文摘

斯托克斯的稳定的有限元离散化问题产生对称的线性代数方程组。提出了解决各种迭代等系统,试图构建高效、快速、健壮的解决方案技术。探讨这种迭代解决者之一,几何多重网格求解,找到无限系统的近似解。多重网格方法的主要成分是一个适当的平滑的选择策略。本研究认为不同的平滑和比较其影响的应用程序的总体性能多栅的解决者。我们学习以下流畅的多栅的方法:分布式高斯赛德尔,不精确Uzawa,预先处理这些MINRES, Braess-Sarazin类型平滑。平滑的比较研究表明,Braess-Sarazin平滑加强多重网格方法的良好性能。我们研究这个问题在一个二维域Hood-Taylor使用稳定对有限矩形元素。我们也给主要的理论收敛结果。我们给出数值结果的效率和鲁棒性的多栅的方法和证实理论的结果。

1。介绍

本研究认为大规模的数值解线性代数系统的偏微分方程的离散化。离散化是通过有限元方法。正定线性系统,与泊松方程,多栅的美高梅(MGM)方法被证明是最有效和快速的方法(1,2]。然而它是线性不定代数系统更具挑战性。在本文中,我们考虑多重网格方法求解线性不定代数方程组的混合有限元离散化的稳态斯托克斯的问题: 在哪里是一个速度场,代表压力,是一个外部的力场。问题是(1)- (3)上定义的域与边界。

这项工作的主要目标是构建和分析数值方法产生斯托克斯一个合适的解决方案的问题。主要的推力是应用迭代方法,多栅的方法,解线性方程组,来自斯托克斯方程的离散化。MFEM应用于(1)- (3)与精心挑选的有限元空间的代数系统,必须解决。速度变量一起压力变量系统的解决方案。我们使离散域的斯托克斯问题矩形网格与一对符合混合有限元空间inf-sup稳定。在我们的实验中我们使用Hood-Taylor对所使用的(3]。这个过程产生对称的线性代数方程组。在本文中,我们研究一种有效的解算器系统。这项工作已经激发了多重网格方法需要有效地解决大型应用程序的问题。多栅的方法已被证明是非常有效和成功地解决控制问题1,2,4- - - - - -6和椭圆偏微分方程7- - - - - -9在一个精确的和计算的有效方法。多重网格方法应用于有限差分法离散的问题和广泛的有限元方法3,8,10- - - - - -14]。多重网格方法的有效性取决于平滑的正确的选择。已经提出各种平滑在文学加权雅可比,高斯赛德尔(11],Ilu [8],Vanka-type [9,12,13,15),Braess-Sarazin-type ([13,16- - - - - -18)、半隐式方法有关的压力方程(15),法师/理查森(18),和不准确Uzawa18]。本研究的目的是应用多栅的解算器的斯托克斯问题解决以下迭代平滑:Braess-Sarazin,不精确Uzawa,预先处理这些MINRES,分布的高斯赛德尔。这些顺畅的内部解决的多栅的方法也可以作为明确的子系统。没有工作认识,比较研究了这四种平滑的影响多栅的方法不确定系统的性能。第一步是将连续问题离散系统和应用MFEM产生线性代数系统的多栅的开发方法,在数值模拟和计算分析,最后实现的。

的关键特性和成分多栅的方法平滑和粗网格修正涉及intergrid转移和解决校正步骤。工作的主要结果是收敛的多栅的方法在计算速度和压力变量在一个适当的标准基于平滑和近似属性(9,18]。剩下的纸是组织如下。节2我们给的离散系统通过混合有限元法斯托克斯问题。节3迭代解技术,几何方法,平滑了。并简要介绍了已知的收敛理论分析结果。节4数值实验和比较分析影响的平滑性能多栅的方法提出和讨论并给出结论。

