量子理论，非交换引力和宇宙常数问题

摘要

宇宙学常数问题主要是试图理解量子场的零点能量是如何对引力作出贡献的。这里我们采用的方法是，通过解决量子理论中一个根本未解决的问题，我们可以更好地理解这个问题。我们的出发点是观察到经典时间的概念与量子力学无关。因此，必须存在一个不涉及外部经典时间的量子力学等效的重新表述。这种重新表述是一个更一般的量子理论的极限情况，在普朗克质量/能量尺度上成为非线性。非线性产生了量子-经典对偶性，将“强量子、弱引力”动力学映射到“弱量子、强引力”动力学。这种二元性预测了一个微小的非零宇宙常数的存在，该常数的平方是哈勃常数的数量级，它可能是观测到的宇宙加速的一个可能来源。这种非线性也可能是量子测量过程中波函数坍缩的原因。

1.介绍

我们所熟悉的时间概念，是在量子力学之外的。它是经典时空几何的一部分，由时空流形和度规组成。度规是通过广义相对论的场方程由经典物质场决定的。理论上，宇宙可以处于一种没有经典物质场，只有量子场的状态。在这种情况下，宇宙的度规一般将不再是经典的，而是将经历量子涨落。从爱因斯坦空穴论证可知，为了使时空流形具有物理上有意义的点结构，流形上必须有一个确定良好的经典度规(这是爱因斯坦方程的一个解)。当度规经历量子涨落时，时空流形的点结构被破坏，人们不再有经典的时间概念[1］.

尽管如此，人们应该能够描述一个量子系统的动力学，即使外界的经典时间是不存在的。当宇宙中占主导地位的部分成为经典时，这样的描述应该与标准量子力学等价，这样经典时间就存在了。在论证这种重新表述的存在时，可以得出这样的结论:标准线性量子理论是在普朗克质量/能量尺度上非线性的更一般量子理论的极限情况[2］.这一结论是独立的任何特定的数学结构都希望用于制定重新制作。

在构建量子力学的重建过程中，我们最可靠的指南是什么?一个放弃时空点结构的自然数学结构是一个非交换时空。我们通过以下建议来构建这个新公式:在新公式中，相对论量子力学与非可交换狭义相对论是同一种理论，在非可交换坐标和动量上有一组特定的对易关系。物理原理是基本定律在非交换坐标的“惯性”坐标变换下是不变的。一是自然导致在闵可夫斯基度规上附加一个反对称部分。这个理论被认为是用来描述重力可以被忽略时的动力学(就像狭义相对论)。在目前的背景下，这相当于要求系统中的总质量/能量要比普朗克质量/普朗克能量小得多。当外部时间变得可用时，这种重新构想应该与标准量子力学等效。这些方面将在本节中描述2．

这一重新表述的非线性推广，迄今未被注意的特征，自然而然地出现，描述了系统的动力学，当它的能量成为可比的普朗克能量。Schrödinger方程变得非线性，引力动力学现在是一个非交换广义相对论。现在的物理原理是，在非交换坐标的一般坐标变换下，基本定律是不变的。这是为了把一般的协方差推广到非交换的情况。当质量/能量变得比普朗克尺度大得多时，动力学被假定为古典广义相对论和古典力学。这将在本节中讨论3.．

非线性的存在有两个重要的结果。首先，与这个非线性相关的重力场的反对称部分表明了量子-经典对偶的存在，作为一个结果，我们可以匹配理论中占主导地位的量子扇区与占主导地位的经典扇区。这是本节的主题4．反过来，这也帮助我们理解为什么宇宙常数应该是非零的，但却有一个非常小的值。这是论文的主要部分，将在章节中介绍5．

非线性的第二个重要结果与Schrödinger方程中的非线性有关，它在普朗克质量尺度附近变得相关。这可能会导致量子叠加的崩溃，也可能会导致量子测量过程中波函数的崩溃。这里对我们重要的是，影响波函数坍缩的参数在实验室中原则上是可测量的。这些参数与量子经典对偶性的存在以及宇宙常数的非零值是相同的。因此，我们对暗能量起源的解释在原则上是可以通过量子测量过程进行实验验证的。本节对这方面进行了研究6．

本文的论点表明，在整个宇宙的历史中，存在着一个动态演化的“类宇宙常数”术语。在任何一个给定的时期，这样一个术语应该是那个时期哈勃常数的平方的顺序。这种情况的宇宙学可行性将在这一节中讨论7．

在本文中，我们试图保持讨论的紧凑，以便提供一个基本的概述的论点。更详细的讨论可参阅[1- - - - - -3.］.

