中在纬度0°。图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig7a"> 7(一)</xgydF4y2Baref>显示了MSE已从最好的小波尺度评估<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M184"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>;这对应于一个范围从分析窗口<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M185"> <mml:mi> ℓ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1500年</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>来<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M186"> <mml:mi> ℓ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 3000年</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。同样,在全球范围内,一个可以指出之间的明显改善<我talic> 全球</我talic>维纳滤波器及其迭代版本。如预期的维纳滤波器最优MSE。更有趣的是,两种过滤技术的MSE似乎相当恒定的高纬度地区和大幅增加的范围<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M187"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n><米米l:米sup> <mml:mrow> <mml:mn> 5</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> °</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n><米米l:米sup> <mml:mrow> <mml:mn> 5</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> °</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。已经强调,这些线性滤波技术的影响是更重要的,当信号噪声比(信噪比)减少。这显然是在较小的尺度上。在更大的尺度,增加信噪比和过滤的影响明显要少得多。这正是可以观察到在图的右边的阴谋<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig7b"> 7 (b)</xgydF4y2Baref>:任何过滤的MSE大规模招商银行地图<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M188"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,这严重从对应分析窗口<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M189"> <mml:mi> ℓ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 750年</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>来<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M190"> <mml:mi> ℓ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1500年</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,大约是相同的。</gydF4y2Bap> <fig-group id="fig7"> <p> <italic> 每个纬度在小波尺度MSE</我talic>(一)<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M191"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula> <italic> 和</我talic>(b)<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M192"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。横坐标:纬度。银河平面对应<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M193"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∘</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。纵坐标:归一化均方误差。</gydF4y2Bap> <fig id="fig7a"> <label>(一)</l一个bel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aa/2012/703217.fig.007a"></graphic> </fig> <fig id="fig7b"> <label>(b)</l一个bel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aa/2012/703217.fig.007b"></graphic> </fig> </fig-group> <fig id="fig8"> <label>图8</l一个bel> <p> <italic> 协方差估计的噪声在小波尺度图</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M194"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>协方差:这个地图已经从单一实现噪声估计污染宇宙微波背景估计GMCA模拟普朗克data-see (<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xgydF4y2Baref>对这些数据的描述。单位<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M195"> <mml:mtext> 米</米米l:米text> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mtext> K</米米l:米text> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aa/2012/703217.fig.008"></graphic> </fig> <p>在这些实验结果的一个简短的结论,似乎明显的非平稳噪声影响宇宙微波背景估计。最经典的降噪技术,即<我talic> 全球</我talic>维纳滤波器,只有依靠宇宙微波背景辐射的功率谱<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M196"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和噪音<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M197"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。很明显,噪声功率谱的行为几乎不包含空间信息的行为。这些实验表明,噪声的非平稳有一个明确的对宇宙微波背景的影响。进一步占空间噪声方差的变化有助于提高降噪过程一个引人注目的数字。</gydF4y2Bap> </sec> </sec> <sec sec-type="section" id="sec3"> <title>3所示。从降噪减少污染</gydF4y2Batitle> <p>所介绍的部分<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec1"> 1</xgydF4y2Baref>之一,本文的目的是解决离异后污染减少的问题。在这种背景下,污染通常意味着仪器噪声和残差的银河前景。在普朗克,招商银行地图通常通过应用源分离方法。大多数这些方法提供了一个解决方案,可以制定为一个线性组合的原始普朗克多通道观测。因此,相关假设这些污染物基本上贡献分析宇宙微波背景地图:<gydF4y2Badisp-formula id="EEq22"> <label>(29)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M198"> <mml:mi> y</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mi> n</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M199"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>代表前台和污染<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M200"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>仪器噪声。