2。斯托克斯离散系统

斯托克斯方程的离散化的域我们需要转换系统(1)- (3疲软的变分形式。斯托克斯方程的弱变分公式我们定义以下解决方案和测试空间: 第一个方程的乘法(1),和第二个方程(2),域,随后整合应用高斯定理,并结合边界条件(3),我们得到的变分形式。

找到和这样 在哪里和是连续的双线性形式定义为 在哪里代表了一种离散标量的产品和和。遵循矫顽力的适定性问题在Lax-Milgram定理19,20.)和部分inf-sup条件(7,8,16,21- - - - - -23]。下面是一个草图的分析解决方案的存在唯一性和稳定性混合问题(5):(我)双线性形式是有限的或连续的如果 (2)双线性形式是强制性的;也就是说,存在一个正的常数: (3)双线性形式是对称的和非负 (iv)双线性形式如果是有界的 (v)双线性形式满足inf-sup条件;也就是说,存在一个常数: 例如,在[22),结果表明,在我们的具体情况满足inf-sup条件;因此,我们可以结合(i) - (v)给下面的定理。

定理1。变分问题(5)是唯一可以提供属性(i) - (v)都满意。

依赖于封闭范围定理证明和Lax-Milgram定理。可以找到的细节在22,24]。

2.1。混合有限元离散化

弱者的混合有限元离散化公式的斯托克斯方程产生一个线性代数方程组。这里描述的有限元法是基于[7,16,19,21,23,25]。我们将介绍混合有限元方法的概念。细节可以发现在7,19- - - - - -21,25]。

我们假设。我们定义了有限维空间。让和的子空间和,分别。

现在我们可以制定一个离散的问题(5)。

找到几个这样 有限元离散化应该满足inf-sup条件。下面的定理表明,再次inf-sup条件证明的主要的重要性(我们指22])。

定理2。假设是椭圆(独立的椭圆率常数),存在一个常数(独立的),这样离散inf-sup条件 成立。然后相关(离散,稳态)斯托克斯问题有独特的解决方案,存在一个常数这样

如果的基础是由和是由,然后 在哪里内部节点和数量吗所以系数边界节点的数量吗插入数据和边界。解决方案的混合有限元需要分区域成四边形;在我们的例子中我们表示一组矩形(广场)元素和每个元素我们表示空间度小于或等于。有各种各样的有限元对其有效性是通过稳定(26]。在这个工作我们要使用Hoods-Taylor广场有限元素是稳定的。

我们指定 一个元素是唯一由指定的组件节点和边的中点的元素和的值节点的元素。混合有限元方法结果耦合线性代数系统中必须通过适当的解决来解决。由此产生的系统 与拉普拉斯算子矩阵和作为一个块的散度矩阵的条目 右手边向量的条目 线性代数系统可以表示为 在哪里,,。

解向量从(15)混合有限元的解决方案。系统(17)- (19)称为离散斯托克斯的问题。

矩阵的离散化和组装是通过混合有限元方法的MATLAB实现(8]。是拉普拉斯算子的离散化所引起的刚度矩阵。合成系数矩阵很大,稀疏,不定和迭代系统必须解决,在这种情况下多栅的解决者。多栅的解算器是一个众所周知的快速求解椭圆型偏微分方程(2,5]。

3所示。多重网格方法

本节的重点是建设的多栅的解算器的近似解(20.)最好的网格离散化。让是一个序列的有限维子空间的子空间和定义在网格序列网格大小与。我们定义了一个层次结构/家庭的嵌套有限元子空间的速度和压力: 在哪里子空间的对应的细化和子空间这样。在离散级别定义的离散空间和基地,线性代数系统被定义为 在哪里,,。

的主要目标是找到一对的离散速度和压力离散变量最好的水平。

现在我们介绍了多重网格迭代求解离散方程(22在网格。我们定义的多重网格算法的水平作为,在那里(我) 是输出的速度和压力后一步多重网格算法的水平;(2) 是输入速度水平;(3) 是输入压力水平;(iv) 和对速度和压力限制运营商,分别从水平水平;(v) 和对速度和压力,延长运营商分别从水平水平。

