文摘

在本文中,我们研究一个类的二进制LDPC (NBLDPC)码的奇偶校验矩阵列重量2,叫做NBLDPC循环码。我们提出一个设计框架 - - - - - -刻画(QC)常规二进制LDPC编码,然后构造NBLDPC周期编码基于循环的大腰围和有限的领域通过随机选择奇偶校验矩阵的非零字段元素。对于扩大周长值,我们的方法是双重的。首先,我们给出一个详尽的搜索循环的列/行重量和设计一个掩蔽矩阵具有良好的周期分布基于无向图的edge节点关系。其次,根据设计屏蔽矩阵,我们构造指数矩阵基于有限的领域。构造的码的迭代译码性能的加性高斯白噪声(AWGN)信道终于提供。

1。介绍

非低密度奇偶校验(NBLDPC)基于模算术编码被Gallager在1960年代首次发现1),重新定义在有限域GF1998年,戴维和麦凯(2]。类似于二进制LDPC码,NBLDPC编码解码时也有能力接近容量的迭代算法。此外,NBLDPC编码更好的性能比二进制LDPC编码的短和温和的代码长度。更低的解码算法提出了(3- - - - - -8],NBLDPC编码提供了一种很有前途的6 g通信编码方案(9]。

所示(10],NBLDPC代码在较大的有限领域将有更好的表现为一个常数代码长度。然而,当有限域大小足够大,性能改进是小。此外,当有限域的大小等于或大于64,列好NBLDPC码的奇偶校验矩阵的权重往往2。自NBLDPC循环代码执行超过各种渠道(11- - - - - -13),值得研究NBLDPC代码在有限域大重量的奇偶校验矩阵列2,称为NBLDPC循环码。作为一个重要的循环代码, - - - - - -常规NBLDPC码迭代译码下也表现良好;提出了很多方法来建造这样的代码(14- - - - - -17]。在这些工程的建设NBLDPC代码,代码可以主要分为两类:第一个是构造通过计算机搜索算法满足一定的规则下,另一个是构建基于组合设计,图论、矩阵理论和有限的领域(18]。仿真结果表明,它们都有良好的性能。对于一个给定的编码速率和长度,这是极大的兴趣研究其中一个最佳的误差性能。

周期结构起着重要的作用在二进制/二进制LDPC码。研究结果表明,具有大型周长NBLDPC码迭代性能好(19]。一般来说,具有大型周长NBLDPC码大的汉明距离最小,并且它可以确保NBLDPC代码在瀑布和error-floor地区良好的性能。因此,有趣的是构造LDPC的循环码腰围大。

在本文中,我们关注的建设 - - - - - -常规准循环LDPC (QC-LDPC)码大的腰围。我们首次提出的建设框架 - - - - - -常规QC-LDPC代码基于无向图的edge节点关系和转移的建设 - - - - - -常规QC-LDPC编码分为两个主要部分,即。、循环和指数矩阵。在第一部分中,我们发现良好的循环周期分布通过执行一个详尽的搜索。为了删除循环的搜索空间,同构理论提出了循环。在第二部分,我们直接使用有限领域构造指数矩阵的QC-LDPC准则。在这里,使用有限的领域分为两种类型,即。,'字段和有限域的特点2。最后,数值结果显示我们提出的良好的性能规范。

本文的其余部分组织如下。第二节介绍了LDPC码的定义及其相关坦纳图。第三节介绍了设计框架 - - - - - -常规QC-LDPC代码。NBLDPC周期的设计规范提出了大围长在第四节,和数值结果也提供了在这一节中。最后,第五节总结本文。

2。预赛

2.1。LDPC码

一个二进制 - - - - - -规则LDPC码是由零空间的生成 稀疏奇偶校验矩阵/ GF(2),矩阵具有以下特性:(1)每一列吗1;(2)每一行1;(3) 和 。如果稀疏矩阵结束了GF ( )为作为一个原动力,然后生成LDPC码等被称为二进制代码或 - - - - - -必要的代码。二进制LDPC码被称为准循环(QC) [20.),如果他们的奇偶校验矩阵有以下形式 在 , 是一个 循环置换矩阵(CPM)形成的周期性变化的每一行 单位矩阵向右(或左)的位置,是一个零矩阵的大小 。很明显,是一个单位矩阵的大小 。例如,如果 ,然后

我们可以很容易看到的位置1(1)是唯一由下列矩阵 ,被称为指数矩阵(或置换转移矩阵),

不难看出之间的对应关系和是一对一的。值得注意的是,参数被称为膨胀系数(或取消学位)[21]。CPM代替1的(1)在相同的非零元素在有限域GF ( ),生成的二进制代码QC-LDPC代码(22]。