此外,它也是自然假设这三个组件<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M201"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M202"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M203"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>是相互不相关的。前面几节中介绍的过滤技术主要依赖于污染物的特点是他们的协方差矩阵<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M204"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> Σ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。我们旨在解决的问题,这一段是:<我talic> 我们知道多远</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M205"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold-italic"> Σ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula> <italic> 如何能被估计的数据吗?</我talic></p> <sec sec-type="subsection" id="sec3.1"> <title>3.1。前景剩余误差建模</gydF4y2Batitle> <p>与噪音,前台残余通常非高斯,除了联会(见[<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B20"> 20.</xgydF4y2Baref>])。我们进一步限制模型的残差二阶统计从而选择高斯近似的贡献。前台残差的贡献很明显不知道提前;这意味着他们必须估计协方差矩阵直接从数据。从不同组件的uncorrelation添加剂污染模型(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq22"> 29日</xgydF4y2Baref>)然后读取的第二个统计:<gydF4y2Badisp-formula id="eq8"> <label>(30)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M206"> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> </米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:math> </disp-formula></p> <p>在这个方程中,意味着前景像素的相关性<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M207"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> Σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是分支。类似于噪声、二阶依赖前景像素的方法太复杂建模在像素域。</gydF4y2Bap> <p>捕捉前景像素的相关性,自然和简单的策略归结为采用小波统计建模用于模型相关噪声在前一节中<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec2.2"> 2.2</xgydF4y2Baref>(2)。为此,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M208"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>表示小波系数吗<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M209"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在规模上<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M210"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>在像素<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M211"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>公约:<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M212"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>对应于最好的规模和<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M213"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> J</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>粗分辨率。从这个定义,我们将假设这些小波系数验证:<gydF4y2Badisp-formula id="EEq23"> <label>(31)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M214"> <mml:mi mathvariant="double-struck"> E</米米l:米我><米米l:mrow> <mml:mo> {</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ]</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo> }</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M215"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>代表当地的方差的前景像素<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M216"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>。前台残余的协方差矩阵小波尺度<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M217"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>对角线,等于:<gydF4y2Badisp-formula id="EEq24"> <label>(32)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M218"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 诊断接头</米米l:米我><米米l:mo> ⁡</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:math> </disp-formula>在实际情况下,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M219"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> Σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>必须是估计的数据<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M220"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>他们自己。类似噪声的建模,局部噪声方差的前景将由实证估计的方差近似周围社区的大小<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M221"> <mml:msqrt> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:msqrt> <mml:mo> ×</米米l:米o> <mml:msqrt> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:msqrt> </mml:math> </inline-formula>为中心的像素<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M222"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>:<gydF4y2Badisp-formula id="EEq25"> <label>(33)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M223"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:munder> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo> ∑</米米l:米o> </mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我><米米l:mo> ∈</米米l:米o> <mml:mi mathvariant="script"> N</米米l:米我><米米l:mo> (</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:mo> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> w</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:math> </disp-formula></p> </sec> <sec sec-type="subsection" id="sec3.2"> <title>3.2。