文摘
对数的旋转矩阵是一个斜对称张量组成的三个独立的元素实数。除了欧拉角和轴/角对的元素称为日志角度也三个参数的设置。在本文中,我们将显示日志的角度也很有用的概念,讨论晶体取向的变化。的变化位置的函数给出的日志角度的变化。作为一个例子,取向变化造成的混乱的数组可塑性变形铜单晶进行了讨论。
1。介绍
电子背散射衍射分析和扫描电镜(SEM / EBSD)是一种强大的方法来分析晶体材料的方向。使用这种技术,我们可以测量不同材料的晶体取向与精度高。然后,有机会来评估缺陷结构等谷物的位错结构,不同晶体取向的缺陷(1),但必须合理地表达晶体取向的差异。
我们可以使用一个旋转矩阵描述特定的晶体取向3×3的正交矩阵有九个元素(2]。然而由于独立元素的数量是三个,套三个参数,而不是更方便了解旋转。讨论变化在晶体材料通过SEM / EBSD测量的结果,应该选择合适的参数显示晶体取向和微观结构的变化之间的关系形成的材料。
对数的一直被视为讨论旋转框架组的数学理论(3- - - - - -5]。对数是一个斜对称张量组成的三个独立的元素实数。除了欧拉角和轴/角对(2),的元素也是三个参数的设置吗(6]。在本文中,我们将显示的元素称为日志角度(7,8)是有用的参数讨论晶体取向的变化。作为一个例子,取向变化造成的混乱的数组可塑性变形铜单晶进行了讨论。
2。晶体取向的变化
2.1。对数的旋转矩阵
当轴/角的一对是由一个单位向量和一个旋转角度使用日志的集合的角度为,是写成4] 另一方面,之间的关系和是写成5] 在哪里是单位矩阵。因此当是一个足够大的正整数,我们有什么 在哪里 方程(4)表明,次的连续操作相当于。因此,我们有数据1(一)和1 (b)图形或机械表示(7,8的由(3)和(4)。球形单元对应与无穷小旋转角堆积次了。自是无穷小的旋转矩阵对角线外的组件,这可以显示为一个产品的三个基本旋转球面单位(7,8]。这些数字表明,该日志的角度的金额是分裂的旋转角度在参考坐标系的坐标轴和旋转角度的解读为组件(7,8]。这可能是对任何说,并不局限于小的角度。
(一)
(b)
根据选择的转动轴和他们的订单,欧拉角的不同集基于三个基本的产品对某些定义旋转(7]。很多集的原因是旋转的产品不交换7]。与欧拉角的不同设置不同,一组日志角度独特的某些决定(7]。使用欧拉角的概念类似,组件的旋转角度提出了考虑旋转的简单产品(9]。然而,以及欧拉角,考虑到旋转的简单产品的组件可能不是唯一决定确定的。日志角度的概念也适用于其他特征值等旋转的平均取向治疗在先前的研究6,10,11]。
2.2。日志为小角度的旋转角度
SEM / EBSD的模型线扫描测量,这里我们考虑晶体取向的变化如图所示图2。晶体取向的位置和关于在原点O的和,分别。在这里,我们定义作为之间的晶体取向的差异和表示通过参考系原点。然后给出了三个旋转矩阵之间的关系 数据3(一个)和3 (b)对应正确的图形化表达,左手边的5),分别。虽然是另一个旋转的来球形的叠加单位的右边(5),如图3(一个)。如果是定义的旋转旋转参考系在右边,订单的产品(5)和球形单元图的叠加3(一个)都发生了变化。
(一)
(b)
在这里,我们假设是一个小角度的旋转和旋转角吗轴/角对的满足。然后,(1)写(2)(4), 日志的角度的写成 满足自。使用这个方程,(5)是写成 方程(8)表明,无穷小日志角度的可以解释为旋转角度的组件给晶体取向之间的差异在和在。
2.3。位置变化的依赖晶体取向
这里我们假设不同在和很小。当可微的对吗,之间的区别在和在被编写为 从这个方程和(5)(7),我们有 如图所示,这个方程,旋转矩阵的变化作为一个函数的位置是由日志角度的变化,,。
如果所有对于任何小角度的旋转,矩阵有关的产品成为可交换的,写(5), 这时,一个小角度的旋转是由微分形式
3所示。冷轧铜单晶的晶体取向的变化
