奇摄动非线性偏微分方程的数值解在空间三个变量:明确自适应逆预处理方法

文摘

关键评价计算系统的复杂性和奇摄动(SP)的基本概念。类的几个复杂的SP非线性椭圆方程产生的各分支科学,技术,工程。复杂非线性pde SP的分类与特征边值问题。修改后的显式条件共轭梯度法提出了基于显式逆预调节器。特点3 d SP的数值解非线性抛物模型是分析和数值结果数模型问题提出了演示新计算方法的适用性和有效性。

1。介绍

1.1。计算系统的复杂性

广泛的复杂计算问题可以在计算机科学和信息管理,以及在不同的学科领域,如应用数学、工程、商业、金融、医学、计算生物学、社交网络、交通、电信、教育、政府和医疗保健。

近年来,各种类型的复杂系统,如基于web的系统,云基础设施和大型数据中心,社交网络,点对点,移动和无线系统,cyber-physical系统,物联网,实时和嵌入式系统,越来越多的分布式和动态系统架构提供高灵活性也增加了管理的复杂性的端到端应用程序的性能。

1.2。奇异摄动问题

奇异摄动(SP)问题在计算机数学是一种含有小参数的计算问题,不能通过设置参数值近似为零;也就是说,问题的解决方案不能一致渐近近似的扩张。奇异摄动这个词是在1940年代引入Wasow [1),和SP的问题通常是动态操作多尺度的特征。

基本SP方法包括匹配渐近展开的方法,Poincare-Lindsted方法,多尺度方法和周期平均,WKB近似空间问题[2- - - - - -5]。数值方法求解非线性椭圆SP问题开发的几个分支科学,技术,工程。

1.3。各种SP的主题问题

主题的各种问题提出一些在数学物理数学模型,优化,和经济,非线性椭圆型pd几乎出现在每一个科学领域。解决方案的数学方程出现在不同的领域,如功能分析、代数拓扑,微分几何,变分法,和潜在的理论,而SP问题可能发生在各个领域的应用数学和工程,即。、流体动力学、流体力学,量子力学,磁流体动力学、弹性,化学反应器理论,和反应扩散过程。边界层理论的主题和近似解的各种计算问题,在SP参数(大或者小)存在于复杂的解决方案,以及其他重要问题需要他们的渐近分析方法。

渐近分析的微分算子是指手术扰动在(非常)狭窄地区因变量与快速机会,和小参数用最高的衍生品。这些通常被称为数值求解非常困难,例如边界层在流体力学中,皮肤层电气应用,冲击层流体和固体力学,量子力学过渡点,斯托克斯线和表面。介绍了术语边界层Prandl (6,此后,几位二维非线性SP问题仍然未得到解决7]。

在过去的几十年里,一些近似方法分析非线性SP问题开发了包括边界层方法,平均的方法,匹配渐近展开的方法,多尺度,而一类SP非线性常微分方程边值问题,反应扩散方程(8),非线性方程的激波层解决方案SP的问题,和大气物理学的问题9)也一直在发展。

SP的数值解椭圆pde中扮演一个重要的角色在计算流体动力学模拟流问题(10,11),但计算离散化方案的推导适合所有类型的线性和非线性SP椭圆方程,仍然是一个悬而未决的问题。注意,SP问题可分为数值和渐近的问题。数值分析提供定量的信息给出问题,而渐近分析提供定量的元素行为的类的问题给半定量的信息的任何特定的成员这类问题。

在本研究工作中,修改版本的显式适应性条件共轭梯度法基础上提出了一种新的显式逆预处理。预先处理的应用新的适应性修改显式方法,基于新的明确的预调节器,导致更快的奇异摄动抛物型微分方程的数值解,尤其是在三个空间变量问题的情况下。注意,所提出的方法基于EPCG和逆预调节器通过选择适当的预调节器导致更精确的数值解的方法比这些没有预调节器解决不同的复杂的逆问题。如此强大的显式的使用逆预调节器,如果原给定离散偏微分方程的系数矩阵非奇异的(米×n)非对称矩阵的不规则结构,为解决复杂的计算问题,有效的解决方案3 d奇异摄动时间微分方程。

2。分类SP非线性pde

许多物理现象在科学和工程可以建模为边值问题与各种类型的pde pde的或系统。在这些模型的解决方案,可以保留重要的品质省略微不足道的数量(非常)小参数。类的几个复杂的SP非线性椭圆方程产生的各分支科学,技术,工程最近提出(12]。为应用程序的观点这样的模型包括以下物理现象:非线性波浪产生的气体动力学,水波,洪水在河流、交通污染物的化学反应,交通流量、色谱法和各种生物和生态系统。