2.作为非交换性狭义相对论的量子力学

相对论性质量粒子的量子动力学在这里被描述为非交换性狭义相对论。在这个小质量极限中，重力被忽略了，因为这个近似等于设定．我们在这里用一个由坐标描述的二维非交换时空的说明文来概述一个期望的重新表述的建议．首先应该说，我们的处理是启发式的，严格的数学描述仍有待发展。我们假设在二维非对易时空中，存在一个线元:

它有一个反对称分量。我们称这样的时空为量子闵可夫斯基时空，以及非交换坐标假设服从交换关系

我们将对该函数进行注释不久。

我们假设在这个时空上可以定义一个合适的微分学。然后，与狭义相对论相似，我们引入一个速度和势头．从线素的形式可以明显看出(1)，下列卡西米尔关系成立

上述对易关系的具体结构是这样的:动量以及坐标彼此不交换。此外,虽然出现在其中一个关系中，它是它出现在另一个关系中。这是由人们应该能够推导出量子理论的不确定性关系和量子对易关系的期望所驱动的从这些潜在的关系[2］.

这个函数在(2)必须选择，以便动量与卡西米尔关系交换。事实上，在二维空间中不存在非平凡解是很容易证明的;唯一的解决办法是显然，我们对此并不感兴趣。然而，在三维或更高的维度中，似乎没有限制的确切形式有待发现。我们接下来的讨论并不依赖于形式，用二维的例子就足以说明我们的想法。

动力学的定义是假设动量是a的梯度复杂的行动．这将卡西米尔关系转化为非交换的哈密顿-雅可比方程，也就是运动方程。这就是我们所说的非交换性狭义相对论。

当一个外部的经典时空得到时，标准线性量子力学的Klein-Gordon方程可以通过对应规则得到

该规则的合理性已在[2］.在该等式的右侧，Momma再次被定义为复杂动作的梯度，波函数定义为．代入右边的波函数(4)，并将这个表达式等价于引出了克莱因-戈登方程。从这个意义上说，我们可以从非交换性狭义相对论的基本公式中恢复标准量子力学。

3.非交换广义相对论

当粒子的质量与普朗克质量相当时，它的自身引力就不能再被忽略了。非交换线元(1)修正为曲线非交换线元

相应地，Casimir关系(3.)被推广为

并且通知规则是概括的（4)

现在重要的是要注意，如果在波浪函数方面重写这个汉密尔顿 - Jacobi方程，则不再获得线性Klein-Gordon方程。这是因为度量标准出现在等式中。在最简单的情况下，在哪里是，度规的对角分量近似为单位，我们得到运动方程

这相当于非线性Klein-Gordon方程[2］.

假设非交换度规服从爱因斯坦方程的非交换推广，其性质是去一个，为零．另外,随着一个人恢复了古典力学，在极限标准的线性量子力学得以恢复。

在介观领域，其中远离这些限制和质量可与普朗克质量相媲美，量子和引力特征可以同时定义，新的物理学出现了。反对称分量引力场在接下来的过程中起着至关重要的作用。

4.一个提出的量子-经典对偶性

4．1.二元性的动机

在广义相对论中，史瓦西半径一个有质量的粒子可以用普朗克单位写成,在那里是普朗克长度和gm是普朗克质量。如果同一个粒子要被处理，不是根据广义相对论，而是根据相对论量子力学，那么是康普顿波长的一半可以用普朗克单位表示为．事实上，产品是一个普遍的常量不能巧合;但是，它不能在现有的一般相对论的理论框架中解释（因为本文)和量子力学(因为这里）。

人们可以通过说广义相对论中，唯一可以构建的长度尺度，来试图简化这个观察是与质量成比例，在相对论量子理论中，这是唯一可以构造的长度尺度是与质量成反比。然而，重要的是，这两个长度尺度都有一个基本的物理意义。因此，它们之间的反向关系确实需要一个解释，这是一个信号，即广义相对论和相对论量子理论都必须是一个更深层次的理论的极限情况。事实上，我们在上一节中已经基于完全不同的原因论证了这种理论的存在。

唯一合理的解释这种反比关系的方法是在理论的一对解之间提出一种对偶性——这种对偶性将第一个解的史瓦西半径映射到第二个解的康普顿波长。因此，我们提出并证明以下量子经典二象性:弱量子，质量粒子的强烈引力动力学 是对偶的强量子，弱引力动力学的质量粒子 ．