算法3(多重网格算法)。 如果(粗网格) 其他的定义(1)Pre-Smoothing:平滑算子开始,与平滑步骤,生产, (一)缺陷/剩余 (2)限制的缺陷 (3)近似解 (4)应用一个/两个迭代在递归调用:(一)应用的步骤(b)集(c)集(d)计算为 结束(5)校正步骤定义新的迭代:

Postsmoothing。从执行平滑步骤使用平滑算子生产 上面描述的多栅的方法属于一类最优阶方法求解线性系统的像有限元法离散化技术。其已知的离散化时收敛速度不恶化精制而经典迭代解决减缓减少网格大小(1,2,5,6]。的起点多栅的概念是观察到的经典迭代方法有一些平滑属性。操作员是这样的方法;在这项研究中它代表Braess-Sarazin、不准确Uzawa先决条件分布的高斯赛德尔,最小剩余法。这些方法的特点是可怜/缓慢的全局收敛率和错误的长度尺度与网格大小,它们提供了快速阻尼留下光滑,长波长错误。这些错误负责的平滑部分穷人收敛。一个几何多重网格方法涉及到网格的层次结构和相关的离散化。光滑的数量在一定的网格也可以在粗网格近似。低频误差分量可以有效地减少粗网格修正过程。行动以来平滑迭代只剩下光滑错误组件,可以代表一个适当的粗系统的解决方案。一旦这个粗问题已经解决了,解决方法是内插回细网格正确的低频近似误差。多重网格方法的最重要的成分是平滑算子,而使用错误的平滑会摧毁整个多栅的方法的效率,和粗网格修正包括延长和运营商的限制。 In multigrid methods we have to transform information from one grid to another and for that purpose we use prolongations and restrictions operators. Restriction transfers values from fine grid to the next coarse grid. Prolongation transfers values from the coarse grid to the next fine grid.

接下来我们讨论的关键组件的多栅的方法。(一)Intergrid转移运营商:Intergrid转移运营商的限制和延长不同网格之间的水平。限制操作符将剩余的细网格映射到粗网格而延长运营商转移向量从粗网格细网格。水平之间的限制和被定义为 在运营商的限制和分别对速度和压力。水平之间的延伸和再次被定义 延长的运营商和是表示下面的关系二次插值法的速度(),线性插值的压力()。(b)粗网格修正:多重网格方法的另一个关键因素是粗网格修正。多栅的解决方案过程中,我们需要解决这个问题的最好的定义。问题是在粗网格上定义水平和粗网格级别问题已经解决了。很少有情况下,网格可以被粗化在一定程度上,它不是实际使用直接法解决这个问题但是迭代。在这工作的迭代解算器作为顺利应用于粗层面解决问题。

3.1。的顺畅

最重要的部分是适当的选择平滑技术。通常,著名的平滑迭代标量问题(阻尼雅可比或高斯-赛德尔放松)不适合鞍点问题或甚至没有定义,例如,在鞍点系统(22)。有自然的方式推广标量平滑pde的计划系统。平滑过程的主要成分是多栅的方法。收敛的多栅的方法受到平滑过程(11,14,18]。我们执行的迭代次数的迭代解算器平滑的残余。主要目标是比较不同的迭代计划的有效性,流畅的多栅的方法。每一层的多栅的方法,涉及运营商的一个系统解决了约。平滑转储出来高度振荡模式的系统错误。在本文中,我们考虑下面的平滑过程: 提出了几种平滑和应用在文学。布兰德(4]倡导使用分布式高斯赛德尔平滑。Vanka-type流畅是广泛使用的耦合高斯赛德尔计划(13,14]介绍了平滑转换的概念,结合不完全分解开发一个高效的平滑。约翰和Tobska [14]和Pernice [15]使用Braess-Sarazin-type平滑与舒尔补方案平滑,展示精彩的平滑特性。下面的算法描述的迭代计划作为平滑。

