文摘

Rosenzweig-MacArthur(1963)标准是一个图形标准,已被广泛用于阐明的局部稳定性性能高氏(1934)型捕食系统。尚未表示是否类似的标准适用于模型与明确的资源动态(Kooi et al .(1998)),如恒化器模型。在这篇文章中,我们使用的隐函数定理和隐式衍生品证明相似的图形标准在恒化器条件下,。

1。介绍

研究了在恒化器条件下几种生态现象;比较史密斯和Waltman [1]。现象学模型是由包含这样一个情况 在这里 是衬底, 猎物的衬底吗 作为其有限资源, 是一个捕食者捕食猎物吗 。的参数 , , , , , , , 代表浓度、稀释率、搜索的猎物,处理时间的猎物(cf。2]),转换因子的猎物,搜索的捕食者捕食者的处理时间,分别和转换因子的捕食者。

减少到两个维度(3通常当研究(1)和相关系统。更准确地说,考虑到函数 它满足 这意味着表面 渐近不变(1)。系统的研究在这个表面允许减少到一个平面捕食系统如下: 这样可以减少严格在一定条件下;看到史密斯和Waltman [1]。作为一个例子或许会为这样一个过程如何分解蒂米(4在圆柱坐标系中)给下面的例子 , , , , : 与初始数据 , , 和积极的常数参数。在这种情况下,考虑函数 还在这里,我们有 这意味着表面 渐近不变(4)和研究(4)在这个表面应该允许减少平面系统 在笛卡尔坐标系中,(4)有三个平衡 , , 所说明的 标记在图1。所有的解决方案都吸引到单位圆。解决方案与初始条件在平面上 有一些平衡在单位圆上的限制。但如果 ,然后设置是整个单位圆的极限。然而,我们看到,链回归集(5)是整个单位圆(原点)和不依赖于初始条件。


图1
说明几何和极限集的蒂米的4]的例子(4)。

回(3),如果 ,然后的生长函数(3)是由 在没有捕食者。因此,生长函数是单峰区间 提供 过去的不平等是相同的事实。我们将稍后使用以上介绍相关坐标转换结果(3)。

等价物的捕食系统(3)研究了史密斯和Waltman [1旷]和[6]。结果是,地方稳定意味着全球稳定性和极限环的唯一性证明在一定的参数范围。现在还不知道是否所有参数的极限环是独一无二的(3)和这些结果的进一步分析和改进仍然超出了本文的范围。

我们开始这项研究有关(3),一种广泛使用的一类捕食系统。假设 ,我们得到 这个模型可以确定为高氏(7]类型捕食模型等斜线形式 与 看到Lindstrom和程8]。一般来说,在涉及函数声明的条件(ⅰ) , , 是 ,(A-II) , 为 ,(A-III) 为 ,(iv) , ,

很容易看到,函数(13)满足标准(ⅰ)(iv)的解决方案 在这种情况下(捕食者等斜线) 如果(ⅰ)(iv) ,然后解决方案的系统(12)保持积极和有界8]。此外,它有三个平衡: 这是一个马鞍, 也是一个马鞍,最后 的雅可比矩阵 我们有 和 与 ,所以Trace-determinant标准(9)立即给古典Rosenzweig-MacArthur (10)标准说明内部平衡是局部渐近稳定当捕食者等斜线 相交猎物等斜线 在猎物等斜线减少 和不稳定时 。事实上,所有的拓扑属性包括结果全局稳定性和极限环的唯一性参数(11)是已知的;看到Lindstrom和程8]。

3所示。再参量化

我们reparameterize系统以消除一些相关的参数(见,例如,(11])。我们记得的增长区间(9)和引入新变量, 和新参数, 现在,(3)的形式 与 , , ( 确保了生态食物链)最后恒化器的估计 这个案子 对应于已知的情况下 (见Lindstrom和程8]),本文的主要目的是获得一个Rosenzweig-MacArthur [10标准(18)当 。我们假设的变量 , 。

