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程望，威华福，海阳黄，建威陈， ＂基于ISOMAP的三维操作模态分析“，科学规划， 卷。2020.， 文章ID.6348372， 18. 页面， 2020.． https://doi.org/10.1155/2020/6348372
基于ISOMAP的三维操作模态分析
成王
，1，2
威华福，1
海阳黄，1
和
建威陈3.
1华侨大学计算机科学与技术学院，福建厦门361021
22 .西安交通大学机械结构强度与振动国家重点实验室，西安710049
3.圣地亚哥州立大学数学与统计系，圣地亚哥，加州92182，美国
抽象的
为了识别随着阻尼和小非线性的时间不变三维工程结构的模态参数，提出了基于三维操作模态分析（OMA）方法的新颖等距特征映射（ISOMAP）以提取本文的非线性特征．使用基于ISOMAP的OMA方法，将低维嵌入矩阵乘以变换矩阵以获得原始矩阵。我们在低维嵌入矩阵和模态坐标响应之间以及变换矩阵和模态形状之间找到了对应关系。从低维嵌入矩阵，可以使用傅里叶变换确定自然频率，并且可以通过随机减量技术或自然励磁技术来识别阻尼比。模态形状可以从低维嵌入矩阵的摩洛队矩阵逆。我们还讨论了不同参数（即，邻居数量和矩阵组件的数量）对模态参数识别结果的影响。在白噪声激发下圆柱形壳体的振动响应信号的数值模拟的模拟识别结果表明，该方法可以仅从振动响应信号识别操作条件中的三维结构的模态形状，自然频率和比率．
1.介绍
工作模态分析(OMA)由于能够仅利用振动响应识别结构工作状态下的模态参数而受到广泛关注[1］．模态参数（包括模态自然频率，模态形状和模态阻尼比率）对于结构振动控制，损伤诊断等至关重要[2，3.］．最近，盲源分离（BSS）方法，如稀疏分量分析（SCA）[4，5]独立分析（ICA）[6已广泛用于产量识别。
降维技术是克服“维数魔咒”的有效手段。目前的降维方法可以分为线性降维和非线性降维[7］．古典线性维度降低算法包括主成分分析（PCA）[8]，局部保持投影(LPP) [9]，多维缩放（MDS）[10.]和线性判别分析（LDA）[11.］．最近，Wang等人。将PCA引入OMA [12.]并提出了基于PCA和二阶盲识别 - （SOB-I-）的三维OMA方法[13.，14.］．但是，时间不变的工程结构通常是三维，阻尼和小的非线性[15.］．
类似地，存在许多非线性维度减少方法，例如局部线性嵌入（LLE）[16.，17.]、拉普拉斯特征映射(LE) [18.]，内核pca [19.]和等距特征映射（ISOMAP）[20.］．Bai等人。提出了一种用于三维结构的基于LLE的OMA方法[21.， Zhang等人优化了基于lle的OMA的最近邻选择方法[22.[Dong等人。引入了LLE算法的模态识别和影响因素[23.]和guan等人。对四个统计学习算法（PCA，ICA，Sobi和LLE）进行了全面和系统的比较，用于分析解决操作模态参数识别的性能[24.］．本文将ISOMAP应用于OMA。ISOMAP是歧管学习的非线性维度减少算法[25.］．该方法可以在其高维观测中找到隐藏的有意义的低维结构。这个想法可以在oma中使用。迄今为止，ISOMAP已被广泛用于各种领域[26.］．
基于ISOMAP算法，本文提出了一种用于复杂的三维连续体结构的三维OMA方法。
本文的主要贡献可归纳如下：（1）针对三维结构模态振型、模态固有频率和模态比的识别问题，提出了一种基于等值图的模态识别方法（2）我们确定了低维嵌入矩阵和模态响应矩阵之间的对应关系，以及变换矩阵和模态振型之间的对应关系（3）我们对基于ISOMAP的OMA方法的特征进行了理论分析（4）我们在算法上分析不同参数（例如，矩阵组装方法，邻居数量和维度减少方法的数量和维数减少方法的影响（5）我们设计圆柱壳振动响应信号的数值模拟，以验证算法的有效性
本文的其余部分安排如下。在部分2，引入了三维模态参数识别的基于ISOMAP的OMA方法和所提出的方法的特性。在一节中研究了各种参数的效果3.．部分4呈现模拟验证结果。最后，我们在部分中得出了纸张5．
2.基于ISOMAP的三维操作模态分析
2.1。模态坐标和操作模态识别中的静止响应信号分解
根据动态结构振动理论，动态微分方程 -物理坐标系中的自由度(DOF)线性系统为 在哪里 是质量矩阵， 是阻尼矩阵， 刚度矩阵是僵硬矩阵， 是外部刺激，和 是加速，速度和位移响应信号。
弱阻尼系统的自由和随机振动具有位移响应，其可以在模态坐标中如下表示： 在哪里 是模态形状矩阵由模态形状构成每个订单和 是模态响应形成的模态响应矩阵 ．当每个自然频率的顺序不同，模态形状向量 成为