3.1.1。Braess-Sarazin-Type流畅

的Braess-Sarazin平滑提出(17和使用的13,18)解决大型鞍点问题在每一个平滑的一步。这Braess-Sarazin或简单类型迭代使用作为一个平滑的鞍点问题(22)。流畅的介绍(17和普遍的18包括常数平滑迭代的应用: 与和考虑到。平滑Braess-Sarazin迭代(35)解决了辅助问题 与和。系统中固有的系统(36)是辅助压力变量的问题 该系统由迭代求解近似地解决。从系统大约可以用来近似确定从

3.1.2。不精确的Uzawa类型平滑

不准确的变体Uzawa迭代作为平滑了。

算法4。(1):平滑步骤。
(2)计算剩余。
(3)计算剩余。
(4)解决。
(5)解决。
(6)解决。
(7)更新速度和压力 结束。

步骤(6)在大纲可以重新安排与获得步骤(5)的副产品。这节省的应用每个月底外迭代,从而提高了算法的效率。不准确的其他变体Uzawa方法分析(26- - - - - -28]。

3.1.3。分布的高斯赛德尔类型平滑(DGS)

标准的平滑如雅可比和高斯赛德尔迭代计划顺畅不适用系统(22)由于系数矩阵的性质;特别是零块对角阻碍平滑过程。平滑转换的重要运营商分配的主对角线和应用解耦顺畅。介绍了DGS在[4)与连续应用标准高斯赛德尔应用于矩阵算子(22),与。我们解决了剩余方程 与和可逆的近似的和,分别。一个迭代的更新通过分配矩阵由下面的算法。

算法5 ()。(1)光滑的动量方程 (2)平滑转换后的连续性方程 (3)变换调整回原来的变量 DGS已经广泛使用的流畅有限差分离散化。摘要DGS型平滑用于有限元离散化的斯托克斯的问题。

3.1.4。预先处理的最小残余顺畅

预先处理的最小剩余法是求解对称无限维子空间方法系统和使用流行的块预调节器。这个方法是用来平滑的斯托克斯问题的多重网格方法。斯托克斯方程的古典block-diagonal预调节器MINRES方法(8)是 与。块预处理要求两个系统的解决方案与矩阵方程和在每个MINRES迭代。如果计算准确,维多预处理方法收敛在两个或三个步骤10]。在实际实现中,舒尔补取而代之的是质量矩阵吗空间的压力。对不连续空间的压力,块对角,容易转化。连续空间的压力,说,质量矩阵可以进一步取代其对角矩阵(8]。

3.2。多栅的收敛

多重网格方法的收敛性分析依赖于两个属性,即近似和平滑。的一般收敛率是独立的(筛孔尺寸),是离散化的,和预处理和postsmoothing迭代的数量(1,12,18]。结果收敛的多栅的方法不能适用于斯托克斯方程标量椭圆问题。我们提供了一个快照可用的斯托克斯方程的多重网格方法的收敛结果。本文提出的想法是基于工作(12,16,18]。单多栅的迭代步骤包括平滑步骤和粗网格修正步骤。我们将考虑Braess-Sarazin流畅的多栅的收敛平滑的迭代矩阵(34)和的斯托克斯刚度矩阵(22)。操作员和它的伴随intergrid运营商转移,延长,分别和限制。多重网格方法的收敛性分析始于two-grid的分析方法,和预处理和post-smoothing步骤,分别应用于(22在迭代矩阵)的结果 重点在分析的多栅的方法错误可以分为两个部分。这是一个由平滑过程和一个由粗网格修正。粗网格误差包括低频率成分和平滑的高频率成分的错误。应对低频率成分的能力称为近似属性和第二个叫做平滑属性。为分析的多栅的收敛2,29日)使用框架基于平滑和近似属性。分析我们定义以下规范,欧几里得范数,在应用以下规范: 此外我们介绍 使用上面定义的规范和服用和上面我们得到 下面的定理的两个属性和多栅的收敛。详细证明我们指12,18]。

