文摘
我们提出申请pseudospectral方法解决系统复杂的系统设计。拟议的方法,称为多级谱松弛法(MSRM)是基于一种技术扩展高斯-赛德尔放松思想系统的非线性微分方程,利用切比雪夫pseudospectral方法来解决由此产生的系统的多个间隔序列。在这个新的应用程序,MSRM是用于解决著名的超混沌系统复杂的洛伦兹系统等复杂系统和复杂的永磁同步电动机。我们比较此方法基于龙格-库塔数值解算器显示MSRM给了准确的结果。
1。介绍
混沌理论研究动力系统的行为,对初始条件极为敏感和复杂和高度不可预测的资料1,2]。可以观察到混沌系统在各种各样的应用程序。1982年,复杂的洛伦茨方程提出的福勒et al。3),将非线性系统推广到复杂的空间。之后,一些研究工作在这一领域已经取得了(4- - - - - -9]。深入研究复杂的非线性系统,各种各样的物理现象可以描述混沌或超混沌复杂的系统,例如,失谐激光系统和电磁场的振幅。
复杂混沌系统的自然排除了可能性获得封闭形式的解析解的基本控制方程。因此,近似解析方法,实现多个间隔的序列来增加他们的收敛半径,常用于解决ivp造型混沌系统。多级方法的示例开发最近为混乱和解决ivp nonchaotic系统包括多级同伦分析方法(10[],分段同伦摄动方法11,12),多级变分迭代法(13),和多级微分变换法(14]。其他多级方法使用数值积分技术等也提出了分段光谱同伦分析方法(15- - - - - -17)使用谱配置方法执行一体化进程。准确的高度混沌和超混沌系统的解决方案需要解决许多小的时间间隔。因此,寻求解析解在众多的间隔可能不切实际或计算昂贵,如果解决方案是寻求在很长的时间间隔。
在本文中,我们提出一个分段或多级谱松弛法(MSRM)为解决复杂系统的超混沌作为一个精确的和健壮的选择最近的多级方法。拟议中的MSRM开发使用高斯-赛德尔方程解耦系统的理念,用切比雪夫pseudospectral方法来解决由此产生的解耦系统的多个间隔序列。光谱松弛法(SRM)最近提议在18,19]。
剩下的纸是组织如下。节2,我们给一个简短的描述提出MSRM算法。节3,我们目前的数值实现MSRM系统复杂系统设计的两个例子。最后,给出的结论是在部分4。
2。多级谱松弛法
在本节中,我们给出一个简短描述的数值方法,用于解决复杂非线性系统的解决方案。我们采用多级谱松弛法(MSRM)提出(19]。MSRM算法是基于高斯-赛德尔的放松,将使直线化类型系统和光谱的使用搭配方法解决linearised方程以顺序的方式。密实度,我们表达的系统非线性一阶微分方程的形式 初始条件 在哪里未知的变量和吗相应的初始条件,已知常数输入参数和的非线性分量吗th方程和点表示分化对时间。
该方案计算的解决方案(1)在一个平等的小区间,使整个间隔序列。我们定义集成的间隔个子区间划分成一个不重叠的序列 ,在那里和。我们的解决方案表示(1)在第一子区间作为在随后的小区间和解决方案作为。获取解决方案在第一间隔,(2)作为初始条件。通过使用连续性条件相邻小区间获得的解决方案之间的间隔获得初始条件用于下一子区间吗。这是应用了连续的小区间;为每个子区间,得到解决方案获得初始条件用于下一子区间吗 。因此,在每一个时间间隔我们必须解决 受 在哪里克罗内克符号。如前所述,MSRM计划背后的主要思想是解耦系统的非线性ivp使用高斯-赛德尔代数方程的解耦系统的想法。拟议中的MSRM区间迭代计划解决方案给药 初始条件 在哪里估计后的解决方案吗迭代。一个合适的初始猜测开始迭代计划(5)是一个满足初始条件(6)。一个方便的选择初始猜测被发现在数值实验中被认为是在这个工作