模态响应彼此独立和是一个对角线矩阵：
利用单自由度（SDOF）识别方法，如FFT，很容易识别从模态响应得到固有频率和模态阻尼比 ．
后得到了模态振型矩阵可以使用Moore-Penrose Matrix逆估计：
OMA是识别模态形状矩阵 ，仅来自振动响应信号的自然频率和模态阻尼比率 ．
2.2。基于ISOMAP的OMA
ISOMAP是一种非常受欢迎的歧管学习算法。与仅用于线性维度减少的PCA不同，ISOMAP可以解决非线性维度减少问题[27.］．降维的Isomap算法取样本集 作为输入，在哪里是维数和为样本数。然后设置两个超参数的值:邻域数K和低维空间维数 ．算法的输出是低维空间中的样本矩阵 ．算法所涉及的步骤可描述为:（1）构建一个邻域图g。对于每个样本点 ， ，我们首先计算它的邻居点数。基于欧几里德距离，在某些固定半径内的所有点或选择k最近邻居。之间的点然后连接其邻居，如图所示1．这些邻域关系被用作数据点的加权图G.（2）估计测地距离。调用最短路径算法来计算任意两点之间的距离。这也称为测地距离，即，与相邻点的距离是欧几里德距离，并且到非接合点是最短路径距离。距离矩阵的特定计算过程 在(6） - （10.)．（3）呼叫古典多维缩放（MDS）算法获取矩阵在低维空间中的样本集合。
以下信息可以从MDS的步骤中获取。MDS算法的目的是获得样本在 -尺寸空间， ．任何两个样品的测地距离 -尺寸空间等于原始空间中的距离，这意味着 和是任何两个样本之间的距离。
环境 ，我们有那个 ，因此可以获得以下等式：
从以下等式 我们获得了那个
总之，古典MDS算法可以分成以下步骤：（1）使用 （7） - （9）， 计算 ， ，和（2）使用 （10.），计算矩阵（3）执行特征值分解（4）构造作为对角线矩阵d最大的特征值和作为相应的特征向量矩阵（5） 包含每个示例的低维坐标
我们现在介绍了ISOMAP算法;在图中介绍了使用ISOMAP进行ISOMAP的示例2［25.］．（a）的图2是三维空间的数据集。通过ISOMAP算法减少维度，二维空间的数据集（图2（b）)仍然保持三维空间数据的内在联系。
(一)
(b)
PCA和经典MDS可以有效地应用于欧几里得结构，但不能提取非线性特征[21.］．ISOMAP算法是可以解决非线性问题的经典MDS方法的改进版本。更具体地，ISOMAP方法的维度降低原理使得低维数据之间的欧几里德距离等于高维数据之间的测地距离。当计算高维歧管上数据点之间的距离时，而不是应用传统的欧几里德距离，ISOMAP使用差分几何形状中的测地距并使用实际输入数据估计该距离。
ISOMAP算法可以获得低维表示 这也是独立的，所以存在 在哪里是转换矩阵。所以，有以下形式:
比较（2)和(12.)，得出模态振型矩阵之间存在一一对应的映射关系在模态坐标和转换矩阵中在ISOMAP中，模态响应矩阵在模态坐标和低维表示中在Isomap。数字3.显示了基于ISOMAP的OMA的物理解释。
2.3。三维模态参数识别
“三维”结构的OMA是一个更复杂的问题，因为它需要三个方向上的模态参数的组装来计算“三维”模态参数。
因此，我们在本节中介绍了两个三维矩阵组装方法，即最小二乘矩阵替换（LSM）和直接矩阵组件（DMA）。在组装数据矩阵之后，我们使用ISOMAP算法查找模态参数。
连续结构机械系统可分为定期离散观察组件。时域中的三维圆柱壳的位移响应可以通过其模态坐标近似表示足够大：
在(13.）， 是三个方向的振动响应，是嵌入的维度， 是三个方向的模态形状，是采样时间和模态响应矩阵每个维度都是相同的。利用最小的误差总和作为要优化的目标函数，摩尔彭罗第矩阵逆（13.） 是 [13.］
在基于LSM的ISOMAP方法中，首先分解单维位移响应信号。为减少高斯分布式信号测量噪声的影响，在实际工程案例中选择了主要和最大的结构的动态响应尺寸。替代进入其他二维位移响应信号，使用摩尔彭罗斯矩阵逆（14.），可以识别这两个维度的模态形状。三维模态形状 然后组装。为识别三维结构的工作模态参数，采用以下策略对三维结构进行识别过程。图中描述了该过程4，假设振动响应是最伟大的方向。
从(13.），我们知道模态响应矩阵每个维度都是相同的。因此，DMA方法将三个方向的模态响应集合为整体模态响应 整个结构[28.]：
将整体结构的模态坐标响应和模态振型一次性求解:
的Moore-Penrose矩阵逆16.），我们可以获得所有三个方向的模态形状
图中描述了三维OMA的DMA的ISOMAP方法的过程5．
