文摘
本文的目的是构建一个与记忆方法根据国王的家庭没有记忆非线性方程组的方法。证明该方法具有更高R收敛阶使用相同数量的国王的家庭功能评估。数值实验说明构造方案的性能。
1。介绍
许多数学科学等不同学科领域出现的问题可以被描述为一个非线性方程的形式(见,例如,1): 在哪里是充分可微函数在一个社区一个简单的零(1)。如果我们感兴趣的近似根,我们可以通过迭代的定点方法以下列形式: 提供的起点是给定的。
在这项工作中,我们关心的是定点的方法生成序列可能收敛到给定的真正解决方案单一光滑方程。这些计划可以分为点和多点方案。我们的话,一点方法可以通过使用具有高阶函数的高阶导数,从计算的观点。这是昂贵的另一方面,多点方法允许用户不浪费已经使用的信息。这种方法提供了高效的建设迭代root-finding方法(2]。
在这种情况下,特别注意致力于多点方法记忆,使用已经计算信息大大提高收敛速度没有额外的计算成本。这将是本文的重点。
特劳布(2)与内存(TM)提出以下方法: 收敛阶。
迭代方法收敛与记忆可以提高订单的没有记忆方法没有任何附加功能的计算,这导致更高的计算效率指数。我们的话,假设一个初始近似寻求简单的零和足够近给出了迭代方法的类型(3)。
最近,作者在3)设计一种方法使derivative-free家庭较低复杂度的最优方法。事实上,他们推测,每次应用导数的近似,,在一个最优的顺序,我们需要保存订单收敛。
例如,选择最优的两步的著名的家族王(公里)4), 和Cordero-Torregrosa的猜想,一个可以提出以下方法(DKM): 在
在这项工作中,我们提出一种两步方法与记忆拥有效率高指数根据著名的国王家庭的方法(5)。
我们的灵感和动机构建一个高阶方法以直接的方式都与数值分析的基本概念,任何数值方法应尽可能准确的输出结果以最少的计算成本。国家不同,有必要去追求更高的计算效率的方法。
本文组织如下。节2,本文的目的是提出的迭代方法基础上与内存(贡献5)求解非线性方程。该方案是一个扩展/ (4),有一个简单的结构,提高了计算效率。节3,我们比较理论结果运用效率指标的定义和提供进一步的支持而数值报告。一些结论将在部分4来结束本文。
2。与记忆之间的一种新方法
在本节中,我们提出以下迭代法与记忆的基础上(5): 其中自我加速参数。的误差方程(5)() 在哪里。我们现在必须找到一种方法以渐近误差常数消失。
为了实现这个目标,一个可以增加订单通过考虑以下替换: 由于零是不知道,关系(9在其具体形式)不能使用,我们必须递归地近似。这种构建一个变异与记忆对国王的家庭使用 在哪里。如果我们考虑牛顿插值多项式的第三个学位设置通过四个可用近似在每个周期的末尾,我们可以提出以下新方法与记忆:
注意,例如,我们有以下配方插值多项式:
加速收敛(11)是基于使用一个免费的非零参数的变化在每一个迭代的步骤。这个参数是计算使用信息从当前和先前的迭代(s),以便开发方法可能被视为与记忆方法根据特劳布的分类(2]。
我们当时写的理论方面提出了解决(11)。
定理1。函数足够可微的一个社区的简单的零。如果一个初始近似足够接近,然后,两步方法的收敛阶(11)内存至少是4.23607。
证明。让是一个序列的迭代生成的近似方法。错误与自我加速参数的关系(11)在下面: 使用符号计算,我们实现这一点 替代的价值从(16)(15),你可以获得 请注意,一般来说我们知道应该读误差方程,在那里和要确定。因此,一个,随后 因此,它很容易获得 在是一个常数。这将导致 有两个解决方案。明确的值是可以接受的,会收敛订单的方法(11)与记忆。证明已经完成。
的增加秩序是实现没有任何(新)额外的函数计算的新方法与记忆具有高计算效率指数。这种技术是一个扩展计划(5)增加订单从4到4.23607。
加速方法(11)是新的,简单的,有用的,提供相当大的改善收敛速度没有任何附加功能评估与优化两步方法没有记忆。
我们还的话,我们建议的方法的另一种形式与记忆可以使用向后有限差分公式推导出的开头第一个分步加速器和一个小修改;也就是说,我们有以下替代方法与记忆拥有4.23607的订单(APM):
定理2。函数足够可微的一个社区的简单的零。如果一个初始近似足够接近,然后,两步方法的收敛阶(21)内存至少是4.23607。
证明。这个定理的证明类似于定理1。它是因此省略。
3所示。数值计算
不同的迭代方法的计算效率,没有记忆可以测量一个繁荣的方式运用效率指数的定义。迭代方法收敛性(-)订单这需要功能评价、效率指数(也叫计算效率)是由Ostrowski-Traub公式计算(2]: 根据这个,我们发现 其中SM是成平方收敛Steffensen没有记忆的方法(7]。
应该说,Džunić(8)设计一个有效的一步Steffensen-type方法与记忆拥有 收敛的顺序如下: 和Cordero等人在9)提出了一个两步biparametric Steffensen-type迭代法与记忆拥有第七收敛的顺序:
请注意,我们的主要目的是开发国王的家庭而言,效率指数并没有达到尽可能高的效率指数。
尽管这些方法具有更高的计算效率指数比我们提出的方法(11),我们把它们排除在数值比较因为我们的方法不是Steffensen-type方法和牛顿型方法与记忆。更多信息请参考[10]。
现在,我们应用和比较不同方法的行为寻找一些不同的非线性测试函数的简单的零编程包Mathematica [11)使用多个精度算法清晰地揭示了高订购点和APM。我们比较方法和相同数量的功能评估每循环。
我们注意到,通过应用任何与当地融合根解算器,必须特别注意初始近似的选择。如果初始值是足够接近寻求根源,然后期望(理论)收敛速度是在实践中获得的;否则,迭代方法收敛慢,尤其是在迭代过程的开始。
在本节中,收敛的计算顺序(coc)计算了 计算值coc估计理论的顺序迭代法的收敛当病态行为(即。,slow convergence at the beginning of the implemented iterative method, oscillating behavior of approximations, etc.) does not exist.
这里比较的结果给出了测试函数的应用使用停止终止1000年固定浮点运算。
例3。我们考虑以下非线性测试函数的区间: 使用初始近似。结果表中提供1。
在本节中,我们使用每当需要。此外,对于DKM我们考虑。
例4。我们比较不同的方法的行为寻找复杂解决方案的非线性方程如下: 使用初始近似在哪里。这个测试的结果在表2。
很明显从表1和2近似的根具有伟大的准确性,该方法应用与记忆。第四遍历表的结果1和2仅供演示给出收敛速度的测试方法和在大多数情况下不需要实际问题。
我们还整合和应用开发方法与记忆(11)和(21),不同的测试例子和结果与上面的相同的行为。因此,我们可以提到的理论结果是支持通过数值实验,因此计算效率指数高的新方法是好的。
4所示。总结
在本文中,我们提出了一种新的两步Steffensen-type迭代方法解决非线性标量方程与记忆。使用一个自动修正的参数通过牛顿插值多项式计算,构造方法的收敛阶从4个增加至4.23607没有任何额外的计算。
相比,新方法在性能和计算效率与一些现有的方法通过数值例子。我们发现,与记忆方法的计算效率指数比其他现有的两步King-type方法。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
作者的贡献
作者也做出了相同的贡献。所有作者阅读和批准了期末论文。