切比雪夫谱方法用于解决(5在每个时间间隔)。首先,该地区转化为区间吗光谱的方法是使用线性变换定义, 在每一个时间间隔为。然后我们离散化区间使用Chebyshev-Gauss-Lobatto搭配点[20.]: 的极值是哪一个阶切比雪夫多项式:
切比雪夫谱配置方法基于的理念引入微分矩阵用于近似未知变量的衍生品吗在搭配点矩阵和向量的乘积 在哪里和向量函数的搭配点吗。
应用切比雪夫谱配置方法(5)给 与 在哪里是一个单位矩阵的顺序。因此,从初始近似(7),递推公式 可以用来获取解决方案吗在这一期间。近似的解决方案在整个时间间隔是由
3所示。数值例子
在本节中,我们考虑两个例子验证了该方法的效率和准确性。特别是,我们使用MSRM算法解决非线性ivp作为一个适当的工具;我们将方法应用于两个复杂非线性混沌系统。
例1。系统可以被描述为复杂的洛伦兹系统
在哪里,,,,,和的配合和。当参数选择,,,系统(16)系统(21]。
在系统(取代复杂的变量16)与真实和虚数变量,一个可以得到一个等价系统如下:
(17),参数和被定义为 与所有其他和为。
通过数值实验,确定搭配分和5次迭代MSRM计划在每个区间都足以给准确的结果时间间隔。表1和2显示一个比较的超混沌复杂的洛伦兹系统的解决方案由MSRM和数值计算。在数据1,2,3MSRM图形结果也与数值和良好的协议。人物的肖像MRSM阶段4和5也发现同样采用数值计算。这表明该MSRM是一个有效的工具,用于解决系统复杂的洛伦兹系统。
例2。永磁同步电动机系统的状态方程在定向转子可以描述如下22,23]: 在哪里,是代表电流的状态变量和运动角频率,分别;和纵轴定子和交轴定子电压组件,分别;是极惯性矩;外部负载转矩;粘性阻尼系数;定子绕组电阻;和纵轴定子电感和交轴定子电感器,分别;永磁磁通;和是pole-pairs的数量;的参数,,,,,,都是积极的。
甚至当气隙,电动机空载或停电,永磁同步电动机系统的无量纲方程可以描述为 在哪里都是积极的参数。如果当前的系统(19)是复数和变量在系统(20.)是复数,通过改变交叉耦合项和共轭形式,王、张了一个复杂的永磁同步电动机系统如下(24]: 在哪里,,,,和的配合和。在系统(取代复杂的变量21)与真实和虚数变量,王、张了一个等价的系统如下(见[24): 在哪里是积极的参数确定系统的混沌行为和分岔22)。当参数满足,,有一个正的李雅普诺夫指数,两个零,李雅普诺夫指数和两个消极的李雅普诺夫指数系统(22),这意味着系统(22)是混乱的24]。参数和初始值的值,,,,,,。
(21),参数和被定义为 与所有其他和为。
获得的结果从MATLAB内置的解算器相比,数值。常微分方程的数值解算器集成了系统使用显式的第四和第五龙格-库塔公式。表3和4显示解决方案的比较复杂的永磁同步电动机MSRM和数值计算。在数据6,7,8MSRM图形结果也与数值和良好的协议。人物的肖像MRSM阶段9和10也发现同样采用数值计算。这表明该MSRM是一个有效的工具,用于解决复杂的永磁同步电动机。
4所示。结论
在本文中,我们应用一种光谱方法称为多级谱松弛法(MSRM)超混沌复杂系统的解决方案。拟议中的MSRM开发使用高斯-赛德尔方程解耦系统的理念,用切比雪夫pseudospectral方法来解决由此产生的解耦系统的多个间隔序列。拟议中的MSRM被用来解决系统复杂的洛伦兹系统和复杂的永磁同步电动机。该方法的准确性和有效性进行了测试与Matlab基于龙格-库塔的内在动力学和以前公布的结果。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。