文摘

我们提出一种有效的计算方法获得一个数字信号的分数阶导数。建议由一个新的解释Grunwald-Letnikov differintegral运营商,我们引入了一个有限的柯西卷积Grunwald-Letnikov的动态内核。该方法可以应用于任何信号不知道分析的形式。在实验中,我们比较了提出Grunwald-Letnikov计算分数导数方法Riemman-Louville分数阶导数方法的两个著名的功能。模拟两种方法表现出类似的结果;然而,Grunwald-Letnikov法优于其他方法的执行时间。最后,我们将展示一个应用如何帮助我们的建议找到部分两个著名的生物医学信号之间的关系。

1。介绍

信号处理一直是系统分析的有力工具,当系统的分析模型是未知的。为了分析这些类型的系统,有必要应用高层理解信号转换操作。在这组操作,分数微积分已经成为非常有用的特征提取、系统控制和建模语言和更复杂的应用,如发现不同的生物医学信号之间的关系1- - - - - -5]。

分数微积分已经成为非局部理论描述与运营商的部分性质(6]。分数微积分诞生的自然推广传统的微积分(莱布尼茨1695年欧拉1730年傅里叶1822年,1823年亚伯,等等(6- - - - - -8]);然而,直到最近,这个数学理论发挥积极作用在物理和控制理论等学科(9]。

在过去的十年中,出现了多个应用程序由于分数的本质现象。例如,在物理学中,分数微积分已经应用于热力学,材料,和波9,10]。在部分最优控制性能指标或管理系统的动力学微分方程具有分数导数(包含一个术语11]。最近,Tapia et al。1和萨利纳斯等。12)应用分数微积分发现分两种不同的生物医学信号模式之间的关系。

分数微积分是一个术语,指的是任意顺序的集成和分化6,8];换句话说,的意思kth导数和kth累次积分延长考虑分数吗参数而不是整数参数。

另一方面,信号的导数的数值计算分析信号处理中有许多用途。可以理解为一阶导数的切线的斜率信号每一点,和二阶导数的测量信号的曲率(斜率的变化率)。衍生品被用来抚平过滤噪声的信号峰值检测,跟踪分析和特征提取等(13- - - - - -16]。

本文的目的是提出一种有效的计算方法的分数微积分应用数字信号处理。因此,我们引入一个数值制定连续和离散信号的部分衍生品,而且,我们介绍的概念柯西有限的卷积和Grunwald-Letnikov (GL)动态内核。获得的分数微分和积分是计算这些玲珑GL内核和感兴趣的信号。我们的建议可以被视为一个动态滤波器应用于因果实现随机过程。

本文组织如下。节2介绍分数阶微积分的基本概念。后来,节3,我们制定我们的提议一个信号的分数阶导数的有限的卷积。节4为了数值量化,得到了仿真结果近似误差。部分5显示了两个生物之间的数学关系通过应用我们的分数导数的方法。结论,进一步在最后一节给出。

2。分数阶微积分的基本原则

获得的分数微积分可以从导数的定义的概括或积分的定义。根据类型的选择方法,由此产生的数学公式是不同的。如果扩展构建的导数,然后Grunwald-Letkikov方法。另一方面,Riemman-Louville (RL)方法实现的扩展是由积分。

众所周知,简单的导数关于x是函数 ,定义为

一个函数的导数代表一个无穷小的变化函数关于它的一个变量。高阶导数,让是kth导数,kth导数的定义是通过前面的函数的导数如下:

如果我们应用导数的递归函数 ,我们得到以下表达式: 在哪里二项式系数索引由一对整数,和 , 。如果符号对应于kth阶乘,那么获得的价值系数如下:

方程(3可以调整定义)kth积分导数的一个扩展,一个负号k使用th导数。因此,获得积分的表达式如下:

在这种情况下,一个负值的二项式系数计算如下:

在部分2。1和2。2介绍分数微分和积分的定义由Grunwald-Letnikov导数方法和Riemann-Liouville综合方法。

2.1。Grunwald-Letnikov Differintegral运营商

的Grunwald-Letnikov differintegral是一个组合分化/集成算子。的Grunwald-Letnikovα-differintegral功能f用 。GL运营商基于经典概念的整数阶导数可以表示为差分限制(3)。

二项式系数(4)可以推广到实参数通过欧拉伽马函数: 以下属性保存的地方: , 如果是一个整数,那么 。前面的方程收敛 。如果我们更换论点与真正积极的参数在(4),然后我们得到以下属性:

Grunwald-Letnikov介绍(8)(3),获得以下定义部分αth导数: 在哪里和是分化的上限和下限,分别。

如果我们考虑到参数可以取负值,那么分数综合定义。为 ,我们考虑到GL积分定义获得以下表达式: 二项式系数展开如下:

2.2。Riemann-Liouville Differintegral运营商

另一方面,黎曼和刘维尔扩展传统积分以获得其分级模型。的符号是 ,和被 。因此,RL分数积分的定义是

的分数阶导数,给出了RL 在哪里是评估点,α是分数阶,是集成的参考点。

几项研究已经显示重要属性和条件分级模型的存在(17- - - - - -19]。虽然,这些属性的分析超出了本文的范围,详细讨论Grunwald-Letnikov微分和积分运算符可以找到的专著Samko et al。20.]。

3所示。分数微积分进行信号处理

在本节中,我们介绍我们的建议的计算方法获得的α分数导数的信号。考虑是的一个子集 。一组随机或随机变量被被称为随机连续时间过程。当 ,随机离散时间过程是获得。的信号和被定义为实现实值连续或离散的随机过程,分别。在这项工作中,我们将只考虑因果信号和信号的价值等于0时 。

在连续的状态,一个随机变量可以取任何值之间的时间间隔 。分数阶导数连续信号可以表示如下: 在哪里是网格点之间的间距,直接关系到近似误差 。此外,是分化的上限,在这种情况下,被认为是。

一个连续的信号可以转换为离散信号序列样本的抽样信号的每一个秒。采样信号连续信号通过相关方程 ,在哪里被称为采样间隔或采样周期。采样频率被定义为每秒采集的样本的数量,因此 。为了从连续信号捕获的所有信息,有必要满足奈奎斯特采样定理(21]。奈奎斯特率最低采样频率满足采样定理和对应的两倍最大组件被采样频率的函数。

离散信号 , ,可以表示为一个向量: 在哪里采样点的数量。一个离散信号的分数阶导数是由

为了优化上面的定义中,可以定义αth Grunwald-Letnikov核函数如下: 常数的价值在哪里只取决于 ,如下:

让我们定义Grunwald-Letnikov (GL)动态内核 的大小n作为 的系数 , 是由(17)。

的nth柯西有限离散卷积定义如下:

可以重写Grunwald-Letnikov分数阶导数计算柯西有限离散卷积,由(20.)之间的信号和Grunwald-Letnikov (GL)动态内核 (19)如下:

在图1内核的系数的值 ,为和 ,所示。注意,当增加了内核快速收敛于0;然而,仿真结果表明,即使是小的方面明显导致分数导数的计算。

注意,对于积分情况,αth Grunwald-Letnikov核函数更改以下表达式: 和常数更改

可以重写Grunwald-Letnikov部分积分计算柯西有限离散卷积如下:

数值计算信号的分数阶导数,我们应用以下属性的γ函数(17): 以下知名属性在哪里使用 。我们已经优化的数值计算内核(17递归方程):

这个属性将优化计算时间递归地计算γ函数。此外,它将避免数值问题由于大量的计算阶乘的术语。

算法1显示的实现Grunwald-Letnikov分数导数之间的柯西有限离散卷积信号和动态内核。行1到4要求输入信号x,采样率h,数量的样本点N和用户定义的α分别为参数的导数。第5行到7计算几个常数项: ,第一项的动态内核 ,和常数 。8 - 10行,GL之间动态计算内核。在第9行,我们已经应用的性质(26)。线丛之间,我们计算分数阶导数。在第12行,我们初始化分数导数的第一个组件。13 - 15行,柯西之间有限离散卷积计算和动态内核之间的信号。第17行给一个信号的分数阶导数的结果。

它不是简单的给一个解释或者信号的分数导数的意义不知道上下文;然而,部分衍生品准确描述复杂自然现象发生在物理、工程、和生物系统22]。分数阶导数给出了解造型复杂系统的功能关系。例如,一个分数导数的应用类似于一个线性凸组合之间的信号及其一阶导数;然而,分数导数捕捉非线性行为和长期记忆由于其固有的定义23]。

4所示。模拟研究

在这项研究中,我们实现了两个微信号以计算部分衍生品与不同α值在0.1和0.9之间的步骤0.1。第一,一个阻尼谐振子是实现,其方程对应以下表达式: 与阻尼系数和 ,与在赫兹频率。实验中,我们确定赫兹和阻尼系数, 。如果我们应用Hermmann规则(6)(27),我们可以得到以下th这个信号的分数阶导数方程:

第二个信号,被我们“正弦余弦函数”是模仿以下方程: 与 。为了使方程连续 ,我们添加了分母不变值1.1所示(29日)。

我们实现了信号的分数阶导数的柯西有限离散卷积GL的动态内核在Python 3.6,使用Numpy和Scipy库以过程连续和离散信号。RL的方法中,我们使用SymPy的实现(24]。重要的是提到这个工具箱仅能计算出分数阶导数连续信号。

第一大部分,我们模拟不同的分数阶导数的一阶导数为谐振子和正弦余弦函数,呈现在图2,信号采样在100赫兹。我们可以看到,这两种方法都具有相同的行为不同α在这两个信号。

第二次模拟计算根均方误差(RMSE)为信号,使用真实SymPy RL的方法,在样本频率的50和100赫兹。这种比较是为了研究采样率的影响在计算分数导数与两种方法离散信号。图3显示了增加RMSE时更高的分数衍生品。奈奎斯特频率的振荡器是10赫兹,在这个采样率,RMSE是最高几乎所有的衍生品。

表1显示了图获得的值3。为 ,这两种方法之间的RMSE低,开始成倍地增加更高α值,在所有信号的采样率。

此外,在图4显示,两种方法之间的均方根误差,同时增加振荡器信号的采样率,α值为0.3、0.5和0.7。这个RMSE值随样本率更高,更稳定的样本率高于1 kHz。

最后,我们扩展分析通过比较GL和RL方法在不同部分衍生品和采样率对信号(图5)。在图5(一个),我们比较了阻尼振荡信号,这两种方法在10日50和100赫兹和部分衍生品为0.3,0.5和0.7。10赫兹(左列),我们的方法由于性能问题在奈奎斯特频率信号被采样。SymPy RL方法没有这个限制,因为它需要原始方程和评价时间(t),忽略所有抽样。

在表1,意味着RMSE之间α0.1和0.9所示的值。当采样率增加,GL实现振荡器有均值RSME在这个实验中衍生品在50 Hz的4.753和4.272在100 Hz RL相比的方法。对于正弦余弦信号,我们有相似的性能,如在图所示5 (b)。

表2显示了GL和RL算法的执行时间。提出的计算方法是高度优化的执行时间比RL方法。

5。分数导数应用于生物

研究文献的量化,有一个关系photoplethismography (PPG)和动脉血压(ABP)信号。在[1),我们展示了这两个信号之间的数学关系。为此,我们提出应用分数阶导数的计算方法,以找到一个感兴趣的这些生物信号之间的关系。

我们假设α分数导数的PPG信号类似于动脉血压信号如下:

适合的部分α导数PPG ABP信号,我们需要优化α参数由最小平方误差最小化。图6显示了一个衍生品从PPG信号序列到的最优值αABP的信号是相似的。

部分衍生品能够捕获的特征和属性两种生物之间的关系。分数的方法在医学领域开辟了新的可能性,在它们之间的信号可能有共生关系。换句话说,一个信号可能包含信息从另一个,这让我们觉得隐藏信息的提取方法。

在本节中使用的信号提取的“非侵入性和最小程度的训练集(nImI)血压估计”的网站http://nimi.uv.cl(25]。

6。结论

在本文中,我们应用了Grunwald-Letkikov (GL) differintegral运营商作为信号处理的计算方法。实验表明,柯西有限卷积GL的动态内核可以应用于任何信号不知道分析的形式。此外,当信号的分析形式是已知的,我们的经验表明,Grunwald-Letkikov和Riemann-Liouville (RL)方法获得类似的结果,但执行时间的GL法优于RL法与几个数量级。重要的是要注意,GL计算方法的影响当信号采样率接近奈奎斯特率约束;与此同时,RL方法仍然适用。然而,RL方法需要信号的分析方程,几乎从来没有在真实的应用程序中可用。

最后,提出计算方法的GL导数信号可以申请任何随机信号的特征提取和处理。

分数的计算可以用于从信号中提取信息,是相互关联的。

数据可用性

非侵入性的训练集和最小程度的(nImI)血压估计可以找到http://nimi.uv.cl;有关更多信息,联系相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

作者承认的支持CONICYT + PAI / CONCURSO NACIONAL INSERCION EN LA学术界CONVOCATORIA对开2014 + (79140057),FONDEF ID16I10322,并从CONICYT REDI170367。