我们注意到另一种转换 , , , , , , 给系统(1.2)在旷6]。因此,系统研究是相同的但是可行的参数集可能是不同的。我们再参量化更为复杂。然而,的属性(3)建议转换(16公式(以来)16)提供了一个标准化的增长区间 在(9)和间隔 为 为这两个变量单位间隔 和 。

4所示。等斜线形式和平衡的性质

我们重写系统允许更可分析的一种形式。这远不清楚应该在恒化器的情况下完成的。我们决定使用以下形式: 和国家对相关函数作为我们的条件(我) , , , 是 ,(C-II) , 为 ,(C-III) , ,(C-IV) , ,(C-V) , , ,(C-VI) , 。

我们注意到系统(18)对应的选择 和这个选择满足条件(我)——(C-VI)。特别是,我们有(C-III) 和(C-IV) 最后的不平等只是因为 。前进一步,我们证明一个基本定理。

定理1。考虑到有界集 , , 。解决方案(21从这组仍然存在。

证明。独特的解决方案没有解决方案可以相交的四个解决方案 , , , , , 。因此,保持积极的解决方案。证明解决方案仍有界,我们假设 并考虑一系列的不平等

我们进一步得出结论, 所以我们一起工作 尽量减少和凹,太。我们有一个平衡在原点,一个承载能力 ,一个平衡 ,在那里 满足条件 。我们首先证明,前两个平衡马鞍。给出相应的雅克比 我们注意到, 还包含的信息正特征值对应的特征向量点成三角形 , , 。这个标准可以作为制定 这是真正的因 和 。

5。隐函数和标准

的内部平衡 我们先做一些有关它的位置估计和定义隐式函数 由方程的猎物等斜线 通过隐函数定理,我们得到的 分母上述表达式总是正的,因此隐函数的定义 。隐函数的导数的符号 定义的提名者。我们开始计算特殊值的隐函数和断定 和 我们现在继续计算雅可比矩阵(21)内部平衡 并获得 我们有 特征值具有相同的符号,其稳定性是由跟踪。这完全是一致指数理论(12,13]声称的不动点指数内部是1。我们有 ,并得出结论,这个表达式的符号认同的标志(31日)。因此,我们有一个Rosenzweig-MacArthur [10恒化器)标准。我们总结的结论在以下定理。

定理2 (Rosenzweig-MacArthur [10]图形标准恒化器)。假设(我)——(C-VI)。内部固定角度(21)是局部稳定的时候 和不稳定时 。当 恒化器系统至少有一个极限环。猎物等斜线 减少1和位于附近的有界集 , , 对所有 。

最后一个断言是由于Poincare-Bendixson定理(见,例如,9),因为三角形集合 , , 是不变的,其边界不靠近任何解决方案。我们说明了定理的图形化的结论2在图2。

(一)
(一)
(b)
(b)
图2
(一)系统(21)至少有一个极限环 (我),(C-VI)。的室内定点系统(21)是局部渐近稳定时 (我),(C-VI)。我们的原型的例子(18)确实是全局渐近稳定 (1]。

最后,我们返回的具体表达式,我们作为原型的例子(18)为了检查额外的结论。我们注意到, 有一个解决方案在单位时间和一个解决方案大于1(插入吗 和 ,分别地。,in the above equation and remember the chemostat estimate (19))。我们感兴趣的解决方案在单位时间和结果 我们也得出这样的结论: 因为(19)。我们继续分析这条曲线的形状。定义方程(30.)可以写成 经过一些改进的水平曲线二次形式的吗 我们立即注意二次型在右边必须无限期(两个主要方面 和 不同的标志)。水平曲线因此由两条相交线或双曲线。这个双曲线是捕食者的一个分支等斜线曲线 当涉及到函数给出如(22),等斜线曲线给出明确 前面的负号被选自我们需要上面的平方根 。我们得出结论,这等斜线是凹下来 。

定理3。猎物等斜线 为我们的恒化器系统(21)和(22)是一个下凹的双曲线函数对应的一个分支。

相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突。

确认

作者感谢塞巴斯蒂安Thorngren检查结果的很大一部分的初步版本本文在他的学士论文14]。