2.4。基于ISOMAP的OMA特征
基于ismap的OMA具有以下特点:（1）所识别的模态参数的顺序不同于理论值。ISOMAP算法是一种改进版本的经典MD，识别顺序遵循主组件的贡献，从小到大。（2）模态形状的幅度信息丢失。根据 （8)，每个阶的模态振型相互正交，模态振型向量被单元化。（3）可能缺少一些模态信息。当独立组件的贡献很小时，难以识别其模态参数。
3.参数对算法的影响
3.1。矩阵汇编
LSM方法选择三维结构的最大振动响应数据以计算用于确定其他模态参数的模态响应矩阵。然而，最大振动响应方向的模态坐标响应不等于全局模态坐标响应。虽然我们以小成本获得该矩阵，但是由此产生的三维模态形状必须具有大的误差。
基于DMA的方法直接获得三维结构的全局模态形状和整体模态坐标响应，然后使用ISOMAP来识别模态参数。与LSM相比，DMA避免了对矩阵反转操作的需求，并且更加坚固。此外，这种方法提供更高的准确性，因为矩阵反转误差和不良问题[29.]是矩阵分解计算中不可避免的。表格1比较了两个装配方法的性能[26.］．
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3．2．邻居数K
邻居值k是指连接给定点的数据点的数量。每个点连接到最接近的K点以形成图G，然后使用一些算法（例如，Dijkstra算法和Floyd的算法）来计算最短路径。
如果K过小，可能无法形成连通性图，这将影响最短距离的计算。同时，噪声点的负面影响也会被放大。一个足够大的K值可以减少路径长度和真实测地线距离之间的差。如果K值太大，计算时间会变得难以忍受，可能会出现欠拟合。
3.3。线性和非线性方法
MDS和PCA都是线性降维技术。PCA方法寻找最能保持其方差的数据点的低维嵌入，如在高维输入空间中测量的那样。经典的MDS方法找到了一种保持间隔距离的嵌入。我们在提出的方法中使用了欧几里德距离，PCA的结果与MDS的结果一致[21.］．我们的实验结果也证实了这一点。
ISOMAP是非线性维度减少技术。当三维结构中存在非线性特征时，线性方法的提取性能差。数据之间的线性和非线性关系也会影响算法结果。
4.三维操作模态参数识别的仿真验证和结果分析
4.1。生成模拟数据
我们进行了模拟，以研究具有复杂的三维结构的圆柱形壳体。在两端支撑圆柱形壳，并且一定数量的振动传感器位于其表面上以在三个方向上记录振动响应，振动激励器用于模拟工作条件。数字6说明了这个过程。
圆柱形壳的厚度为0.005μm，半径为0.1825μm，长度为0.37μm，和205gPa的弹性模量。材料具有0.3的泊松比，密度为7850千克/米3.，模式阻尼比为0.03,0.05和0.1。
考虑圆柱壳为38个圆的均匀轴向分布，每个圆有115个均匀分布的观测点，共为 = 4370 observation points. The sampling frequency was set to 5120 Hz, and the sampling time was set to 1 s. Finally, response signals in three directions were calculated by LMS Virtual Lab using finite element analysis (FEA). Response signals in the three directions at a random observation point are shown in Figure7．
(一)
(b)
(c)
4．2.评价指标
为了使用所提出的三维结构方法来评估识别的效果，使用FEA计算模式形状和自然频率。这些被认为是与所识别的模态参数进行比较的实际模态参数。模态保证标准（MAC）反映了所提出的方法给出的模态识别的有效性。Mac被定义为 在哪里是确定的 -订购模态形状和是真的 -订购模态形状。MAC值范围为0到1，具有更高的值，指示更好的相关性。模块都是真实的，没有复杂。
4．3．三维工作模态参数识别仿真结果
从图中所示的三个方向的响应信号7，很明显振动响应方向大于那些和方向。因此，基于LSM的方法首先使用ISOMAP来分解方向。
由具有0.03的阻尼比的FEA方法计算的模态形状和自然频率被认为是真实值。数字8显示真正的模态形状。
嵌入维数为6，邻居数为6K= 40时，模态响应矩阵通过ISOMAP获得，我们将快速傅里叶变换（FFT）应用于其每个列，并采用与每个顺序的最高幅度相对应的X坐标。
为了使更好的比较，我们旋转坐标并获得了图中所示的结果9．
