文摘
我们提出一个迭代法寻找矩阵符号函数。结果表明,该方案具有全球行为体收敛速度。例子包括,结果证明了该方案的适用性和效率及其倒数。
1。介绍
众所周知,标志的功能在标量情况下任何定义不是在虚轴 一个扩展的1罗伯茨)矩阵情况下首先是由(1]。这个扩展矩阵函数是清晰的重要性在多个应用程序(见,例如,2),在其中的引用)。
假设是一个矩阵,没有虚轴上的特征值。正式定义这个矩阵函数,让 是一个约旦标准型这样安排的的特征值躺在左边半平面和开放躺在打开正确的半平面;然后 在哪里。一个简化的埃尔米特矩阵符号函数的定义(特征值都是真实的) 在哪里 对角化的。
计算的重要性也因为符号函数起着基本的作用在迭代方法矩阵根和极地分解(3]。
注意,尽管是一个单位矩阵的平方根,它不等于或除非的光谱完全在于打开正确的半平面或打开左半平面,分别。因此,一般来说,是一个非基本的平方根。
在本文中,我们专注于寻找迭代方法。事实上,这些方法本质上是牛顿型方案fixed-point-type方法产生一个矩阵的收敛序列通过运用合适的初始矩阵。
最著名的方法的类定义的二次牛顿法
应该说,迭代的方法,如(6),Newton-Schultz迭代 或体积收敛哈雷的方法 都是特殊情况[Pade家庭提出了最初的4]。Pade逼近属于一个更广泛的一类合理的近似。巧合的是,符号函数的最佳一致逼近一对对称但不相交的间隔可以表示为一个有理函数。
注意,尽管(7)不具有全局收敛性的行为,在先进的并行计算机体系结构、矩阵反演规模比矩阵乘法不满意,随后(7在一些问题)是有用的。然而,由于当地收敛行为,数值例子排除在我们的在这工作。
本文的其余部分组织如下。节2,我们将讨论如何构造一个新的迭代法寻找(3)。它也表明,所构造的方法与体积收敛率。指出其相互迭代也从我们的主要方法是收敛的。数值例子是提供给更高的数值精度的构造动力学部分3。本文以部分4有一些结论意见。
2。一种新方法
的连接矩阵符号函数迭代方法并不明显,但实际上这种方法可以通过应用合适的root-finding非线性矩阵方程的方法 当然,当方程是一个解决方案(见[5])。
在这里,我们考虑以下root-solver: 与。接下来,我们观察到(10)具有三阶收敛。
定理1。让是一个简单的零的充分可微函数,其中包含作为一个初始近似。然后迭代表达式(10)满足 在哪里,。
证明。证明将类似的证明(6]。
应用(10矩阵方程(上)9)将导致以下新矩阵fixed-point-type迭代寻找(3): 在哪里。这是名为PM1从现在开始。
该方案(12)不是Pade家族中的一员4]。此外,应用(10在标量方程提供了一个全局收敛性的复平面(除了躺在虚轴上的点)。这种全球行为,保持矩阵的情况下,见图1通过吸引的盆地(6)和(8)。吸引盆(7)(局部收敛性)和(12)(全局收敛性)也描绘图2。
(一)
(b)
(一)
(b)
定理2。让没有纯粹的虚构特征值。然后,矩阵序列定义为(12)收敛于,选择。
证明。我们的话,所有矩阵,无论他们是对角化的,有一个约旦范式,矩阵由约旦块。出于这个原因,让有一个约旦标准型安排吗
在哪里是满秩矩阵和是方形的约旦块对应于特征值躺在吗和,分别。我们有
如果我们定义那么,从方法(12),我们得到
注意,如果是一个对角矩阵,然后基于归纳证明,都是连续的吗也是对角。从(15),这足以证明收敛于。我们备注的情况不是对角线将在稍后讨论的证据。
与此同时,我们可以写(15),非耦合标量迭代来解决,由
在哪里和。从(15)和(16),它足以研究的融合来。
众所周知,。因此,我们获得
自,我们有
和。这表明是收敛的。
收敛性的证明,可能不是对角线。因为一些矩阵的约当标准型可能不是对角线,因此,一个人不能写(15),非耦合标量迭代(16)。我们的评论,在这种情况下我们的方法也收敛。为了这个目标,我们必须追求标量之间的关系研究理性的迭代矩阵的特征值的迭代。
