文摘

在本文中,我们提出一个延迟微分系统模型的劳动力(占劳动力和失业)进化。我们的模型的数学分析关注的是当地劳动力的行为在一个积极的平衡位置;的一个分支的存在周期解分叉从正平衡然后霍普夫分岔分析根据定理。最后,我们进行数值模拟来说明我们的理论结果。

1。介绍

数学建模获得了相当大的近几十年来在各个领域的重要性,特别是在宏观经济领域。应用数学的分支表示感兴趣,有足够的忠诚,真实现象的抽象数学对象(变量、参数和方程)的分析和计算。它的主要目标是开发条件的昨天和今天预测明天的(例如,我们可以用常微分方程或延迟微分方程)。

这项工作是一个机会去劳动力的发展随着时间的推移来解释波动的原因。为此,我们提出延迟微分方程模型劳动力进化(知道过去和现在,预见未来)。

研究劳动力进化(占劳动力和失业)找到所有相关的经济和数学的研究,有两个原因,第一个关于劳动力的作用在国民经济和第二个链接劳动力的波动,发生在不同的时间,不同的时间和振幅1- - - - - -5]。这些波动的自然反应人口外源性或内源性原因:技术变革,学校失败,职业技术培训失败或noncompatibility培训的劳动力市场。

本文组织如下。节2,我们制定劳动力演化的模型。节3,当地正平衡态的稳定性和霍普夫分岔的存在。数值模拟执行,在部分4说明我们的理论结果。最后,总结的结果和未来研究提出了一些建议5。

2。建模与微分方程

劳动力发展的估计,一个需要知道就业率γ失业的速度σ,死亡率μ,最大的人口增长率ρ的承载能力 ,和滞后时间需要贡献生殖过程中一个新的个人找工作,τ。因此,我们的劳动力进化模型图示在图1。在这个方案中,活动人口失业分为个人(隔间U劳动力个人(室)和占领l)。箭头指定的比例个人传递从一个舱,穿过小圆和箭头表示生殖的过程,让新人们找工作的数量。

这个方案的演化是由下列微分方程: 的变量和可以解释为占领的数量劳动力和失业人数,分别。

系统的初始条件(1) 在哪里 。

第一个方程模型占劳动力人口的演变。在这个方程,γ就业率。因此,这个词可以解释为新员工的数量在人群中找工作。这个词对应数量的员工失去了工作,和术语统计死亡人数占劳动力的隔间。第二个方程模型的进化失业人口。在这个方程中,函数表明新人们找工作的数量。它反映出求职者的最大增长当失业率很低,非常低的劳动力增长时,失业率很高。换句话说,人口增长是有限的失业人数大幅增加。

3所示。平衡、局部稳定性和霍普夫分岔的存在

3.1。平衡

在接下来的命题,我们证明这两个平衡的存在。

命题1。系统(1)有以下平衡。(我)如果然后系统(1)有一个独特的平衡 。(2)如果然后系统(1)有两个平衡:琐碎的平衡和积极的平衡 ,在哪里和 。

证明。为了找到平衡,我们考虑以下系统: 很容易验证是一个系统的解决方案(3),从而是一个微不足道的平衡系统(1)。在下面,我们证明是独特的积极的平衡系统(1)。
是一个积极的解决方案的系统(3)当且仅当 显然,如果 ,然后第二个方程(4)有一个独特的正解 。这个结论的证明。

3.2。稳定和霍普夫分岔

通过分析相关的特征方程(1),我们证明霍普夫分岔的存在平衡 。

考虑变量的变化和 。然后通过线性化系统(1周围) ,我们有

特征方程相关系统(5)以下形式: 在哪里

给我们的结果,我们回忆起Routh-Hurwitz标准和旷的结果6)的特征方程第二学位。

引理1。二次多项式, ,所有的根是在左半平面当且仅当这两个系数满足和

引理2。假设 ,和 。(1)如果没有这样的虚构特征方程的解决方案(6),那么均衡的稳定性没有任何改变 。(2)如果只有一个虚构的解决方案与正虚部的特征方程(6),一个不稳定平衡从来没有变得稳定 。如果平衡是渐近稳定的 ,那么存在一个临界值,时间延迟,这样的平衡是一致渐近稳定的 ,它变得不稳定 。(3)如果有两个虚根正虚部,和 ,这样 ,平衡的稳定性可以改变一个有限数量的时间最多τ增加,最终变得不稳定。

根据引理1 (Routh-Hurwitz标准二级多项式)和引理2,我们有以下结果。

命题2。为 ,平衡是局部渐近稳定的。

证明。为 ,特征方程(6)读 自和 ,然后,根据引理1,所有特征方程的根(6在左边半平面),因此,平衡是局部渐近稳定的。

命题3。如果μ是足够接近零,那么存在这样(我)为 ,稳态是局部渐近稳定的;(2)为 , 是不稳定的;(3)为 ,方程(6)有一对纯虚根 , ,在哪里

证明。假设 。我们计算 此外,我们有 , 然后通过连续性,存在这样对所有 ,然后 。因此,特征方程(6)只有一个虚构的解决方案 ,积极的虚部。应用引理3.3,我们得出这样的结论:声明命题是正确的。

命题4。如果 ,然后存在这样(我)为 ,稳态是局部渐近稳定的;(2)为 , 是不稳定的;(3)为 ,方程(6)有一对纯虚根 , ,在哪里

证明。如果 ,然后 因此,特征方程(6)只有一个虚构的解决方案 ,积极的虚部。应用引理3.3,我们得出这样的结论:声明命题是正确的。
接下来,我们建立当地存在的充分条件积极霍普夫分岔的平衡。

定理1。假设下列情形之一: : 和μ是接近于零; : 。然后,霍普夫分岔周期解的系统(1)发生在当 。

证明。这个定理的证明,我们验证霍普夫分岔的条件定理(见,例如[7])。从命题4,特征方程(6)有一对想象的根源在 。很容易证明这个根很简单。
横截性条件,我们有 经过计算,我们得到了 如果一个人的两个假设或验证,然后 。此外,我们有 。因此, 这个结论的证明。
从定理1,以下形式的霍普夫分岔定理可以声明(见定理2.7。,291页8])。

定理2。定理1的假设下,有一个常数这样,对于每个 ,系统(1)有一个周期解的家庭与期 ,的参数值这样 , ,和 ,在哪里和在命题4表示。

4所示。数值模拟

以下给出数值模拟系统(1),时间序列在图的顶部和底部2, , , 年,和 , , 年, ,分别。

在视图的图2在劳动力市场,我们观察一个振荡政权:占领了劳动力的数量和失业的振荡和趋同的数量平衡。这表明时间延迟,在繁殖过程中,是一个关键参数分岔周期解的一个分支存在的积极的平衡,因此存在的振荡,当延迟跨越某些关键值。

5。结论

在本文中,我们提出了一个研究模型的动力学演化的雇佣劳动力和失业人口。我们展示了一个积极的平衡的存在 ,和我们的研究分析行为这一点。特别,我们展示了一个分支的存在周期解分叉的积极的平衡 。

极限环的存在,对于某些积极的值的参数模型,支持两种群共存的现象:积极占领和失业。这种共存可以解释为求职者的事实发生因为人口增长相对较快。

由于这篇文章中,我们计划研究的方向分支周期解和共振codimension-two分叉(见,例如[9])。同时,我们计划开发这项工作通过引入经济增长的效果。由此产生的模型决定了经济增长和劳动力市场之间的互动演化条件。

数据可用性

参数值可以找到https://en.wikipedia.org/wiki/Demographics_of_Morocco。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。