污染的过滤</gydF4y2Batitle> <p>在本文的其余部分中,我们通常会使用术语污染贡献的前景残差和仪器噪音。在接下来的建议之前,我们也选择相同的模型捕捉仪器噪声的像素相关性。因此,现在我们将定义局部像素<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M224"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>和规模<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M225"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>污染(噪音和前景)的方差<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M226"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:米o> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。噪音和前景的共同贡献剩余工资将从数据共同评估。</gydF4y2Bap> <p>从当地的估计方差<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M227"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> k</米米l:米我><米米l:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>;有回忆,污染物的方差是不能直接访问但等于:<gydF4y2Badisp-formula id="EEq26"> <label>(34)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M228"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M229"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>代表宇宙微波背景的方差<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M230"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 马克斯</米米l:米我><米米l:mo> </mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mn> 0</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。让使用注意,从宇宙微波背景地图的平稳性,<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M231"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>没有明确取决于什么<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M232"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>;这是大规模只要补丁的大小<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M233"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>相比足够大(即宇宙微波背景波动。、相关长度)<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M234"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>小波尺度。大规模招商银行的价值差异<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M235"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>th直接相关招商银行权力在这个规模;它的值可以来自宇宙微波背景功率谱<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M236"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>和小波分析过滤器。为此,我们表示<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M237"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ψ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>球面谐波滤波器的小波尺度<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M238"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>定义。强调的部分<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec1"> 1</xgydF4y2Baref>宇宙微波背景地图的球面谐波系数应该相互不相关的。这特别需要的招商银行的力量<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M239"> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>th小波尺度是:<gydF4y2Badisp-formula id="eq9"> <label>(35)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M240"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:米n><米米l:米i> π</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:munder> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo> ∑</米米l:米o> </mml:mstyle> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我></米米l:munder> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n><米米l:米i mathvariant="script"> l</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> ψ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:math> </disp-formula>由此可见,污染的方差在像素<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M241"> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>约等于:<gydF4y2Badisp-formula id="EEq27"> <label>(36)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M242"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:米n><米米l:米i> π</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:mfrac> <mml:munder> <mml:mstyle displaystyle="true"> <mml:mo> ∑</米米l:米o> </mml:mstyle> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我></米米l:munder> <mml:mrow> <mml:mo> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n><米米l:米i mathvariant="script"> l</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mo> )</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> ψ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</米米l:米o> </mml:math> </disp-formula>因此,从<我talic> 先天的</我talic>知识的宇宙微波背景辐射的功率谱<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M243"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ℓ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,剩余的一个近似的贡献可以评估每个像素和每个小波尺度。