定理6(近似属性)。假设是这样的问题(5)是常规。让刚度系数矩阵和和延长和运营商的限制。那么存在一个常数独立的和使用扩展引起的然后 在哪里。

平滑属性依赖于所使用的流畅。它从一个平滑变化到另一个地方。在这项工作中,我们使用了Braess-Sarazin我们解决系统(37)完全和充分准确不准确内部解决。

定理7(平滑属性)。让刚度矩阵的系数和平滑算子。然后 在哪里为和是一个递减函数。

结合近似性质定理6平滑的性质定理7产生一个two-grid收敛结果。

定理8。假设这是这样的问题(5)是常规。然后two-grid方法以下持有: 与一个常数独立于l和m。

使用这个two-grid号码绑定多栅的收缩母环方法融合结果可以导出使用思想(1,2]。

4所示。数值结果

在本节中,我们讨论古典斯托克斯的数值解问题(1)- (3使用上面给出的解算器)。解算器是用米高梅(算法3)。我们提出这个方法如前所述的结果运行传统的测试问题,驱动空腔流问题[11,12,27,28]。它是一个模型的流在一个方形空腔(域)和顶部盖子从左向右移动在我们的例子中正规化腔模型(11]。狄利克雷无滑动边界条件应用于侧和底部边界。混合有限元方法离散化腔领域。

我们特别注意的计算性能多栅的方法对系统(22)在不同网格的水平。我们比较不同平滑/放松方法的有效性在多重网格方法的性能和不同的近似预调节器和的顺畅。以下列出的设置更平稳。(我)分布式高斯赛德尔(DGS)平滑:我们使用一个高斯赛德尔迭代的评估和一个高斯赛德尔迭代的计算。该方法成为DGSMG。(2)不精确的Uzawa平滑(IUzawa):这两个情况下评估被认为是预调节器。首先,近似和一个母是用来近似舒尔恭维矩阵。第二种情况是使用一个母的评价和。该方法成为IUZAWAMG。(3)Braess-Sarazin平滑(台球):两例合谋的评价预调节器。首先,近似和一个母是用来解决矩阵近似舒尔恭维。第二种情况是使用一个母的评价和。该方法成为B-SMG。(iv)PMINRES顺畅:第一种情况是使用对角预调节器和和第二种情况就是其中之一母为提交拉普拉斯算符的反演速度周期是用来近似舒尔恭维质量矩阵加速MINRES使用压力。该方法成为PMINRESMG。比较了多栅的方案的性能与不同平滑(i) - (iv)和案件不同的近似预调节器的迭代计算和CPU时间。离散斯托克斯问题的数值处理,使得混合有限Hood-Taylor稳定元素组成的双二次速度和双线性元素的压力,在一个统一的网格。实施我们的算法是一个Windows 7的平台上执行2.13 GHz intel双核心处理器速度,使用MATLAB 7.14编程语言和MATLAB内置Minres函数用于平滑。我们开始于一个统一的方格网的离散化我们定期改进适用于离散化来获得最好的网格级别开始。离散方程解决了使用的多重网格迭代母和母和和分别被presmoothing和postsmoothing步骤。通过指定近似平滑的决心和强调在(我)——(vi),在所有情况下母内心的多重网格迭代使用和被高斯赛德尔迭代步骤presmoothing postsmoothing,分别。

在这个工作我们使用结构化网格和定期改进。矩形网格上的有限元矩阵组装和网格生成的MATLAB工具箱国际金融机构(3)在一个层次结构的网格是由连续定期改进。我们需要选择粗网格(网)开始,最好的网格,对应的最大程度的优化最终的近似解。组装矩阵存储为每个细分级别系统(22)。表1显示了一个示例的优化水平,我们使用粗(开始)级别9节点速度和4节点压力变量(1级),但我们在2级开始计算。

