谱元法的实现在CAE系统对混合曲线网格弹性问题的解决方案

文摘

现代高性能计算系统允许我们探索和实施新技术和数学建模算法在工业工程分析的软件系统。很长一段时间有限元法(FEM)被认为是数学模拟弹性理论问题的基本方法;它提供了问题的解决方案在一个工程错误。然而,现代高科技设备使我们能够实现设计方案具有足够高的精度,这就需要更复杂的方法在弹性问题的数学模拟工业工程分析的软件包。这样的方法之一是谱元法(SEM)。SEM的CAE系统的实现弹性问题的解决方案。提出变异SEM实现的一个重要特性是支持混合曲线网格。SEM对有限元法的主要优点进行了讨论。形状函数编写不同类型的光谱元素。给出了一些计算结果对模型解析解的问题。 The results show the better accuracy of SEM in comparison with FEM for the same meshes.

1。介绍

有限元法(FEM) (1,2)被认为是解决问题的主要方法考虑有限变形弹性理论。渴望找到结构的应力应变状态与高精度仍然是一个热门话题,它迫使我们寻求新的和有效的方法来解决工程问题。这样的方法之一是谱元法(SEM) (3- - - - - -5]。SEM是首先申请液体流动的建模(6]。这些问题需要一个高精度和高速度的计算。后,SEM是成功采用地震问题[3,7,8]。一个特殊的求积公式是集成在空间构造。这求积公式允许一个开发一个完全明确的方案集成随着时间的推移,这是一个重要的SEM的优势。

在SEM对有限元法的主要优点是高精度的近似解在一个大大较少的网格元素。SEM的数值解的误差下降指数与元素的顺序(9]。使用一个模型时,用户不需要重建和完善网验证网融合(9)获得的解决方案,因为它已经使用有限元法时,由于使用SEM网格可以保持最初的只有改变元素的顺序。有效的计算系统并联的可能性与共享和分布式内存使用OpenMP和MPI技术使各软件系统(SEM对工业应用的吸引力10]。特别是,光谱元素有限元方案,有效地解决了椭圆问题非结构化六面体网格是开发的11]。这是证明超过5000万自由度可以解决问题在几秒钟一个现成的GPU。

的工业应用SEM是阻碍了网格生成的问题12,13]。通常,多体模型几何是很难建立一个正形有限元网格组成的六面体的元素只扫描电镜(3最初开发的。一般来说,三维有限元网格包含心底的主导性六面体的和四面体元素。棱镜和锥体元素被用于连接三角形和四边形的表面元素。一个二维网格可能包含矩形和三角形元素。这种有限元网格被称为混合(混合)网格14];采用SEM对他们在目前的工作。

本文讨论实现的变异谱元法对混合曲线网格的三维弹性理论问题及其工业应用CAE Fidesys [15]。形状函数编写不同类型的光谱元素。给出了一些计算结果对模型解析解的问题。

2。材料和方法

我们的域 分为元素 。类二维四边形和三角形作为元素的情况。六面体的类,四面体、金字塔和棱镜作为三维元素的情况。每个元素被定义为参考点。参考点为一个特定的元素的数量显示在它的名字。

每个参考点是由索引不同的从1到 ,在哪里是一个数字的有限元的参考点。非简并映射 (引用)元素的基地在为每个元素。全球坐标系统的坐标点 在参考坐标系 相关的如下: 在哪里 是全球的向量坐标, ,的全球坐标参考点元素的 , 参考坐标,的th有限元形状函数, 。

一般来说,雅可比矩阵(16)的映射需要一个任意函数的积分的计算在元素通过参考坐标 : 在哪里 和 雅可比矩阵在参考点吗 。雅可比矩阵可以计算标准方法: 在三维情况下: 在二维情况下,我们假设有限元素躺在一架飞机和参考点躺在一架飞机 :

2.1。四:四边形的类

四边形的类包括以下类型的有限元素,被许多参考点:QUAD4节点 ;eight-node, QUAD8 ;nine-node, QUAD9 。引用的元素类的四边形 节点的四边形光谱元素是Gauss-Lobatto-Legendre(房地产)节点。让是一个光谱元素的顺序;然后在元素的节点数量 在一维情况下计算GLL-nodes根源勒让德多项式的导数的订单 ,可以被定义为哪一个 。在二维情况下的坐标GLL-nodes被定义为一维坐标的直接产物。