读者必须记住这个贡献只是近似的测量的光下,并被认为是以下假设:(1)剩余的贡献被建模为非平稳的高斯场的协方差矩阵是对角在每个小波尺度及其方差(2)评估在小片的大小<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M244"> <mml:msqrt> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:msqrt> <mml:mo> ×</米米l:米o> <mml:msqrt> <mml:mi> P</米米l:米我></米米l:msqrt> </mml:math> </inline-formula>大约,它被认为是固定在一个给定的分析补丁。然而,即使有了这些近似,我们的模型提供了一个更现实的建模数据的复杂性比传统的维纳方法。改进的建模将讨论部分<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec4.1"> 4.1</xgydF4y2Baref>。</gydF4y2Bap> <p>让<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M245"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> Σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:米o> <mml:mi> 诊断接头</米米l:米我><米米l:mo> </mml:mo> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> )</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。然后,在算法中引入部分<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec2"> 2</xgydF4y2Baref>,噪声矩阵<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M246"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> Σ</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>会被替换成以下协方差矩阵:<gydF4y2Badisp-formula id="eq10"> <label>(37)</l一个bel> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M247"> <mml:mtable class="split"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> </米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> W</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo symmetric="false" class="bmatrix"> (</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:mtable class="bmatrix"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="bold"> 0</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="bold"> 0</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="bold"> 0</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⋱</米米l:米o> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="bold"> 0</米米l:米n></米米l:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="bold"> 0</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:mn mathvariant="bold"> 0</米米l:米n></米米l:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> </米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:米我><米米l:mo> ,</米米l:米o> <mml:mi> J</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> <mml:mo symmetric="false" class="bmatrix"> ]</米米l:米o> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> W</米米l:米我></米米l:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo> ,</米米l:米o> </mml:math> </disp-formula></p> <p>在哪里<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M248"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> W</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:math> </inline-formula>代表了各向同性和小波变换<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M249"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mtext mathvariant="bold"> W</米米l:米text> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="bold"> T</米米l:米我></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>它的伴随。随着迭代技术中引入部分<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec2"> 2</xgydF4y2Baref>,由此产生的小波滤波将创造LIW-Filtering线性迭代维纳滤波在以下。</gydF4y2Bap> </sec> <sec sec-type="subsection" id="sec3.3"> <title>3.3。对普朗克模拟数据减少污染</gydF4y2Batitle> <p>在本节中使用的数据集是完全相同的,我们用来研究降噪。这是部分中描述<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec2.3"> 2.3</xgydF4y2Baref>。</gydF4y2Bap> <p>强调的部分<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec3"> 3</xgydF4y2Baref>,小波噪声/污染方差建模使用到目前为止可以占到前台过滤过程中污染的贡献。估计前景污染的贡献,因为详细的节<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec3"> 3</xgydF4y2Baref>,减少污染。在接下来的实验中,污染,包括噪声的贡献和前台残差近似的贡献,一直在小波域建模(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B16"> 16</xgydF4y2Baref>使用6级)。在每个小波尺度,除了没有过滤的粗尺度,污染被认为是高斯的贡献和本地固定大小的补丁<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M250"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> {</米米l:米o> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> +</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false"> }</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mn> 5</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig9"> 9</xgydF4y2Baref>估计方差特性映射在对数刻度。备注,如果这种污染物的形态差异映射类似于乍一看noise-only方差地图,前者显然是更大的动态范围3订单的大小。这些差异主要是重要的在银道面和地方特色,有可能点光源或残差深圳集群。</gydF4y2Bap> <fig id="fig9"> <label>图9</l一个bel> <p> <italic> 在小波尺度估计协方差污染地图</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M251"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>:这个地图已经从宇宙微波背景估计协方差估计GMCA。