这就得到了无量纲史瓦西半径的是无量纲康普顿波长的四倍的．

这种对偶性的起源在于有一个要求，即有一个不涉及外部经典时空流形的量子力学的重新表述。隐含的非线性导致了量子引力理论，广义相对论和量子理论是自然的近似值，二元性是不可避免的。它的存在不依赖于使用非交换几何的数学公式的理论。非交换性的使用是为了说明和证明对偶性。

普朗克质量划分了占主导地位的量子域从占主导地位的古典领域并对量子经典二象性负责。从(8)时，有效普朗克常数为，大群众去零对于小质量，正如预期的那样。同样，有效的牛顿引力常数是，对于小质量趋于零对于大群众。

因此参数空间强量子和弱引力是什么呢是弱量子和强引力。康普顿波长对于一个有质量的粒子被修改为，和史瓦西半径一个质量被修改为．我们提出质量的动力学是质量动力学的对偶吗如果．这是如果和

如果(9)成立，则一个有质量粒子的动力学解成立可以通过先求(8)质量，然后更换通过，最后写而不是,无论出现了。

我们可以推导出的函数形式注意到指标的对称部分的贡献，，向曲度，成长为，而反对称部分的贡献必须随着成长而下降．这表明,用线性增长；因此

和意味着；我们组因为这简单地定义了作为缩放质量。因此我们得到，满足(9)，从而确立了二元性。映射交换两个解中的两个基本长度尺度:康普顿波长和史瓦西半径。

通过上述关系，我们所观察到的二元性是全息的．因此，自由度的数量与粒子相关的量子场(体积性质)应与在普朗克单位下的双黑洞视界面积(边界性质)相同，即，．这个值的可以这样解释:在平坦时空连续极限(没有人为的高能截止)中，与量子场相关的无限自由度已经被这个有限值所取代。然而，更准确地说，有效自由度的数目实际上是有序的，因为我们有所以与量子场模式相关的最高能量不能超过普朗克质量。

总之，我们在这里看到了一个粒子动力学的新图像。一个粒子既不需要是量子也不需要是经典粒子，但是有第三种可能的动力学，介观动力学，它在量子和经典粒子之间插入。这种动力学可以用一个非线性Schrödinger方程来描述(见13)下面)。非线性项依赖于新引入的参数，其本质是非线性在小质量极限下消失，，．另一方面，非线性Schrödinger方程在极限下简化为牛顿经典运动定律，．这种插值行为，即一个人通过一个中间非线性量子力学从量子力学过渡到经典力学，并没有被实验排除。它的验证或实验室的其他情况将构成对这些想法的关键检验。

5.宇宙常数问题

量子-经典二象性有助于理解为什么应该有一个与观测到的物质密度相同的宇宙常数，这是对观测到的宇宙加速度的一个可能的解释。如果有一个非零的宇宙常数项在爱因斯坦方程中，标准形式，它从对称性论证中得出，在重力的非交换一般化中，形式的相应项也应该在场。后一项在宏观极限中消失但是存在于显微极限中．

然而,当，有效引力常数趋于零，所以不能由普通物质来源。它唯一可能的来源是与量子粒子有关的零点能量．因为零点能量必然是非零的，所以它是这样的必然是零。同样的在宇宙尺度上表现出来非零的,因为是不消失吗在宇宙尺度上是零，因为归零。本质上，我们说的是我们必须检验两个极限:微观极限与宏观极限;的价值在其中一个极限处产生的值显然与在另一个极限处产生的值相同。

这解决了取消（i）裸露的烦恼问题来自广义相对论和(ii) a来自于量子场的零点能量。这个问题首先出现是因为我们允许自己把广义相对论和量子理论视为完全不相干的理论。这里提出的理论的非线性，结果的对偶性，以及度规反对称分量的引入迫使我们把这两个理论当作一个基础理论的极限情况，并得出所谓裸的结论和“量子都是一回事。它们相互抵消的问题不再出现了。

的价值可以通过推导出的量子经典二象性来估计。可观测宇宙的总质量是,在那里是哈勃常数的现值。质量与它对偶是,大致是基态零点能量的大小。在更高的模式中，能量是基态能量的倍数，我们把它写成他回忆起有效的普朗克常数与能量有关。为了得到一个粗略的估计，我们取要有足够的能量能量大于零．然后我们看到零点能量的总贡献是

普朗克的常量掉落出这笔总和是显着的！真空能量密度，因此宇宙常数的值，是哪个与观测值的顺序相同．

我们注意到基态能量映射到总能量吗，这是一个UV-IR混合的例子，或者等价地，一个量子经典二象性。作为趋近于0,IR极限趋近于0，而UV极限发散。

显然，这一争论中没有任何内容专门针对当今时代;因此，有一个永恒的存在属于该级别的，在任何时期就是那个时代的哈勃常数这解决了宇宙巧合和微调问题。但是，相关的问题一直存在我们将在最后一节回到这方面。

