新使用学习获得基于迭代学习控制算法σ反演为Nonsquare多输入多输出系统

文摘

模型反演迭代学习控制(ILC)一类nonsquare线性时变/不变多输入多输出(MIMO)系统被认为是。一个新的ILC算法基础上发展起来的-对反转nonsquare学习增益矩阵解决矩阵求逆问题出现在nonsquare MIMO系统的直接反演模型。此外,建立了一个充分必要单调收敛条件。严格的分析,提出ILC方案保证跟踪误差的收敛性。证明的有效性和性能说明该方法对线性定常(LTI)和时变nonsquare系统,模拟两个说明性的例子。

1。介绍

迭代学习控制是一种智能控制策略来处理重复的过程。ILC的目的是控制系统执行相同的任务在一个有限的时间,如工业机器人机械手(1]。ILC背后的基本原理是,从先前生成的数据试验是用来适应控制输入电流试验。每个试验的控制输入调整通过跟踪误差从先前获得审判。继续迭代,最终控制系统学习任务和遵循与最小化所需的轨迹跟踪错误。这个概念已经发展方面的基本理论和实验完成的应用程序(2- - - - - -6]。因此,ILC的研究已经相当应对multijoint手部和臂部的机器人等机械系统(7),车站停止控制火车的8,晶片阶段运动系统(9]。ILC的方案的文献关注比例式学习法(10)和最优迭代学习控制(OILC) [11- - - - - -14]在[13)学习方法被应用到快速热处理。不过多数提出的算法是基于直接的概念模型反演的学习增益是通过马尔可夫矩阵逆代表系统的输入-输出地图(15]。然而,这种ILC不能开发通用nonsquare(矩形)的MIMO系统,系统的数据输入和输出是不平等的。事实上,一个矩阵求逆问题。

许多工业过程需要nonsquare MIMO映射,特别是化工厂等原油蒸馏过程(16),混合槽过程(17),三容系统(18),蒸馏塔(19),和化学物质平面化的过程(20.]。因此,需要控制方案治疗这种类型的系统的主要兴趣。模型的逆设计及其相关的应用程序在控制设计被广泛研究21- - - - - -24]。

在文献中,有控制的作品把nonsquare MIMO系统如比例积分器Derivator控制器(PID)中引用(25)已应用于电压模型的质子交换膜燃料电池(PEMFC);模型预测控制(MPC)是研究[26),已应用于壳重油分馏塔(SHOF);最小方差控制(MVC)这是一个逆模型控制研究[27)和其他控制策略的例子应用于nonsquare系统(28]。在上面引用的作品(25,26),控制方案是实现不需要矩阵求逆。然而,在(27)的逆模型控制的合成过程需要根据左和右逆矩阵求逆发达的(29日- - - - - -31日]。

然而,所有上述方法不能处理重复的系统,需要一个学习策略基于反演模型实现重复nonsquare MIMO系统的控制。因此,开发一个ILC nonsquare系统过程仍然是一个悬而未决的问题。

基于nonsquare多项式矩阵反演[32),我们建议ILC方案的设计和分析基于模型反演ilc线性定常和varying-time nonsquare MIMO系统。这项工作的主要贡献是证明该方案的单调收敛trial-to-trial跟踪误差收敛到零,即使系统初始复位状态。通过仿真结果,证明了该方法的有效性。

本文的其余部分组织如下:在部分2问题提出了构想。提出了逆学习获得部分的开发3。充分必要的单调收敛ilc成立于部分4。此外,提出了ilc法扩展到时变系统部分5。仿真结果说明部分6为了证明nonsquare MIMO系统的方案的有效性。最后,给出结论和对未来工作的展望7。

2。问题公式化

的整数阶线性时不变离散时间系统是由(8): 在哪里表示迭代数字和试验的总数。代表的数量和离散抽样步骤是离散时间的总数在每个试验步骤。是迭代的系统状态向量,是迭代向量生成的系统输入将递归迭代学习算法,是迭代系统的输出是一个固定的初始状态。此外, , ,和是常数矩阵与适当的尺寸,然后呢 。因此,该状态空间系统可以描述如下: 在哪里是一个马尔可夫矩阵的秩和条款的马尔可夫参数引用的植物(33),

控制的目标是找到一个控制序列能够减少跟踪误差对整个基于过去的轨迹跟踪经验之前 ,系统跟踪误差限制 在哪里是无限的常态。

ILC的主要配方设计问题是实现一个更新机制的控制输入轨迹周期基于信息从之前的周期,这输出轨迹渐近收敛的参考轨迹(34- - - - - -36]。这个想法是框图的形式在图中描述1,显示下一个试验的控制输入计算从之前的试验控制输入和瞬态输出错误 。

在本文中,我们专注于nonsquare系统时输入变量的数量从输出变量的数量是不同的吗 。我们的目标是使所需的系统输出跟踪给定的参考轨迹。

一阶ILC算法更新输入轨迹以下方程: 我们指定的学习获得通过置位点之间的错误引用和输出为

提出算法大多数是基于直接反演模型, ,假设是可逆的。代表过程的输入输出映射(37,38]。然而,在nonsquare系统情况下,学习获得基于模型反演不能计算。事实上,适应法律(5)不能满足一般nonsquare MIMO过程。为了克服这一问题,提出了一种新的方法来设计一个可实现的控制器基于直接模型反演I-ILC过程被称为线性nonsquare系统ilc。