单位<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M252"> <mml:mtext> 米</米米l:米text> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mtext> K</米米l:米text> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aa/2012/703217.fig.009"></graphic> </fig> <p>拟议中的Wiener-based迭代法已应用于上述普朗克模拟数据。图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig10"> 10</xgydF4y2Baref>显示地图之间的差异noise-only LIW-Filtering解决方案和提出的contamination-aware LIW-Filtering最好解决方案在小波尺度。似乎很明显,地图的区别主要集中在银道面和点光源在高纬度。</gydF4y2Bap> <fig id="fig10"> <label>图10</l一个bel> <p> <italic> 招商银行和剩余地图</我talic>差异之间的映射noise-only LIW-Filtering解决方案和contamination-aware LIW-Filtering最好解决方案在小波尺度。单位<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M253"> <mml:mrow> <mml:mtext> 可</米米l:米text> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aa/2012/703217.fig.0010"></graphic> </fig> <p>图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig11"> 11</xgydF4y2Baref>显示原始的功率谱和过滤CMB地图的理论功率谱模拟地图黑色dash-dotted线。乍一看,占前台残差的贡献,甚至约,产量提高<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M254"> <mml:mi> ℓ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 750年</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。也许更有趣的是,图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig12"> 12</xgydF4y2Baref>显示剩余的功率谱图<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M255"> <mml:mi> x</米米l:米我><米米l:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mover accent="true"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mo> ̂</米米l:米o> </mml:mover> </mml:math> </inline-formula>:contaminant-aware过滤技术明显优于以前的方法<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M256"> <mml:mi> ℓ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 250年</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>来<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M257"> <mml:mi> ℓ</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 3000年</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>用一个戏剧性的改善<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M258"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mn> 750年,1500年</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> <fig id="fig11"> <label>图11</l一个bel> <p> <italic> 功率谱。</我talic>横坐标:球面谐波系数。纵坐标:招商银行权力<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M259"> <mml:mtext> 米</米米l:米text> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mtext> K</米米l:米text> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。虚线显示噪声的功率谱为不同的地图。</gydF4y2Bap> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aa/2012/703217.fig.0011"></graphic> </fig> <fig id="fig12"> <label>图12</l一个bel> <p> <italic> 剩余功率谱</我talic>。横坐标:球面谐波系数。纵坐标:招商银行权力<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M260"> <mml:mtext> 米</米米l:米text> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mtext> K</米米l:米text> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。虚线显示噪声的功率谱为不同的地图。</gydF4y2Bap> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aa/2012/703217.fig.0012"></graphic> </fig> <p>图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig13"> 13</xgydF4y2Baref>显示小波MSE我们描述了在前面的段落。contaminant-aware过滤技术得到进一步的结果添加到情节图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig6"> 6</xgydF4y2Baref>。让我们回想一下,在前一节中描述的降噪技术主要是帮助减少噪音noise-dominant政权。这特别解释了为什么MSE仍然几乎不变的小波尺度<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M261"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> ></米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。有趣的是,一个近似的贡献占前景有助于减少其影响更大的尺度上,通常<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M262"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 3</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> <fig id="fig13"> <label>图13</l一个bel> <p> <italic> 每个小波尺度归一化均方误差</我talic>。横坐标:小波scale-0对应<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M263"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。纵坐标:归一化均方误差。</gydF4y2Bap> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aa/2012/703217.fig.0013"></graphic> </fig> <p>图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig14"> 14</xgydF4y2Baref>介绍了均方误差计算在不同纬度的最好的小波尺度<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M264"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>——情节图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig14a"> (14日)</xgydF4y2Baref>——<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M265"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>绘制在图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig14b"> 14 (b)</xgydF4y2Baref>。