科氏扰动和离心力对Robe受限圆三体问题平衡点非线性稳定性的影响

摘要

研究了在密度参数下，科里奥利扰动和离心力对Robe’s(1977)受限圆三体问题平衡点非线性稳定性的影响是零。应用Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM)理论，发现所有质量比的平衡点都是稳定的在线性稳定的范围内,在那里和分别为科里奥利扰动和离心力，除了5个质量比以外，，，+ 1.11684064，+ 1.22385421在这种情况下，该理论并不适用。

1.介绍

长袍(1]提出了一种新的限制性三体问题，其中一个初等是刚性球壳充满了均匀的不可压缩的密度流体．第二个主要是质点在外壳和第三个身体外面是一个密度小的实心球体吗，在壳内，假设的质量和半径简直是微乎其微。他证明了一个平衡点的存在性在壳的中心，而描述了围绕它的开普勒轨道。进一步讨论了平衡点的线性稳定性。Hallan和Rana [2考虑了扰动的影响，分别在科氏力和离心力中，研究了在密度参数时，Robe圆三体问题中平衡点的位置和线性稳定性是零。他们发现唯一的平衡点在线性意义上是稳定的吗和不稳定,在那里．Shrivastava和Garain [3.， A. R. Plastino和A. Plastino [4， Giordano等人[5也讨论了罗勃的问题。但它们都讨论了平衡点的线性稳定性。Hallan和Mangang [6时，讨论了Robe的受限三体问题平衡点的非线性稳定性在线性稳定范围内他们发现平衡点在非线性意义上是稳定的除了五个质量比，，，，，此时KAM理论并不适用。许多作者讨论了平衡点的非线性稳定性。最近，Elipe和López-Moratalla [7讨论了中心体周围驻点的李雅普诺夫稳定性。Elipe等人[8研究了二自由度哈密顿系统平衡的稳定性。Elipe等人[9讨论了谐振情况下的非线性稳定性。在本研究中，我们希望讨论科里奥利扰动和离心力对平衡点非线性稳定性的影响由Hallan和Rana发现[2在Robe的受限圆三体问题中，采用密度参数为零，采用Moser版本的Arnold定理(KAM理论)，并遵循Hallan和Mangang所采用的程序[6］．

莫泽的版本10Arnold定理的[11]陈述了以下内容。

如果标准化的哈密顿量是多少，，当运动动量坐标和，，线性动力系统的基本频率，在每个能量流形上在一个平衡点的邻域内，存在准周期运动的不变环面，它将流形分割，因此平衡点是稳定的(我)对于所有三胞胎有理整数的集合(2)行列式，

应用Arnold定理，Leontovich [12证明了限制三体问题中的三角形平衡点对于所有允许的质量比都是稳定的，除了一组测量值为零。Deprit和Deprit- bartholome [13]应用莫泽定理讨论了经典受限三体问题三角形平衡点的非线性稳定性。Bhatnagar和Hallan [14在考虑了科氏扰动和离心力后，讨论了该问题中三角形平衡点的非线性稳定性。在另一篇论文中，Bhatnagar和Hallan [15讨论了共享星系旋转的星团的非线性稳定性。

通过应用李雅普诺夫定理[16]为Hallan和Rana的线性稳定性结果[2在Robe的受限三体问题中，我们可以说平衡点，，在非线性意义上也是不稳定的．因此，我们将研究平衡点的非线性稳定性．

2.一阶归一化

使用无量纲变量和一个synodic坐标系并考虑扰动，分别在科里奥利方程和离心力方程中给出了罗布的运动受限问题，当密度参数和偏心, (2］在哪里，，，，（），=第二个主元的质量，=第一初级的质量及其内部流体的质量。

拉格朗日问题的关键是只有一个平衡点,在那里［2］．将原点移动到在泰勒级数中展开而忽略了二阶和高次项，，拉格朗日可以写成在哪里一阶的拉格朗日运动方程是前两个方程的特征方程为在哪里．

第三个方程的特征方程为方程(9)有纯虚数根［2很明显……10)有纯虚数根。的四个特征根9)，的两个特征根(10),在那里，，表示线性动力系统的摄动基本频率。我们可以写在哪里，，表示线性动力系统未受扰动的基本频率，如从(13)，我们可以看到，因此，我们有．

按照惠特克给出的方法[17，我们使用相空间的正则变换变成相空间乘积角度坐标，，和行动动量，，给出的在哪里这个变换把哈密顿量的二阶部分变成正规形式给出了相应运动方程的通解

3.二阶归一化

我们想做伯克霍夫的归一化，坐标将以双达朗贝尔级数展开:齐次分量，，的程度都是以指标的双重和，,是否(a)在区间内遍历这些整数具有相同的奇偶性, (b)在区间内遍历这些整数具有相同的奇偶性, (c)在区间内遍历这些整数具有相同的奇偶性．，,是被视为积分常数和，,是由时间的线性函数决定的吗在哪里，，都是以

如Hallan和Mangang所示[6，即一阶分量，,的价值和由(15）.，和偏微分方程的解是什么在哪里和，，得到了来自，，，通过将一阶分量代入，，．

方程(23)可以被解决，，用公式在哪里二阶组件，,如下:在哪里和，，，，，已在附录中列出。我们已经检查过了，,变换即哈密顿量的三阶部分，降为零。

4.频率中的二阶系数

在Hallan和Mangang的工作中进行[6，即三阶分量，,的坐标，，二阶多项式，,在频率，,满足偏微分方程在哪里和阶齐次分量是否分别由，，用的组件，和不需要被发现。我们找到的系数，（在…的右边29）.它们是至关重要的．