5．1.理解

标准量子场论的宇宙学常数问题在这里没有出现因为我们引入了一个新的尺度，哈勃常数。实际上，我们提议是宇宙的年龄，有一个基本的最小频率，．所有允许的频率都是离散倍数，其最大值为普朗克频率。因此，净零点能量是．它本身比，但我们必须记住，二元性要求如此多，才能成为宇宙学常数的经典贡献。因此，能量密度是用总能量除以观测宇宙的体积得到的，并给出一个值这与观察结果相符。因此，尽管获得的量级的论点给定这里从量子理论的输入，我们的论点是完全不同的概念是由量子场论建议。对我们来说，二元性起着至关重要的作用。

6.通过量子测量来测试暗能量

我们现在想建议，上述关于宇宙常数起源的建议，原则上可以在实验室中通过检验介观系统的量子力学来检验，因为后者也受到基础理论的非线性的影响。

首先，如上所述，有效的普通常量是的形式我们可以写出来

因此，对于质量接近普朗克质量的“介观粒子”，测量普朗克常数将显示出偏离标准值的结果。所谓粒子，是指在所要求的质量范围内，其内部自由度可以忽略不计的复合物体。

其次，在量子测量过程中，非线性会导致量子叠加失效，导致波函数的坍缩和叠加的有限寿命。在过去的大约一个世纪里，关于量子测量的物理学已经写了大量的文章。公平地说，本质上只有两种可能性:要么波函数在量子测量过程中坍缩，要么不会。如果它没有，那么许多世界的解释是成立的，不同的世界不会因为消相干而相互干扰。如果波函数确实坍缩，则在介观域对Schrödinger方程进行了修正。我们认为，由于外部时间的去除而产生的非线性有利于坍塌的图景[1］.

如上所述，在栅克质量/能量尺度上，Klein-Gordon方程变为非线性。在非椭圆的极限中，它导致以下非线性Schrödinger方程式：

这个方程可以写成

在哪里和．在进化过程中，如果概率密度定义为．

由于非线性对于量子系统是可以忽略不计的，在量子测量开始之前，演化被描述为

因此保留叠加。度量的开始对应于对状态的映射国家最终系统的

在哪里测量仪器的状态，初始系统是否处于该状态．

演化现在用这个方程来描述

在哪里和．是最终系统的总质量，包括量子系统和测量仪器。美国不能作为叠加物进化，因为进化现在是非线性的。然而，测量开始时的初始状态是重叠的．根据这个规律，这种叠加必然在进一步的进化过程中被打破

请注意,不同的州有不同的政策。这是意料之中的，因为将由量子态决定，并将其设置为仅为首先是一个主要的阶近似，用于简化。我们因此得到

而且只有最大的州幸存者[1］.用这种方式，非线性项的加入打破了叠加。

为了恢复玻恩概率规则，有必要是随机变量，具有合适的概率分布。理论上才能进一步发展，可以确定它们确实是随机的，如果是，它们的概率分布是什么。随机变量的一个高度可信的候选者是测量开始时量子态的相位。尽管这个阶段以确定的方式发展，但它实际上是随机的，因为度量开始的时间是任意的。

从 （18)我们可以定义一生的叠加

自在标准线性量子力学中严格等于1，在线性理论中量子叠加具有无限的寿命。然而，随着大众价值的增加，情况开始以一种有趣的方式发生变化方法和超过．因为我们知道在这个极限下趋近于0，我们可以忽略，其叠加寿命将由

我们可以通过注意到我们接近古典限制来获得数值估计，其中相位与汉密尔顿 - 雅各比方程中的经典动作一致。到领先的顺序，古典行动的大小由,在那里是我们观察古典轨迹的时间;大约，这可以被认为是阶段的价值,大概是多少

对于一个测量仪器，如果我们取线性尺寸，Cm，观察的时间，比如说，秒，我们得到叠加寿命秒。我们可以得到一个非常粗略的估计对于介观系统，使用(22),以厘米,通用汽车,和．这给了秒。因此，叠加寿命对系统质量(等效自由度数)的依赖关系的实验检测可以表明非线性。

可以检测到这种性质的非线性的第三种可能的方式是通过快速连续测量量子测量。假设某种结果对于在一定范围内的随机变量的可观察结果．现在假设使用略微旋转的尖端速度快速地进行第二次测量。因为随机变量不会改变为与原始值足够不同的值，所以第二测量的结果将显示与第一次测量结果的相关性，相反，与标准量子力学预测相反。

关于这里描述的测量物理学的更详细的讨论将在其他地方呈现[4］.