占污染物的贡献提高了MSE的过滤所有纬度上的地图。有趣的是,MSE是减少了一个大数量的因素大约5秒的银河(纬度0°)。也是在小波尺度的比较多<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M266"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> <fig-group id="fig14"> <p>(一)<我talic> 每个纬度在小波尺度归一化均方误差</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M267"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula> <italic> 和</我talic>(b)<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M268"> <mml:mi> </mml:mi> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。横坐标:纬度。银河平面对应<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M269"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∘</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。纵坐标:归一化均方误差。</gydF4y2Bap> <fig id="fig14a"> <label>(一)</l一个bel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aa/2012/703217.fig.0014a"></graphic> </fig> <fig id="fig14b"> <label>(b)</l一个bel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aa/2012/703217.fig.0014b"></graphic> </fig> </fig-group> <p>假设普朗克仪器噪声是高斯被广泛视为一个合理的假设。这显然不是的前景残差的存在可能会扭曲寻找非高斯特性在宇宙微波背景。从而,减少污染物的数量应该有助于防止同时测试的非高斯前景残差的影响。领域的招商银行同时评估,一个经典的方法归结为测量高阶统计在小波域(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B21"> 21</xgydF4y2Baref>]。的一个统计选择的统计订单4,表示<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M270"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> κ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>,又名峰态。估计的小波系数的峰度CMB地图一直在评估5鳞片;同时测试结果如图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig15"> 15</xgydF4y2Baref>。第一次观察到,该方法有助于减少非高斯噪声污染,即使只有建模为一个假的组件。这表明,噪声可以生成的非平稳的行为不受欢迎的非高斯签名。因此,占的不稳定行为噪声降噪过程中减少过滤的峰度地图一个数量级的最好的小波尺度。</gydF4y2Bap> <fig id="fig15"> <label>图15</l一个bel> <p> <italic> 峰度</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M271"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> κ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <italic> 每个小波尺度</我talic>。横坐标:小波scale-0对应<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M272"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。纵坐标:峰度值<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M273"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> κ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aa/2012/703217.fig.0015"></graphic> </fig> <p>红色的虚线图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig15"> 15</xgydF4y2Baref>显示了一个明显的还原峰态的过滤地图建模在前台残差的贡献。更准确地说,的价值<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M274"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> κ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>是严重减少4数量级<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M275"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,2个数量级<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M276"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>和1个数量级<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M277"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 3</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。虽然noise-only过滤收益率偏离高斯假设的地图<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M278"> <mml:mi> J</米米l:米我><米米l:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,现在contamination-aware过滤图兼容所有小波尺度的高斯假设<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M279"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> κ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> <p>图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig16"> 16</xgydF4y2Baref>提供更详细的同时测试;这个图显示的三个地块的进化<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M280"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> κ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>最好的三个小波尺度<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M281"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n><米米l:米o> ,</米米l:米o> <mml:mo> …</米米l:米o> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mn> 3</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,评估纬度带的宽度<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M282"> <mml:mn> 1</米米l:米n><米米l:米sup> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∘</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。银道面集中的点<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M283"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∘</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。非高斯污染主要来源于星系的存在前景主要集中在银道面剩余工资。