这些类的应用程序包含非线性椭圆和抛物线与奇异摄动方程,如以下特征方程:(我)文献[13)被认为是反应扩散系统的研究问题产生的化学或生物的动机: 在哪里有限域在吗Rⁿ具有光滑边界 , 表示单位外正常 ,和 。(2)驻波的非线性薛定谔方程是由(14] 在哪里亚临界和是光滑的有界的潜力。(3)一个基本的模型系统,根据(15),模型的密度化学活化剂和一个抑制剂和用于描述实验九头蛇的再生: 在哪里 ,与约束 。(iv)神经冲动应用问题非线性椭圆奇异摄动方程如下: 在光滑的有限域 。摄动参数是积极的和小。

注意,大量的研究工作在特殊的话题SP最近提出了非线性微分方程(16- - - - - -26]。

结论,指出各种重要问题在科学和工程方面制定非线性椭圆SP pd,哪种模式非线性波浪,产生气体动力学,水波,化学反应,运输的污染物,洪水在河流、色谱、交通流,和广泛的生物和生态系统。

2.1。SP非线性抛物/椭圆微分方程

SP抛物线第一BV问题已经被几位研究人员讨论27- - - - - -29日]。各种对流扩散问题由二阶半线性抛物型/小参数乘以二阶椭圆型方程的空间衍生品受到混合类型规定的抛物线的域的边界问题试图确定如何关闭获得近似解问题的实际解决方案(30.,31日]。

微分方程 当 ,这是足够小,那么相应的BV问题是出现奇异摄动问题,在电化学32]。

SP的面积是越来越感兴趣的领域应用数学家和计算机数学科学家。在过去的几十年里,巨大的贡献的主题和它的应用已经由几位研究人员1,32- - - - - -41]。注意,大量的研究工作在特殊的话题SP最近提出了非线性微分方程(16- - - - - -21]。

结论,指出各种重要问题在科学和工程方面制定非线性椭圆SP pd,哪种模式非线性波浪,产生气体动力学,水波,化学反应,运输的污染物,洪水在河流、色谱、交通流,和广泛的生物和生态系统。

2.2。解决复杂非线性问题:SP在特殊主题的最新进展

奇异摄动理论关注的研究问题中参数问题的解决方案在一个极限值的参数是不同的字符限制的一般问题的解决方案,即:,极限是单数。相比之下,对于正则摄动问题,一般问题收敛于解决方案的解决方案的限制问题,限制方法的参数值。奇异摄动问题发生在广泛的情况下,应用数学、科学和工程,如流体力学(边界层问题)、弹性壳(边缘),和量子力学(19,42- - - - - -54]。

微扰理论是一家集方法获取涉及小参数的近似的解决方案ε。这些方法非常强大;因此有时引入一个参数实际上是明智的ε暂时成为一个困难的问题没有小参数,最后确定ε= 1恢复最初的问题。微扰理论的方法是将一个困难的问题分解为数量(无限)的相对简单的。微扰理论是最有用的,当几步显示解决方案的重要功能,其余的给小的修正。微扰解决方案可以分为两种类型。正则摄动问题的基本特征是,小而非零的精确解ε顺利趋于平静的解决方案ε⟶0。奇异摄动问题的定义是解决方案的一个ε= 0是完全不同性格的“邻国”解决方案获得的极限ε⟶0 (53,55- - - - - -64年]。

奇异摄动理论关注的研究问题中参数问题的解决方案限制参数值不同的性格一般问题的解决方案的限制;也就是说,极限是单数。相比之下,对于正则摄动问题,一般问题的解决方案的收敛极限问题的解决方案作为极限方法的参数值。

计算奇异摄动(CSP)方法(65年)是一种常用的方法寻找近似慢流形的常微分方程组(常微分方程)与多个时间尺度。CSP的有效性方法建立了快慢系统与一个小参数(42,44,46,52- - - - - -54,61年,66年,67年]。

3所示。一个3 d SP非线性抛物模型的数值解

让我们考虑一般SP成平方非线性椭圆狄利克雷问题: 在哪里在欧几里得是一个开放和有界集吗n讨论 ; 的边界是光滑函数,参数是一个非常小的,正数68年]。

让我们考虑一类奇异摄动(SP)非线性抛物偏微分方程(PDE)在三维空间的形式: 在哪里是操作符( ); 是真正的SP参数;和是真正的参数;和是时候,受边界条件 和初始条件

后,可以解决非线性PDE FD /有限元离散化的线性化inner-outer迭代计划,在外层迭代是由牛顿迭代的形式 在哪里是离散微分算子。向后差分过程可用于离散化的时间。