3.1。冷轧铜单晶的晶体取向冷轧之后
作为应用程序的一个例子的分析,我们认为铜单晶的晶体取向的变化由塑性变形引起的。一个平板状铜单晶质量纯度(99.9%)的2毫米厚度和20毫米的宽度和长度是冷轧。图4(一)显示了一个在冷轧铜单晶的示意图。所示方向TD、RD和ND这个数字是横向,滚动,和应用的正常方向滚动。TD、RD和ND构造正交坐标系及其晶体方向也显示在图4(一)。
(一)
(b)
(c)
我们观察到的显微组织演变后轧制厚度减少15%,SEM / EBSD技术。房子- 7001 f (JEOL)由程序控制,OIM数据收集版本。7.01 (TSL)使用。加速电压和步长是15千伏和1.0μm,分别。平面截面正常TD (TD)观察如图所示的矩形区域图4(一)。图4 (b)反极图(IPF)地图的晶体取向ND的TD飞机滚标本。颜色代码IPF地图所示标准三角形右上角。RD和ND TD平面的方向也表示。
如图4 (b),几乎平行的蓝色和绿色带显示方向分裂后滚动出现。倾向的乐队从0.56到0.65 rad 37度。(32)RD。我们讨论方向改变沿线从原点O这IPF地图所示。沿着线方向测量了每隔2.4μm。极射赤面投影图4 (c)显示了晶体取向的取向在原点o .变化沿线OA所示极的数据图4 (c)。这些表明,取向变化引起的滚动主要TD周围旋转。
3.2。日志角度的变化
图5显示了日志角度的变化沿线OA的函数到原点的距离o . log角度显示方向的取向变化在原点o .这些显示的变化是关于rad和最大的三个组成部分之一。周期性的变化显示,蓝色和绿色之间的接口乐队在图4 (b)是小角度倾斜边界造成TD周围顺时针和逆时针旋转。平行方向的界面如图的痕迹4 (b)几乎平行于一个红色折线的中心投影吗在图4 (c)。这个红色的虚线是垂直的虚线显示方向垂直在同一图。这些表明,小角度倾斜边界是由数组的混乱边缘平行滑动平面的位错是在图的中间4 (b)。考虑到铜单晶的初始方向如图4(一)我们可以说这个轧制时的滑动面操作(12]。
(一)
(b)
(c)
数据6(一)- - - - - -6 (c)显示之间的关系,,在同一地点办公图4 (b),在那里,,日志的变化角在相邻两个点2.4μm分开。在和关系如图6(一)和6 (b)分散的数据似乎是对称的和随机的。然而,在关系如图6 (c),数据分散系统附近一个斜折线图。斜折线的斜率稍后讨论。
(一)
(b)
(c)
图7(一)示意图显示了小角度倾斜边界TD飞机上观察到。可能的滑动方向和在还表示在图吗7(一)。在滚动,宏观剪切方向可能是因为这个原因ND-RD平面的平面应变塑性变形。这种变形是通过双滑的和在。当剪切变形来发生时,晶体TD周围旋转出现如图7 (b)。然而,如图7 (c)变形,这是两个剪切机的组合和导致晶体旋转和,分别。
(一)
(b)
(c)
轴旋转组件相关的日志角度如图所示(1)。旋转在相邻两个计量点沿直线OA所致和它们之间的混乱。日志组件的角度正比于旋转轴的组件。转动轴之间可能会发生变化和在根据比例的数字和混乱。因此,旋转的轴的变化所表达的折线图的关系如图所示6 (c)。我们已经考虑了轧制铜单晶的晶体取向的变化与日志角度的变化。的系统的色散关系如图6 (c)因此解释为位错结构如图7 (c)。
4所示。结论
对数的旋转矩阵是一个斜对称张量组成的三个独立的元素实数。日志角度的元素和三个参数的设置。我们已经表明,对数的概念角度讨论晶体取向的变化是很有用的。晶体取向的改变位置的函数给出的日志角度的变化。作为一个例子,取向变化造成的混乱的数组冷轧铜单晶进行了讨论。
相互竞争的利益
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者要感谢题材Osada和Yuki Kurosu贡献铜单晶。这项工作由jsp KAKENHI支持,批准号16 k06703。