7.永远都有现在吗？

一个正的宇宙“常数”，属于在每个时期都明显不是常数，也不满足标准状态方程．此外，通过增加早期宇宙的膨胀速度，它破坏了关于轻元素丰度的理论和观测之间的一致性。在后来的宇宙演化过程中，这也使得星系的形成变得更加困难。由此可见，虽然宇宙的巧合问题可以通过一种永远存在的方式来解决，我们必须确定得出的宇宙模型必须与观测结果一致。正如索尔金所建议的那样，一个解决办法是有一个宇宙常数，其平均值为零，但其波动的典型量级为［5］.作为起点，这对我们来说似乎也是合理的可能性，考虑到我们的模型中在于量子理论的零点能量贡献。然而，在我们设想的背景下，宇宙学模型的发展是一个我们还没有解决的问题，我们把这个问题留给未来的研究。

一种现象学模型已经在量子引力的因果集方法的背景下部分发展[6］.在这种方法中，波动订单的预计,因为与时空四体积共轭，而体积本身受量子涨落的影响。通过选择合适的状态方程来确定现象学模型和表达作为四个体积的随机函数。作者的一项数值研究显示了在，以及波动。为了选择一个合适的自由参数，a再现与本观察到的值一致。然而，它已被Barrow指出[7模型受到最后一次散射面上CMB各向异性大小的强烈约束。是否可以通过构建现象学模型的非齐次版本或其他方法，找到克服这一约束的方法，还有待观察。对起源的另一种调查基于量子引力涨潮的研究是由Padmanabhan完成的[8，9］.

在一个更普遍的注意，我们观察到一个永远存在的非零的宇宙“常数”的理论预测的顺序独立于宇宙学模型的细节。基本上，我们所承担的只是一种均匀和各向同性的宇宙学，但我们没有对规模因子的进化史上的先验限制。因此，虽然我们最初出发了在标准大爆炸宇宙学中观察到的宇宙加速度寻求解释，但我们可以转过身来并提出以下问题：给出了一个永远存在的问题，它是否承认与观察结果一致的非标准宇宙学？对我们来说，这个问题的答案并不明显，在我们看来，问题可以进一步仔细检查。

8.结束语

与基于Doplicher、Fredenhagen和Roberts开创性工作的应用相比，我们对非交换时空的使用在概念上有不同的起源[10］.在后者中，时空非对易关系是在普朗克长度尺度上联合应用量子不确定性关系和广义相对论规则的结果。然后设想量子场论展示了这些时空交换关系在普朗克长度尺度上诱导的效应。此外，在这些尺度上，广义相对论可以被假定为非交换引力理论所取代，而非交换引力理论最终应该被量子化。

对于我们而言，起点已经存在Quantum Mechanics的重新标记，这不参考古典时间。这导致线性量子理论是线性量子理论的限制情况，其在普朗克能量规模上成为非线性。这是前一段中提到的理论的原则差异 - 后者假设在所有尺度上的线性量子理论的严格有效性。对于我们而言，这种非线性负责解释微小观察到的宇宙常数，并且可能在量子测量期间也可能坍塌波函数。为了达到拟议的量子力学重新制定量子力学，我们不仅提出了不仅在时空的非传染性，而且在势头空间中提出了非流样。虽然详细的理论仍有待开发，但这里给出的启发式讨论的一些后果可以在实验室进行测试。

致谢

作者要感谢Aruna Kesavan、Kinjalk Lochan和Aseem Paranjape进行了有益的讨论。

参考文献

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3. T. P. Singh，“非交换引力，一个‘没有附加条件’的量子经典二象性，以及宇宙常数之谜，”广义相对论和万有引力，第40卷，第5期。10，第2037-2042页，2008。视图:出版商的网站|谷歌学者
4. K. Lochan和T. P. Singh在准备。
5. 索尔金，“宇宙的“常数”是离散的因果集类型的非局域量子剩余吗?”“在第13届国际粒子，弦和宇宙学研讨会的诉讼程序（Pascos '07），页142-153，伦敦，英国，2007年11月。视图:出版商的网站|谷歌学者
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9. T. Padmanabhan，“能量密度的真空涨潮可以导致观测到的宇宙常数，”经典与量子引力第22卷第2期17, pp. L107-L112, 2005。视图:出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
10. S. Doplicher, K. Fredenhagen, J. E. Roberts，《普朗克尺度和量子场的时空量子结构》，数学物理通讯第172卷第1期1，页187-220,1995。视图:出版商的网站|谷歌学者

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