2.2。坦纳图

除了矩阵表示,一个LDPC码也可以描述一个简单而直观的方式,即。图形模型称为坦纳图(23]。事实上,坦纳图与奇偶校验矩阵的LDPC码 两偶图中,节点变量的两类节点(表示代码单位节点)和检查节点(代表约束节点),分别。在坦纳图连接检查节点变量节点当且仅当行-和列,元素在是零。坦纳图是一个序列的周期检查变量节点和连接节点的开始和结束在同一图中节点和其他节点不包含不止一次。周期长度仅仅是包含边缘(或节点)的数量,和长度最短的周期称为周长的坦纳图(或一个LDPC码)。作为一个例子,图1显示的坦纳图(或 )和准周期的长度6(简称6-cycle)。

众所周知,迭代解码算法收敛于最优解,坦纳图周期(LDPC码是免费的24]。换句话说,短周期,特别是周期长度为4的,影响解码性能与迭代解码算法基于信念传播。事实上,存在很多周期有限长度的LDPC码。因此,为了避免短周期或获得LDPC码腰围大,很多施工方法和技术提出了(25- - - - - -33]。

3所示。设计的框架 - - - - - -常规的二进制QC-LDPC代码

3.1。edge节点在无向图的关系

让 是一个无向图,是一组节点和是成对的某个子集(称为边缘) 。一个周期的 不同的节点(或边),在一个周期有两个不同的节点。如果我们处理的节点和边 检查节点和变量节点,分别两偶图可以获得。考虑一个周期的长度(用 - - - - - -周期短) 。这 - - - - - -将变成了一个循环 - - - - - -在上面的两偶图循环 。换句话说,周长是两倍 。根据这个过程,我们可以构造两偶图坦纳(或图表),大腰围从一个无向图。为了使它很明显,我们举个例子。

考虑以下 矩阵

很容易的坦纳图 ,鉴于在图2。通过治疗坦纳图在图的节点和边2分别检查节点和变量节点,我们可以构造一个新的两偶图,在图3。从数据我们可以看到2和34-cycle坦纳图的成为一个8-cycle两偶图。

3.2。建设框架 - - - - - -常规的二进制QC-LDPC代码

在本节中,我们将构建的框架 - - - - - -普通二进制QC-LDPC代码通过使用edge节点关系在一个无向图3所示。1。为了设计 - - - - - -常规代码,节点度 应该是 。此外,为了保证 - - - - - -刻画,正则码的关联矩阵 应具备准循环结构。总之,关联矩阵 是 - - - - - -定期和刻画。因此,为了获得 - - - - - -常规二进制QC-LDPC码腰围大,我们需要设计一个 - - - - - -经常与大腰围刻画矩阵。为了方便起见,这 - - - - - -常规刻画矩阵称为基础矩阵。接下来,我们将建设框架。

首先,我们设计一个 - - - - - -常规的基础矩阵的大小 。采用edge节点关系部分3所示。1,我们可以转让的坦纳图到一个新的两偶图和关联矩阵这样的两偶图。很明显,是一个 - - - - - -常规的准循环矩阵的大小 。第二,我们构造一个指数矩阵的大小 ,和相应的膨胀系数 。第三,我们使用掩盖指数矩阵 ,和一个 数组的 cpm构造。的零空间给出了一个 - - - - - -常规的二进制QC-LDPC代码的长度 。

4所示。设计二进制LDPC的循环码腰围大

为了构造 - - - - - -普通二进制QC-LDPC码腰围大,我们只设计一个基本矩阵和相应的指数矩阵的基础上建设框架部分3所示。2。的奇偶校验矩阵中的非零元素代替二进制QC-LDPC循环码的非零元素,二进制LDPC的循环码可以获得。在这篇文章中,我们不要优化非零元素,采用优化的行元素(34]。接下来,我们将提供基本矩阵和矩阵指数的建设。

4.1。穷举搜索基于同构的循环理论

在本文中,我们采用循环为基础矩阵。它可以看到从建设框架部分3所示。2基础矩阵的规模不是太大,因为代码长度NBLDPC代码很短或中度。在下面,我们将循环的设计。

的循环是一个方阵 - - - - - -th行是由周期性变化的第一行向右(或左)的位置。因此,第一行的循环称为循环的发电机。循环的大小 ,每一行(或列)是一个向右(或向下)循环移位的上方(左)一行(或列),和第一行(或列)是向右(或向下)循环移位的最后一行(或列)。因此,循环的行和列有相同的重量。很明显,行(或列)重量与体重的行相关联的发电机。