由基于LSMS的ISOMAP算法识别的模态形状和自然频率在图中示出10.和11.．在相同的条件下，基于DMA的ISOMAP算法识别的模态形状和频率在图中呈现12.和13.．桌子2- - - - - -5比较模块形状，模态形状和模态比的频率，模态形状和模态比率，由基于LSM的ISOMAP，基于DMA的ISOMAP和FEA识别。
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符号“ - ”表示结果未识别或太小。 |
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通过嵌入尺寸为5的基于LSM的ISOMAP算法识别的模态形状和频率如图所示14.和15.．
桌子6和7比较不同维度的基于LSM的ISOMAP算法标识的MAC和频率。
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桌子8- - - - - -10.比较LSMS和DMA方法计算的不同邻域数K下模态振型、模态频率和模态阻尼比的MAC值。
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对于模态比，我们应用随机递减技术（RDT）[30.]或天然励磁技术（下一个）[31.]到模态响应矩阵的每列然后从Hilbert变换获得曲线的包络。拟合指数衰减到信封，最佳拟合的斜率给出了模态比。数字16.说明了这个过程。
我们使用不同的维数减少方法比较模态阻尼比识别方法（RDT和NEXT）（PCA [13.]）在表格中11.- - - - - -13.．使用LSM来识别MAC和频率的结果在表中呈现14.- - - - - -16.，而使用DMA的则在Tables中给出17.- - - - - -19.．
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4．4.三维工作模态参数识别仿真结果分析
（1）从数字8- - - - - -13.和表2- - - - - -5，我们可以看到基于DMA和LSM的ISOMAP方法可以有效地识别模态形状和频率。DMA方法在后一种订单中确实很好，而LSMS方法可以更好地识别模态形状的前几个顺序。对于模态比，DMA组装方法更好地获得第6阶结果。（2）来自桌子2- - - - - -5，可以得出结论，模态形状和频率没有一对一的对应关系。这是因为模式坐标向量的顺序是不确定的。（3）从数字14.和15.和表6和7，五维情况的结果与六维情况的前五维结果相同。因此，在Isomap中，选择的维数对前几阶模态参数的识别没有影响。（4）不同的K值对识别结果的影响很小(见表)8- - - - - -10.)．随着k增加，后来订单的识别准确性增加。但是，算法的时间复杂性也增加。（5）桌子11.- - - - - -13.表明可以使用RDT和接下来有效地识别模态比。不同的维度还原方法（PCA或MDS和ISOMAP）和组装方法（LSM和DMA）对估计的模态比没有影响。（6）基于ISOMAP的OMA可以有效地识别三维模态参数（见表11.- - - - - -16.)．由于六阶模态参数的非线性特性较弱，Isomap不能很好地提取六阶模态参数。（7）桌子11.- - - - - -19.说明，随着真实模态比增加，模态形状，频率和模态比变得更加难以识别。这是因为较大的阻尼比率导致较小的结构响应。
5.结论和前景
本文介绍了Isomap算法在OMA中的应用，用于识别三维结构的模态振型、模态固有频率和模态比。通过对圆柱壳发射非线性响应模式的模拟得到了很好的结果。我们还比较了各参数的影响。仿真结果表明，Isomap算法的参数(邻域数K和维数d）对结果几乎没有影响。然而，结构参数（阻尼比）和矩阵组装方法对输出产生了显着的影响。此外，我们将PCA（MDS）的结果与ISOMAP进行了比较。
在未来的工作中，我们将尝试在更高阻尼比率下提高方法的准确性。本文讨论的方法使用最基本的ISOMAP算法。ISOMAP的改进版本可能会达到更好的结果。此外，实际结构的实验和找到缺失模式的问题值得研究。
数据可用性
用于支持本研究结果的所有数据可根据要求从相应的作者获得。
利益冲突
提交人声明有关本文的出版物没有利益冲突。
致谢
这项工作受到中国国家自然科学基金的财政支持（授予第51305142号），以及华侨大学的青年和中年教师促进计划，在格兰桥ZQN-PY212下。
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