在这种情况下,特征值从迭代映射吗的迭代由以下关系:
所以,(19)清楚地表明,在一般情况下特征值收敛;也就是说,
因此,我们有
证据就是结束了。
定理3。让没有纯粹的虚构特征值。然后该方法(12)收敛立方体矩阵迹象。
证明。很明显,是理性的功能因此,像,通勤。另一方面,我们知道,,,,。使用替代,我们有 现在,使用任何两边矩阵范数(22),我们得到 这揭示了体积收敛速度的新方法(12)。证明已经完成。
应该说,相互迭代获得(12)也收敛迹象矩阵(3)如下: 在哪里。这是名为PM2。相似的收敛结果中给出的定理2- - - - - -3坚持(24)。
扩展的方法来加速收敛的开始阶段通常是必要的因为不能在初始迭代收敛速度。这样的想法是在[充分讨论7牛顿法)。一个有效的方法来提高初始收敛速度是每次迭代规模前迭代;也就是说,取而代之的是。随后,我们可以呈现加速的形式提出方法如下: 或 在哪里和。不同的缩放因子在(27从牛顿法)是借来的。因为这个原因是很重要的显示加速器的行为方法(25)- (26),这将在下一节中完成。
3所示。数值例子
在本节中,比较的结果的迭代次数和剩余规范已报告各种矩阵迭代。我们比较PM1和PM2 (6)用纳米和(8)用嗯。数学编程包(8这一节中使用。在表中1和2,它所代表的迭代的数量。
注意计算顺序矩阵迭代收敛的发现可以估计(9] 在哪里,,最后三个近似。
例4。在这个例子中,我们比较了以下的方法复杂的矩阵:
n = 500;SeedRandom;
= RandomComplex[{-100 -我,100 + I}, {n, n});
这里我们应用双精度运算停止终止。结果在图3。
示例5(学术测试)。我们计算矩阵信号复杂的测试问题如下: 在哪里 我们运用600 -位定点算术与停止终止我们的计算。对于这个示例结果见表1。我们报告COCs。
迭代计划PM1和PM2显然被认为是比另一个更有利的方法相比,由于他们更少的迭代次数和可接受的精度。因此,该方法的正确选择初始矩阵可以帮助你找到一个非奇异的复杂矩阵的符号。
例6。我们重新运行示例5使用扩展方法(27)停止终止。对于这个示例结果见表2。我们使用了行列式的缩放方法相比。数值结果维护理论的讨论部分2。
高阶收敛的价格是增加数量的矩阵乘法和反演。这是一个典型的结果。然而最重要的优势提出了方法与方法相同的订单,如(8盆地),是他们更大的吸引力。这个优势基本上允许所需的新方法收敛于一个宽容比相同的顺序在一个较低的迭代方法。因此,深入研究提出的设计方法的计算效率指数可能不是一件容易的事,它必须追求实验。以实验的方式,如果一个矩阵乘积和一个矩阵求逆的成本是1.5统一和团结,分别有以下效率指数为不同的方法:,,。注意,牛顿法,我们有一个矩阵乘积每循环的计算停止准则。其他类似的计算效率指标对不同上面提到的一个例子展示类似的行为。
4所示。总结
矩阵函数用于线性代数和出现在许多地区大量的应用于科学和工程。一个矩阵的函数可以定义在几个方面,其中三个通常是最有用的约旦标准型、多项式插值,最后柯西积分。
在本文中,我们专注于迭代方法。因此,三阶非线性方程解算器已用于构造一个新方法。结果表明,通过吸引全球趋同盆地在复平面和收敛速度是立方。此外,PM2的倒数法PM1相同的收敛性质。PM1和PM2的加速度通过扩展也简单地说明。
最后一些数值例子双重和多重精度进行展示PM1和PM2的效率。进一步研究必须被迫延长迭代计算获得极分解在将来的研究中。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
承认
作者要感谢裁判对他们有用的修正和建议。