考虑一个循环的大小 ,和它的发电机 在哪里 为 。让的非零组件的数量 。因此,是 - - - - - -常规。我们选择的非零组件 并记录他们的下标集 ,被称为位置设置。然后,设置的位置有元素。不失一般性,设置的位置用 在哪里 为 。很明显,发电机和位置设置有一个一一对应。基于LDPC码的同构理论(或者他们的奇偶校验矩阵)(16,35,36),我们可以直接给同构理论循环如下。

定理1。让 和 两组位置的循环和的大小 ,分别。然后,是同构的 ,用 ,如果来自用以下两种方法。(1)为 ,的元素来自这些的吗通过添加一个常数的元素模 ,也就是说, 为 (2)假设和coprime。的元素来自这些的吗使用 为

请注意,在计算过程中,如果元素和= 0时,它实际上等于 。此外,在(2)的定理1的数量可以由一个著名的函数,称为欧拉φ函数,也就是说,

如果 ,我们说是同构的 ,用 。

总的来说,本文采用循环的大小并不大。因此,我们可以做一个详尽的搜索循环使用电脑。的位置设置的搜索空间 循环与行/列的重量是

基于案例(1)定理1,我们可以看到,所有的位置设置 循环有以下同构形式: ,在哪里 为 。因此,这种位置的搜索空间是

就是一个穷举搜索的位置设置(或循环)是可行的。在这里,我们不提供具体详尽的搜索算法。结合循环盘点算法(37- - - - - -39),最优 循环与行/列的重量可以找到。在这篇文章中,最优的是这种循环的坦纳图有更少的短周期和更大的腰围。为了方便读者,一些最优循环展示在表1。

4.2。基于有限域的审查QC-LDPC代码及其指数矩阵

在本节中,我们将回顾基于有限域的方法,构建QC-LDPC代码,并提供两类指数矩阵的这些QC-LDPC代码(18]。

4.2.1。准备一般建设QC-LDPC代码基于有限域的特征2

让女朋友是一个有限域 与 ,,让女朋友是一个原始的元素 。对于每个非零元素与 ,我们定义的位置向量作为一个 - - - - - -元组/ GF (2), 的组件对应的非零元素 的女朋友 ,在哪里 - - - - - -th组件设置为1和所有其他的吗组件是0。因此,基于非零元素的女朋友 ,我们可以形成一个独特 方阵谁的 - - - - - -th行是通过周期性改变每一个组成部分 - - - - - -必要的位置向量 右(或左) 。由此产生的方阵CPM,也称为 - - - - - -褶皱矩阵分散(或扩大)的非零元素/ GF (2) (18]。

考虑一个 矩阵在女朋友 , 的行满足以下两个约束条件:(1) 和 , 和最多有一个位置都有相同的元素的女朋友吗(即。,they differ in at least职位);(2) 和 和至少在不同的位置。这些约束称为 - - - - - -增加行约束(18]。代替它的每个条目与二进制矩阵 ,我们获得一个 数组的 cpm。然后,的零空间给出了一个二进制 - - - - - -常规QC-LDPC代码。此外, - - - - - -增加行约束确保这段代码的坦纳图的周期长度为4的。因此,构建QC-LDPC代码周长至少6。

根据第二节的定义,我们可以看到,上面的 矩阵指数矩阵,把扩张的因素是 。建造这样的框架矩阵两个任意子集的基础上提出了一种有限域(40]。让是一个非零元素的女朋友和是一个原始的元素。为 ,让 和 在女友两个任意元素的子集与和在一组 和 。的 矩阵可以由

在这个框架下,一些著名的建筑QC-LDPC代码基于有限域和组合设计是特殊情况(14,41,42]。例如,当 , 是一个拉丁方/ GF(43]。

4.2.2。建设QC-LDPC代码基于'字段

让是一个质数。考虑一个 矩阵 在哪里 为 和 。我们选择一个 子矩阵的和替换它的元素与cpm为 和 。以下 数组的 cpm / GF (2)。

实际上,的零空间给出了一个 - - - - - -定期QC-LDPC代码长度周长至少6。注意,这段代码的指数矩阵和扩展因数 。如何选择好的行和列的cpm在(12)中可以找到44,45]。

4.3。二进制LDPC的循环代码和数值结果

结合部分3所示。2,4.1,4.2,我们可以很容易地构造一个二进制QC-LDPC循环代码。基于非零元素的替代在有限领域,可以构建二进制LDPC的循环代码。为了显示我们提出的施工方法的优势,我们未来提供一些例子。

