文摘
本文的目的是获得并讨论一个三步迭代求解非线性方程表达式。事实上,我们得出一个derivative-free形式的现有最佳eighth-order方法和保护其收敛阶。理论结果将支持通过数值实验。
1。介绍
假设足够光滑是它的简单的零;也就是说,。本文对非线性标量方程的数值解,迭代表达式。考虑一个已知的最优eighth-order方法与导数和Cordero的猜想和Torregrosa [1),我们构造一个家族derivative-free没有内存求解非线性方程的方法。
文学评论不久,我们提醒读者以下。龚和特劳布(2提供了一类一步一步derivative-involved方法包括评价的功能和它的一个一阶导数每达到完整的迭代收敛速度。他们也有了一步一步derivative-free家族的一个参数(消费再次评估函数)的实现最优收敛速度。
备注1 (Kung-Traub的猜想2])。多点迭代方法没有内存要求功能评估每个迭代,收敛的顺序。多点方法满足Kung-Traub猜想(仍未经证实的)被称为最优方法。
一些著名的八阶的收敛方法可以找到在[3]。另外一个例子,刘和王4]提出最优eighth-order使用四个评估/全循环的方法在下面: 的效率指数为1.682。文献[4)还提出以下三步方法与相同数量的评估和效率指数:
在接下来的部分2,主要的推导与优化设计提供了一个新的derivative-free家庭eighth-order收敛非线性方程组。在那里,我们也确认Cordero-Torregrosa的猜想。部分3说明了新获得的准确性三步迭代方法通过比较结果的家庭对于一些非线性测试函数。最后,在节4结论将。
2。一个新的Derivative-Free家庭
有很多的论文(见,例如,1)和引用其中)把衍生品从迭代函数的概念,以避免定义新的函数和计算迭代只通过使用函数来描述这个问题并试图保持收敛阶。的利益这些方法应用于非线性方程组有许多问题时获取和评估涉及的衍生品或在没有分析函数来获得。
因此,我们的重点在这工作是获得一个方法不使用衍生品的非线性方程。
备注2 (Cordero Torregrosa的猜想1])。每次一个应用导数的近似,顺序的优化方法,一个人需要保存订单收敛。
我们首先提醒读者没有记忆的三步迭代法提出了(5与最优收敛第八阶:
主要目的是遵循的话2呈现一种derivative-free (3)和最优收敛八阶。因此,使用近似,我们提出以下公式(): 在
我们应当看到,收敛的顺序(4)达到最优情况下,8日,只有四个评估每个完整的迭代函数,这意味着该uniparametric家族derivative-free方法具有效率高指数1.682,可以被视为derivative-free制定(3)。
定理3。让是一个简单的零的充分可微函数一个开区间,其中包括作为一个初始近似。然后,家族derivative-free方法(4八)是最佳的秩序。
证明。的渐近误差常数(4),,,我们扩大任何条款(4单根)在迭代。因此,我们写 在哪里和 在。因此,我们获得 同样,我们有 和第二子步骤,我们 在这个时候,泰勒级数展开的在根是必要的。我们发现 随后 考虑这些泰勒级数扩张的最后一步(4)将导致最终的误差方程如下: 这表明derivative-free方法的迭代家庭没有内存(4八)是最佳的秩序。证明已经完成。
备注4。定理3显然支持Cordero-Torregrosa的猜想提供低derivative-free迭代方法没有记忆与导数的最佳方法。
请注意,每个方法(4)达到效率指数,这是大于最优和四阶技术牛顿法最优。它也同样的计算效率指数(1),(2)和(3)。
备注5。必须说,首先,这篇论文(6]研究了多点迭代计划使用self-acceleration划分不同的经典方法。
我们在这里自由非零状态参数在(4)给我们增加融合的能力订单(4)更多。这样一个加速秩序被称为记忆(见,例如,(7根据特劳布(分类)8为解决非线性)。更准确地说,选择 将产生一个加速收敛。
总之,因为简单的零随后不知道,应该给一个近似(14)使用一个近似多项式在域。为了实现这个目标,如果我们考虑牛顿插值多项式的第四个学位通过五个可用的节点,,,,每个周期的末尾,然后有以下近似: 使用一个合适的。因此,一个能够获得以下加速迭代法与记忆:
显然,如果减少节点用于插值多项式,缓慢加速。增加收敛达到这样没有额外的功能评价,使提出的解决根(16)有效。这个加速度会在部分3。
定理6。函数足够可微的一个社区的简单的零。如果一个初始近似足够接近,那么收敛阶的16)至少是。
证明。让是一个序列的近似迭代生成的方法和顺序。错误与自我加速参数的关系(16)是在下面: 在是渐近误差常数。使用符号计算和(13),我们获得 替代的价值从(18)(17),你可以获得 因此,它很容易获得 在和两个常数和随后吗 有两个解决方案。明确的值是可以接受的,会收敛订单的方法(16)与记忆。证明已经完成。
3所示。数值测试
本节的目的是提供一个对比提出方案和已知文献中的方法。
为数值报告在这里,我们使用最优eighth-order三步法(1)(LW8),最优eighth-order三步法(3)(SM8),我们优化三步eighth-order方法(4),和内存(加速法16)用(APM)。
结果总结在表1和2经过一些完整的迭代。正如他们所显示的,新颖的方案具有可比性的方法。所有数值实例由Mathematica 8使用1000固定浮点运算9]。
我们计算每个测试函数的根初始猜测虽然迭代计划时停止。可以看到,结果在表1和2在和谐节中给出的分析方法2。
收敛的计算顺序(COC)也被计算
例7。在这个测试中,我们比较不同方法的行为寻找复杂解决方案的非线性方程如下: 使用初始近似在哪里。这个测试的结果在表1。
示例8。我们这里比较的行为不同的方法寻找的解决方案 使用初始近似在哪里。这个测试的结果在表2。
应该提到我们的方法(4对非线性系统)不能被容易的扩展。原因是重量函数中使用(4)不含分母的有限差分算子。这样的扩展可能追求未来的研究。然而,一个简单的扩展版(4)维可以写在下面: 在它具有只有第五阶的收敛性。注意,Steffensen扩展版本的方法写的 在 与。现在我们申请(25解决非线性积分方程),并保持八点收敛速度仍将为未来的工作作为一个开放的问题。
示例9。考虑混合汉默斯坦积分方程(10]: 在哪里,,内核是由
为了解决这一非线性积分方程,我们将上述方程转换成一个有限维的问题通过使用Gauss-Legendre求积公式给出 的横坐标和重量确定为由Gauss-Legendre求积公式。的近似表示通过,我们得到非线性方程组 在那里,,我们有 其中横坐标和重量是已知的。
使用初始近似我们应用该方法(25)用经前综合症这是multiplication-rich找到最终的解向量的非线性积分方程(31日)。表3显示的残差规范,当非线性方程组的大小。
4所示。结束语
解非线性方程是一个经典的问题,有趣的应用程序在不同的分支科学与工程(见,例如,11])。在这项研究中,我们已经描述了一个迭代的方法没有内存来找到一个简单的根非线性方程的在一个开区间。
派生的方案是由应用Cordero-Torregrosa的猜想,它证明了收敛于简单的0与最优收敛第八阶非线性方程。这表明最优效率指数1.682。此外,我们讨论了如何提高通过与记忆收敛阶。也包括一些例子来支持理论部分。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
作者的贡献
作者也做出了相同的贡献。所有作者阅读和批准了期末论文。