我们通过适当地选择多项式的系数来消除这些项我们发现在哪里

如果标准化哈密顿量写成然后，根据汉密尔顿的运动方程和(21)，我们发现

5.稳定

现在我们应用Arnold定理的Moser修正形式[11来讨论非线性稳定性。我们有如果基本频率不满足方程，则定理的条件(i)满足(我)，(2)，(3)，(IV)，(V)，(VI)，(七)，(八)，(第九)，(X)．在这十个方程中(I) - (X)，，， (IX)和(X)连同(12)和(13)不给出的价值在这一期间．从(I)到(VIII)的其余8个是共振情况。取(I)到(VIII)的任意方程并消去，，从这个等式中可以看出(12)和(13)，它的消项是一个入的方程．解这些方程，在值域内只得到5个根．他们是对于这些值，则定理的条件(i)不成立。

行列式发生于定理的条件(ii)为在哪里，，，，，是的余子式吗，，，，，，分别表示为行列式如果在范围内，不满足消去得到的方程，，从这个方程和(12)和(13）.

使用Mathematica 5.1，消元是,在那里

所以定理的条件(ii)对于这些值不满足满足方程还有值,在那里，因此没有定义。方程的根当共有17个，[6，其中9个是真实的当，让根去吧（）.把这些根放在(44)和解决，在中忽略了高阶项之后，,我们有这些根都不在范围内．这就是平衡点非线性意义上的稳定是否在线性稳定的范围内对于所有值除了，，，，， KAM理论不适用，因此无法对这五种质量比得出稳定性的结论。结果与Hallan和Mangang发现的结果一致[6当科里奥利和离心力中没有扰动时(）.

附录

承认

作者非常感谢印度政府科学与工业研究理事会(C.S.I.R.)为这项研究工作提供资金支持。

参考文献

H. A. G. Robe， "一种新的三体问题"天体力学与动力天文学，第16卷，第343-351页，1977。视图:出版商的网站|谷歌学者
P. P. Hallan和N. Rana，“科里奥利扰动和离心力对Robe’s圆形受限三体问题中平衡点位置和稳定性的影响”，行星与空间科学，第49卷，第49期。9，第957-960页，2001。视图:出版商的网站|谷歌学者
A. K. Shrivastava和D. Garain，“三体长袍限制问题中扰动对振动点位置的影响”，天体力学与动力天文学第51卷第1期1，页67-73,1991。视图:出版商的网站|谷歌学者
A. R. Plastino和A. Plastino，《浴袍受限三体问题重现》天体力学与动力天文学第61卷第1期第2页，197-206页，1995。视图:出版商的网站|谷歌学者
C. M. Giordano, A. R. Plastino，和A. Plastino，《睡袍的三体障碍》天体力学与动力天文学第66期2，页229-242,1996。视图:出版商的网站|谷歌学者
P. P. Hallan, K. B. Mangang，“长袍约束圆三体问题平衡点的非线性稳定性”，P. P. Hallan, K. B. Mangang，“长袍约束圆三体问题平衡点的非线性稳定性”，印度纯粹和应用数学杂志第38卷第2期1，页17-30,2007。视图:谷歌学者
a . Elipe和T. López-Moratalla，《论中心物体周围静止点的李雅普诺夫稳定性》，制导，控制和动力学杂志，第29卷，第2期6，页1376-1383,2006。视图:谷歌学者
A. Elipe, V. Lanchares和A. I. Pascual，《关于共振下两自由度哈密顿系统的平衡稳定性》，非线性科学杂志，第15卷，第5期。5, 2005。视图:出版商的网站|谷歌学者
a . Elipe, V. Lanchares, T. López-Moratalla，和a . Riaguas，《共振情况下的非线性稳定性:几何方法》，非线性科学杂志，第11卷，第5期。3，页211-222,2001。视图:出版商的网站|谷歌学者
J. K. Moser，“关于环形保面积映射的不变曲线”，请参阅Göttingen。2Mathematisch-Physikalische Klasse， 1962年第1-20页。视图:谷歌学者
V. I. Arnold，“关于一般椭圆情况下哈密顿系统的常微分方程平衡位置的稳定性”，苏联的数学。Doklady1961年，第2卷，第247页。视图:谷歌学者
A. M. Leontovich，“关于三体简化问题的拉格朗日周期解的稳定性”，Akademii Nauk SSSR女士， 1962年，第143卷，第325页。视图:谷歌学者
A. Deprit和A. Deprit- bartholome，《三角形拉格朗日点的稳定性》天文杂志1967年，第72卷，第173-179页。视图:出版商的网站|谷歌学者
K. B. Bhatnagar和P. P. Hallan，“科里奥利扰动和离心力对三体限制问题中平衡点非线性稳定性的影响”，天体力学与动力天文学，第30卷，第2期1，第97-114页，1983。视图:出版商的网站|谷歌学者
K. B. Bhatnagar和P. P. Hallan，《共享银河系旋转的星团的非线性稳定性》，印度天文学会公报，第23卷，第177-194页，1995。视图:谷歌学者
李雅普诺夫，“运动稳定性的一般问题”，在李雅普诺夫院士作品集。卷二世，页5-263，苏联科学院，莫斯科，俄罗斯，1956。视图:谷歌学者
e·t·惠塔克粒子与刚体的解析动力学论著，英国伦敦剑桥大学出版社，1965年。

天文学的发展

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