例1。考虑一个矩阵(或循环)的大小 。很明显,只有一个这样的循环 和 。以下 矩阵可以获得部分基于建设框架3所示。2。 基于域GF(31),我们可以构造一个 数组的 cpm的形式(13通过选择8行16列)的指数矩阵在方程(12)。选择的指标8行16列是{3、4、5、10、15、17日,24日,28日}和{1,4,5,6,7,8,9,10,11日,15日,16日,19日,26日,28日,29日,30日},分别。行和列的选择方法是基于该方法在45]。通过使用掩盖 ,我们可以得到一个数组的 cpm。取代的1中的每一行非零元素的GF(64)在相应的表行2,一个 - - - - - -常规的矩阵/ GF (64)。注意,数字表2电源的数量吗 ,在哪里是一种原始的元素GF(64)创造了通过使用本原多项式 。的零空间给出了一个 - - - - - -定期(496248)LDPC码/ GF (64)。这段代码的周长是16,16-cycles的数量是775。相比之下,我们重建不规则(504252)QC-LDPC代码/ GF(64)基于有限域GF(64)和掩蔽矩阵 在[15]。一般的奇偶校验矩阵的列和行权(504252)QC-LDPC代码/ GF(64) 2.5和5,分别。此外,我们还设计一个类似(2、4)定期(496248)LDPC码/ GF(64)基于渐进edge-growth(挂钩)算法在46),称为PEG-LDPC代码。注意的奇偶校验矩阵的非零元素(2、4)定期(496248)PEG-LDPC代码GF(64)是随机选择的。与基于快速傅里叶变换(FFT)的解码时Q-ary sum-product算法(QSPA) 50迭代,位/词错误率(伯斯/问题)这三个二进制LDPC码如图4。模拟的BPSK调制AWGN信道的传输。我们可以看到,在方方面面的 ,提出非(496248)LDPC码优于(504252)QC-LDPC代码/ GF(64)和(2、4)定期(496248)PEG-LDPC代码GF(64)约为0.45 dB和0.1 dB,分别。

在上面的例子中,我们可以看到,所构造的刻画,因为二进制LDPC码不是随机选择其奇偶校验矩阵的非零场元素。因此,我们接下来的表演提出了二进制QC-LDPC循环码。

例2。考虑的主要领域GF(19),我们可以很容易地构造一个 矩阵GF(19)基于指数矩阵在方程(12)和建设框架部分3所示。2。选择的指标8行16列{1,2,4、5、7、8、14、15}和{1,2,3,4,5,6,7,9,10,13日,14日,15日,16日,17日,18日19},分别。行和列的选择方法也是基于该方法在45]。由分散的每个条目相应的cpm的大小 ,一个 数组的 cpm。通过使用在方程(14)面具数组 ,我们可以构建一个数组的 cpm。通过替换每个CPM的1相同的非零元素的GF(256)在相应的排表3(2、4)正则矩阵/ GF (256)。值得注意的是,表中的数字3电源的数量吗 ,在哪里是一种原始的元素GF(256)创造了通过使用本原多项式 。的零空间给出了一个(2、4)定期(304152)LDPC码/ GF (256)。这段代码的周长是16,16-cycles的数量是969。由于非零元素CPM的领域是相同的,以及由此产生的(304152)/ GF(256)是准循环LDPC的循环代码。
相比之下,我们构造(3、6)定期(2432、1216)LDPC码/ GF(2)基于进步edge-growth(挂钩)算法在46]。这两种LDPC码的错误表现在图所示5。模拟,使用解码算法的构造(304152)QC-LDPC循环代码GF(256)和(2432、1216)LDPC码/ GF(2)是QSPA迭代(50)和sum-product算法(SPA)和50个迭代,分别。假定BPSK调制AWGN信道上的传输。我们可以看到,所构造的(304152)QC-LDPC循环代码GF(256)可以超越(2432、1216)LDPC码/ GF(2)约为0.75 dB的方方面面 。

5。结论

提出了一种二进制QC-LDPC周期的设计框架代码和构建二进制LDPC (NBLDPC)循环码基于循环和有限的领域。提出了施工方法包括三个部分。首先,掩蔽基于循环矩阵的设计和图论中的点线路关系。第二,二进制QC-LDPC周期的指数矩阵编码在有限的字段的基础上构造和屏蔽设计矩阵。第三,通过替换1的二进制QC-LDPC循环码的奇偶校验矩阵的非零元素,NBLDPC循环码。数值结果表明,所构造的NBLDPC循环码迭代译码性能好。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作是支持部分由中国国家自然科学基金资助下61801527和11971311,天元专项资金的国家自然科学基金资助下的中国12026230和12026231,和河南的开发项目省级科技主管部门授予212102310544和212102310551。