由此产生的非线性系统

内部迭代计划可以通过使用一个显式执行预处理共轭梯度法和终止准则: 而外层迭代终止准则被选为

请注意,米和p的semibandwidths系数矩阵;l₁和l₂在semibandwidths宽度参数吗米和p分别;r₁和r₂semibandwidths填写参数吗米和p分别;和δl_我是所谓的“保留”参数;也就是说,近似逆矩阵的对角线保留数量(69年]。数值试验,填写参数的值被选中r₁=r₂= 2和宽度参数被选中l₁=l₂= 3。

4所示。修改后的显式条件共轭梯度法

让我们假设系数矩阵的部分1.3一般来说是一个大非奇异的真正的不对称矩阵semibandwiths吗米和p分别保留非零元素的宽度l₁和l₂保留r₁和r₂分别填写项。系数矩阵一个被认为是一个不规则结构的带状矩阵。我们也考虑到有一个类的近似逆一个,米完全相反的一个(69年]。

以下近似逆的子类,这取决于准确性、存储和计算的工作需求,可以派生所示(14): 在哪里的子类是一种带状的确切的逆保留沿着每一行和列元素,分别,而其元素等于相应的完全相反的元素。这个词子类II是一种带状的M,只保留元素在每行和每列在近似逆的计算过程,并在一定的假设,它可以被视为一个好的近似最初的逆,而近似逆的条目在子类三世保留后计算比相应的条目和不准确 。最后,在子类IV,近似逆矩阵的元素可以计算(70年- - - - - -72年]。

SP非线性抛物系统可以通过使用一个inner-outer迭代的解决方案。在本节中,修改后的显式条件共轭梯度法。

4.1。自适应预处理共轭梯度法使用显式近似预调节器

PCG方法可以解决这个问题 ,在哪里R是稀疏的,非奇异的QR分解,而预处理#方法可以解决以下方程: , ,和 。为了有效地计算线性系统的解决方案 ,修改后的显式条件共轭梯度(mEPCG)方法应用于算法的格式1。

该算法需要的额外的工作需要解决线性系统 每次迭代。因此,预调节器( )应该选择过程,这样可以轻松高效地完成。

预调节器( )=G结果在一个最小的内存使用。存储的要求是向量r,x,y,p和上三角矩阵G,在数据实现。预先处理这些CG的收敛速度是独立的方程,和矩阵向量乘积是正交的,独立的。预处理CG方法不是自我纠错,每迭代数值误差积累。因此,尽量减少在PCG数值错误,使用双精度变量在内存使用的成本。二阶显式的首选方法可以结合使用或者显式近似逆为解决复杂的计算问题的适当选择迭代参数(71年]。

5。数值结果

让我们考虑一个特征奇异摄动(SP)非线性抛物PDE在三维空间在一个预先确定的地区。这个问题的有限元离散化导致非线性系统的解决方案,在系数矩阵是满秩,大型稀疏非对称(n×n)不规则结构的矩阵73年]。为了说明提出方法的能力和效率,一个模型问题已经被选择和相应的数值结果表明算法。

被认为是两个混合inner-outer迭代方法,即。,the Newton-mEPCG method, with inner iteration the modified explicit preconditioned conjugate gradient (mEPCG) method, and the Newton-EPBICG-STAB method, with inner iteration the explicit preconditioned biconjugate conjugate gradient (EPBICG-STAB) method.

牛顿的收敛行为(外迭代)和mEPCG / EPBICG-STAB(内部迭代)如表所示1- - - - - -4和数字1和2对于一个模型问题(n = 3375)米= 26日和 ,与几个SP值参数ε_年代Δ,选定值的时间步骤t和几个保留参数的值δl。

预先处理的显式双对共轭gradient-STAB (EPBICG-STAB)方法和变异提出了相关的研究工作73年,74年]。应该注意的是,明确的预处理方法和显式近似逆结合适当的预调节器可以应用于更广泛的应用领域和计算机应用数学,而显式近似逆可以结合多重网格方法和其他相关的混合计算技术。

6。结论

的基本元素和奇摄动的概念讨论了复杂性。一个分类复杂的SP非线性椭圆方程产生的各分支科学和工程的形式提出了二十年的调查。

修改后的显式条件共轭梯度法介绍了基于显式逆预调节器为解决复杂的非线性抛物问题。SP非线性特征的数值解初始/边界值,和数值结果证明派生新方法的适用性和有效性。未来的研究工作计划对新计算方法在并行计算机的实现环境。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

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