表1显示了改进水平和网格点(节点)的数量为每个级别。

零初始猜测是选择所有的测试。在所有的测试重复迭代,直到宽容,在那里是满意的。计划如果满足停止条件收敛。结果显示第一种情况的评价、预调节器的顺畅和与,所有病例的评估由一个母环内多栅的迭代和被高斯赛德尔迭代presmoothing和postsmoothing步骤,分别。

表2和3显示的迭代次数和计算时间来展示不同的影响母(1、2、3、4)母(1、2、3、4)与Braess-Sarazin预处理和postsmoothing步骤(台球)平滑。我们比较的性能母和母多栅的迭代与各种不同网格平滑步骤使用一个光滑的水平,Braess-Sarazin。

从表2和3我们观察到的迭代次数减少,平滑步骤减少和增加的CPU时间按预期增加平滑步骤。

表4和5显示的数值结果多栅的解算器在不同网格的水平。的数量母和母多栅的迭代和CPU时间分别显示。所有的结果提出了强调的效率多栅的解决不定方程的系统。在两个表中,我们目前的四个研究结果平滑的多栅的解决者。在表中4和5我们选择的近似平滑预调节器和Braess-Sarazin IUzawa, PMINRES。DGS的我们使用的一个高斯赛德尔和。我们修复的数量(3、3)平滑步骤中的所有结果表。

比较的性能母和母多栅的解算器,我们观察到平滑的多栅的解算器的性能有不同的影响。多栅的解算器是最优迭代绑定的所有网格的水平。在表中4和5我们都比较顺畅,我们观察到Braess-Sarazin平滑导致更快的收敛的多栅的较少的迭代和CPU领先于其他平滑。放松不准确Uzawa没有令人失望的错误但DGS PMINRES导致更多的迭代和计算时间。其他观察表4和5是,母在更少的迭代收敛母虽然有更多的计算时间都顺畅。

在表中6和7我们使用不同的近似预调节器的多栅的顺畅母和母环,分别。在应用预调节器,我们近似预调节器拉普拉斯算子的刚度和稀疏矩阵和由几何多重网格母环方法()。多重网格是一个著名的快速解算器等系统。流畅的多栅的解算器是一种内心的迭代。表中的结果6和7还显示,多重网格的一个迭代母是一个合适的近似平滑自多栅的解算器改善了迭代的表4和5。在两个表多栅的方法是最佳的解决不确定系统和所有光滑迭代的数量有限的独立的网格大小或网格级别。

表8显示了正规化的后验误差估计的变化驱动空腔流使用近似流:使用策略建立在国际金融机构(3,8),为每个元素错误,结合当地给出误差估计的能量速度误差和规范标准的分歧错误;也就是说, 在哪里速度误差估计和吗和是全球误差估计量,使用不同的平滑从一个水平到另一个。

从表8我们注意到速度散度显然是收敛速度,这意味着全球估计错误越来越占主导地位的速度误差分量。

图1显示网格示例的输出水平和,样品速度解决方案(指数流线),和情节在同一层的压力相同的顺畅。

5。结论

本研究的目的是探讨多栅的斯托克斯方程的解算器。我们引入了四个顺畅的多栅的迭代方法母和母来解决不定系统发出的混合有限元离散化斯托克斯的问题。我们分析多栅的解算器的建设、施工顺畅,计算成本和CPU时间作为指标的每个网格平滑的水平的性能。数值实验结果母和母环在不同的网格平滑的水平。我们已经发现了两种情况下,流畅的多栅的解决者是最优的,在本研究中使用的迭代的数量是有界的所有网格的水平。稳定的斯托克斯方程和选择使用的流畅Braess-Sarazin最喜欢顺利成为了迭代放松多栅的解算器的误差。所有的数值结果表明,一个母多栅的迭代也是一个适合使用的流畅的预调节器。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。