这就解释了非常大的价值<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M284"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> κ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在纬度的范围<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M285"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n><米米l:米sup> <mml:mrow> <mml:mn> 5</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∘</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n><米米l:米sup> <mml:mrow> <mml:mn> 5</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∘</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。第二著名的非高斯信号在空间高频无线电和红外点源。这些前景大致均匀分散在天空。点光源可能非高斯信号的主要来源在高纬度因此解释的相对较大的值<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M286"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> κ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>在这个纬度的范围。如图<xgydF4y2Baref ref-type="fig" rid="fig16a"> (16日)</xgydF4y2Baref>,进一步过滤污染(见红色虚线)收益率大幅减少<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M287"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> κ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>5数量级在银道面。过滤CMB映射可能是兼容的高斯假设在每一个纬度,即使在银河平面。在第二波<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M288"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,同样的减少非高斯特征在一定程度上也能看到,主要是在银道面范围<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M289"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mo> - - - - - -</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n><米米l:米sup> <mml:mrow> <mml:mn> 5</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∘</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n><米米l:米sup> <mml:mrow> <mml:mn> 5</米米l:米n></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∘</米米l:米o> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>。在第三波,该过滤可能减少银河盘面的非高斯特征;在这个范围的尺度(即。,the third wavelet scale roughly corresponds to an analysis window that spans the range<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M290"> <mml:mo stretchy="false"> (</米米l:米o> <mml:mn> 375750年</米米l:米n><米米l:米o stretchy="false"> ]</米米l:米o> </mml:math> </inline-formula>),宇宙微波背景在很大程度上是占主导地位的需要:(i)输入地图已经很符合高斯假设和(2)的影响过滤时可能会不太明显的同时测量。</gydF4y2Bap> <fig-group id="fig16"> <p> <italic> 峰度</我talic> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M291"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> κ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula> <italic> 每个纬度在小波尺度</我talic>(一)<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M292"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 1</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>,(b)<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M293"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 2</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>和(c)<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M294"> <mml:mi> j</米米l:米我><米米l:mo> =</米米l:米o> <mml:mn> 3</米米l:米n></米米l:math> </inline-formula>。横坐标:纬度。银河平面对应0°。纵坐标:峰度值<我nl我ne- - - - - -formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M295"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> κ</米米l:米我></米米l:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:米n></米米l:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2Bap> <fig id="fig16a"> <label>(一)</l一个bel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aa/2012/703217.fig.0016a"></graphic> </fig> <fig id="fig16b"> <label>(b)</l一个bel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aa/2012/703217.fig.0016b"></graphic> </fig> <fig id="fig16c"> <label>(c)</l一个bel> <graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/aa/2012/703217.fig.0016c"></graphic> </fig> </fig-group> </sec> </sec> <sec sec-type="section" id="sec4"> <title>4所示。讨论、前景和结论</gydF4y2Batitle> <sec sec-type="subsection" id="sec4.1"> <title>4.1。讨论和前景</gydF4y2Batitle> <sec sec-type="subsubsection" id="sec4.1.1"> <title>以下4.4.1。过滤的地图,有什么用呢?</gydF4y2Batitle> <p>重要的宇宙估计CMB地图上执行测试和评估;这是特别的CMB透镜重建<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B7"> 7</xgydF4y2Baref>只有名字和非高斯特征检测两次。这些测试假组件污染特别敏感估计CMB地图,噪音还是前景残差。这是因此估计CMB地图的关键是污染的可能就越少。我们想强调第二点是前面提到的宇宙学测试或评估通常执行张全景数据;之前任何后处理估计地图是蒙面摆脱银河前景和点光源的影响。这有两个严重的后果:(i)它限制样本的大小,这些测试/评估从而增加执行这些测试的统计方差和(2)这些测试必须处理这个面具(例如,通过一个修补程序(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B7"> 7</xgydF4y2Baref>])从而使宇宙微波背景地图的分析通常更复杂。</gydF4y2Bap> <p>如图所示在前面的实验中,该过滤显然限制了噪声的影响,考虑到其不稳定的行为。此外,结果表述明确表明建模前景残差的贡献使污染减少有效甚至在银河平面。这有两个严重的后果:(i)它可以使用更小的面具之前估计的任何分析招商银行地图和(2)它有助于减少非高斯特性,源自前景残差的存在。</gydF4y2Bap> </sec> <sec sec-type="subsubsection" id="sec4.1.2"> <title>4.1.2。