定理1(ILC)的稳定。让一个线性时不变离散时间系统被描述(1)渐近稳定,当且仅当多项式矩阵 是正确的可逆的(39,40]。

ILC法(5)可以立即写成 在哪里是正确的马尔可夫矩阵的逆 。

3所示。Nonsquare多项式矩阵的逆ilc的设计

几种方法的左/右逆nonsquare多项式矩阵,如古典minimum-norm左/右逆,调用T逆,- - - - - -- - - - - -逆的方法,研究了在27,32]。在这项工作中,我们关注的焦点逆矩阵如下:

推论1。让多项式矩阵是一个完全正常的(或),让完全正常的排名(或)是任意的,包括一个任意的顺序 。该产品必须完全正常的排名 。然后一个可以定义为逆 对可逆系统(1),的倒数表示无限的权利 。

定义1。让和是一个满秩在哪里是可逆的,选择这样 。然后,正确的逆是 使用先前定义1,我们可以采用逆的ilc (7)获得 使用(2)和(3),跟踪误差(6)可以写成 加减到(11),我们得到

4所示。收敛性分析,提出学习收获

控制设计问题是确定一个新的ILC法律基于模型反演,trial-to-trial错误发生在收敛性 ;也就是说,(41]。

定理2。假设 ilc应用于线性定常系统(1)。假设 ,尽管 。然后,命题 当且仅当

证明(充足)。基于初始状态,初始状态 ,然后(12)成为

让 。通过假设(13),它是推断 。然后,序列严格递减和下限为零。这意味着的存在。因此,本系列是收敛的。

然后,我们证明通过反证法。假设 。因此,对于 ,存在一个有限的正整数因此, , 。然而,是收敛的,所以对于所有 ,部分序列的极限的存在。这意味着,对于一个给定的常数 ,存在一个整数因此, ,我们有 特别是, 然后,对于 ,我们获得 因此,

因此,我们有

另一方面,通过递归,(16)减少

尽管如此,考虑到假设(15),我们得到

这是矛盾的不平等(19)。这意味着矛盾命题(13)和(14)是正确的。这证明了充足的假设。

证明(必要性)。我们假设不平等(15)并不总是真实的。所以,存在至少一个数字这样

平等(16)给 因此,

最后,我们获得

这是明显的选择和这样 ,这与假设(14)。这证明了假设的必要性。

单调收敛的充分必要的假设的ILC算法表明,ILC trial-to-trial误差收敛要求所有的初始状态和跟踪错误复位。

5。时变系统的扩展

在本部分中,提出了ilc方案扩展到线性时变系统如下: 在哪里 , ,和与适当的维度和时变矩阵 。因此,该状态空间系统可以描述如下: 在哪里 这样和 。因此,输出可以写成

使用逆(8),ilc控制时变MIMO系统类似于控制律(10)。

定理3。离散线性varying-time系统(28),ilc选择,任意常数 , 因此,跟踪错误将收敛到零在哪里当且仅当之前的条件(13)和(14)证明。

证明。定理的证明3可以完成相同的证明定理2,这样的跟踪误差

证据1后,我们可以得出这样的结论:所有的初始状态吗重置。

6。说明性的例子

为了显示的有效性提出了ILC基于直接模型反演处理nonsquare系统,被认为是两个例子。

示例1:定常系统。考虑一个三输出两个输入离散时间线性时不变系统(LTI): 在哪里 。

选为参考轨迹 在哪里 ;因此选择和初始输入向量 。

通过应用该ilc法(10),瞬态输出的演进和概要文件与不同的迭代数 ,和给出了数据2和3,分别。终端输入如图的演进4。很明显,该方案是用于线性nonsquare MIMO系统跟踪时变参考。的ilc方法收敛快,性能保持甚至参考修改。此外,绝对的初始和终端跟踪误差的性能配置文件和与迭代数据见图5和6。它表明,跟踪和将在15和20的迭代收敛。此外,从数据7和8这说明跟踪误差的第一和第二个组件配置文件在哪里 , , ,和迭代。很明显,误差在迭代域的快速收敛算法是显而易见的。

示例2:时变系统。为了证明我们的算法的有效性,让离散线性时变系统如下。 在哪里 。 ;因此选择和初始输入向量 。 (虚线)和第一个组件的输出(实线)是描绘在图9。(虚线)和第一个组件的输出(实线)是描绘在图10。绝对的性能跟踪错误和如图11,跟踪错误将在20和30迭代收敛。此外,数据12和13显示的跟踪误差的概要文件 , ,和迭代。很明显,跟踪误差收敛到零在70多个迭代,在那里 。

7所示。结论

在本文中,一个新的模型反演迭代学习控制ilc提出应对nonsquare MIMO系统的数据输入和输出是不平等的。该方案是基于右逆学习获得为了解决一个主要问题出现在ILC基于反演模型(I-ILC)。学习算法的收敛条件派生。结果表明,在一些特定条件下,跟踪误差ilc法收敛于零稳定通过一个充分必要条件。然后,建立了收敛性。通过仿真结果,我们证明提供的表演方法的跟踪误差收敛一些试验后实现。因此,鲁棒性ilc计划扰动和参数不确定性,尤其是知识较少的植物模型,仍然是一个挑战性的主题,将在以后的工作中加以解决。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

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