超出了提出方法</gydF4y2Batitle> <p>是否噪音或前景残余岌岌可危,中央的核心假设是污染的建模是解相关假设我们在部分<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec3"> 3</xgydF4y2Baref>。假设污染物的潜在不稳定但decorrelated样本在每个小波尺度。支持这一假设的基本观点是著名的decorrelating小波基的性质。如果这种假设几乎适用于随机过程理论(例如,分数布朗运动(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B17"> 17</xgydF4y2Baref>只有名字]),这只是大致近似为更一般的信号如银河前景或复杂的相关噪声。这种假设背后的基本想法是,多尺度分析的基础上能够捕获<我talic> 相关形态</我talic>组件的建模。威尔金森微波各向异性探测器等的调查,包括光栅扫描或普朗克,很可能仪器噪声将沿扫描方向高度相关。这意味着普朗克仪器噪声的相关性是更好地建模为decorrelated随机过程多尺度信号表示最能代表细长的结构如曲波紧框架(<xgydF4y2Baref ref-type="bibr" rid="B16"> 16</xgydF4y2Baref>]。我们可以推断相同参数建模的前景残差。</gydF4y2Bap> <p>污染建模到目前为止用于本文解相关假设的利润;它特别有助于简化过滤过程只需要对角矩阵的处理(即。、根均方地图)。离开去相关的假设将在很大程度上增加的复杂性提出了过滤技术。然而,一个直接的方法扩展该方法是选择多尺度信号表示更好适应信号的形态或结构建模。</gydF4y2Bap> </sec> <sec sec-type="subsubsection" id="sec4.1.3"> <title>4.1.3。在招商银行同时减少污染的潜在影响</gydF4y2Batitle> <p>重要的是怀疑污染减少过滤中引入部分<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec3"> 3</xgydF4y2Baref>可能会影响或减少潜在CMB-related同时指出。一个重要的观点是,当地的污染估计的方差部分<xgydF4y2Baref ref-type="sec" rid="sec3"> 3</xgydF4y2Baref>领导,在实践中,估计前景污染很大程度上超过平均招商银行在每个小波尺度。因此,过滤应该有更小的影响订单的同时指出其大小或低于宇宙微波背景的大小。值得指出的是,统治(<xgydF4y2Baref ref-type="disp-formula" rid="EEq27"> 36</xgydF4y2Baref>方差)来估计当地的污染也可以选择不同的只占同时保证很大程度上超过宇宙微波背景的大小从而避免肯定任何影响潜在CMB-related同时指出。未来的工作将集中在评估拟议的过滤技术在招商银行的潜在影响透镜重建,同时检测。</gydF4y2Bap> </sec> </sec> <sec sec-type="subsection" id="sec4.2"> <title>4.2。结论</gydF4y2Batitle> <p>宇宙微波背景地图估计等证据调查的威尔金森微波各向异性探测器或最近普朗克通常遭受各种污染来源:(i)仪器噪声通常是不稳定可能产生非高斯签名和前景(2)残差通常保持即使在先进的源分离方法的应用程序。在这种情况下,最经典去噪技术,即。<我talic> 全球</我talic>维纳滤波器;尽管它很简单,它是不能占工具性的非平稳噪声。为此,我们引入一个新的降噪技术创造LIW-Filtering线性迭代线性小波滤波相结合的<我talic> 全球</我talic>维纳滤波器虽然占潜在的非平稳噪声。在这个框架中,噪声被建模为一个不稳定但decorrelated过程在小波域。去噪问题就非常简单的正则化最小平方平方噪声协方差矩阵的对角信号在小波域和协方差矩阵是对角的球面谐波域(即。宇宙微波背景辐射功率谱)。解决方案是使用最近推出了近端算法计算。当降噪岌岌可危,我们表明,该迭代技术成功地减少了均方误差(MSE)的过滤解决方案<我talic> 全球</我talic>维纳过滤领域的典型应用。此外,建模/评估框架介绍了使前景的减少污染。类似于非平稳的仪器噪音,前景污染被建模为一个不稳定但decorrelated过程在小波域。数值实验表明:(i)过滤的MSE地图是改善;具体银河盘面,(ii)非常有趣的是,非高斯签名也大幅减少。这个特别提供参数支持拟议的过滤技术的应用作为后处理步骤应用到宇宙微波背景的关键目的是减少噪音和前景或许更重要的是污染。同样重要的是要指出,同样的<我talic> 全球</我talic>维纳滤波器,LIW-Filtering就是这个缩写表示线性过滤技术。这意味着LIW-Filtering也是相关学习时错误及其传播估计CMB地图上通过蒙特卡罗模拟是不可避免的。</gydF4y2Bap> <p>未来的工作将集中在精炼的建模噪声和前景残差。没有失去这种方法的简单性,我们将特别关注学习更多更好的适应信号表示模型噪声/前景污染空间行为。</gydF4y2Bap> <p>发达IDL代码将发布下一个版本的ISAP(交互式稀疏天文数据分析软件包)通过以下网站:<exgydF4y2Bat-link ext-link-type="uri" xlink:href="http://jstarck.free.fr/isap.html"> http://jstarck.free.fr/isap.html</exgydF4y2Bat-link>。</gydF4y2Bap> </sec> </sec> <back> <ack> <title>确认</gydF4y2Batitle> <p>这项工作是支持的法国国家研究机构(anr - 08 -埃米尔- 009 - 01)和欧洲研究委员会授予SparseAstro (erc - 228261)。</gydF4y2Bap> </ack> <ref-list> <ref id="B1" content-type="article"> <label>1</l一个bel> <nlm-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 班尼特</gydF4y2Basurname> <given-names> c . L。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Halpern</gydF4y2Basurname> <given-names> M。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 梦幻号</gydF4y2Basurname> <given-names> G。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Jarosik</gydF4y2Basurname> <given-names> N。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 教授的</gydF4y2Basurname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 利蒙</gydF4y2Basurname> <given-names> M。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 迈耶</gydF4y2Basurname> <given-names> 美国年代。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 页面</gydF4y2Basurname> <given-names> l</g我ven-names> </name> <name> <surname> Spergel</gydF4y2Basurname> <given-names> d . N。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 塔克</gydF4y2Basurname> <given-names> g S。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Wollack</gydF4y2Basurname> <given-names> E。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 莱特</gydF4y2Basurname> <given-names> e . L。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 巴恩斯</gydF4y2Basurname> <given-names> C。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 格雷森</gydF4y2Basurname> <given-names> m·R。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 山</gydF4y2Basurname> <given-names> r S。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 小松</gydF4y2Basurname> <given-names> E。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Nolta</gydF4y2Basurname> <given-names> m·R。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Odegard</gydF4y2Basurname> <given-names> N。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 裴伟士</gydF4y2Basurname> <given-names> h . 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