元素的形状函数构建基于一维拉格朗日多项式的直接产品: 是订单的形状函数 。一维拉格朗日多项式订单的定义如下(3]: 每一个多项式等于1的节点等于0,其余节点的元素 ,在那里克罗内克符号。

问题的解的近似 在四边形光谱元素将如下 : 为了集成任意函数在元素 ,使用Gauss-Lobatto-Legendre(房地产)求积公式: 在哪里GLL-weights和GLL-nodes的坐标。

GLL-weights计算如下: GLL-nodes的坐标和GLL-weights(索引 不同来)可以写成: SEM的最重要的一个特征是,拉格朗日多项式的计算用于近似的解决方案是基于同一GLL-nodes是必要的对该地区来计算积分使用Gauss-Lobatto-Legendre求积公式。

2.2。三:三角形的类

三角形的类包含以下类型的有限元素命名为参考点的数量:3个节点,TRI3;six-node TRI6。引用的元素类的三角形 一个三角形的光谱元素的节点的点 ,从解决方案获得的静电问题被Hesthaven和腾17和泰勒et al。18]。让是一个光谱元素的顺序;然后在元素的节点数量 。

形状函数的元素构建基于正交基(是一个光谱元素的顺序): 在哪里订单的雅可比多项式吗的时间间隔 ,正交加权函数 。范德蒙矩阵元素的计算节点元素的 , 。然后形状函数如下: 问题的解的近似 在一个三角形的光谱元素将如下: 将一个任意的函数在元素 ,描述的对称正交公式,Zhang et al。19,使用: 在哪里是积极的重量、点的坐标,是点的数量相对应的求积公式的光谱元素顺序 。

2.3。十六进制:六面体的类

六面体的类包含以下类型的有限元素命名为参考点的数量:eight-node, HEX8;twenty-node HEX20;twenty-seven-node HEX27。引用的元素类的六面体 节点的四边形是GLL-nodes光谱元素。让是一个光谱元素的顺序;然后在元素的节点数量 。

元素的形状函数构建基于一维拉格朗日多项式的直接产品: ,订单的形状函数 。

问题的解的近似 六面体的光谱元素将如下 : 将一个任意的函数在元素 ,使用Gauss-Lobatto-Legendre(房地产)求积公式: 在哪里GLL-weights和GLL-nodes的坐标。

坐标的GLL-nodes和GLL-weights(索引 不同来)

2.4。四:四面体的类

四面体的类包含以下类型的有限元素命名为参考点的数量:4节点,TETRA4;ten-node TETRA10。引用的元素类的四面体 节点的四面体光谱元素的点 ,从解决方案获得的静电问题被Hesthaven和腾17]。让是一个光谱元素的顺序;然后在元素的节点数量 。

元素的形状函数构建基于下面的正交基(是一个光谱元素的顺序): 在哪里订单的雅可比多项式吗的时间间隔 ,正交加权函数 。范德蒙矩阵元素的计算节点元素的 , 。然后形状函数如下: 问题的解的近似 在一个四面体光谱元素将如下: 为了集成任意函数在元素 ,描述的对称正交公式,Zhang et al。19,使用: 在哪里是积极的重量、点的坐标,是点的数量相对应的求积公式的光谱元素顺序 。

2.5。金字塔:金字塔的类

金字塔的类包含以下类型的有限元素命名为参考点的数量:five-node, PYRAMID5;thirteen-node PYRAMID13。引用的元素类的金字塔 锥体光谱的节点元素的点 ,匹配的GLL-nodes广场为三角形金字塔基地和节点谱元素在表面的金字塔。内部点位于广场平行平面缩放GLL-nodes金字塔的基础。让是一个光谱元素的顺序;然后在元素的节点数量 元素的形状函数构建基于下面的正交基(是一个光谱元素的顺序): 在哪里订单的雅可比多项式吗的时间间隔 ,正交加权函数 。范德蒙矩阵元素的计算节点元素的 。然后形状函数如下: 问题的解的近似 在锥体光谱元素将如下: 将一个任意的函数在元素 ,Felippa[描述的对称锥形求积公式,20.,使用: 在哪里是积极的重量、点的坐标,是点的数量相对应的求积公式的光谱元素顺序 。

2.6。楔子:棱镜的类

棱镜的类包含以下类型的有限元素命名为参考点的数量:six-node: WEDGE6;fifteen-node WEDGE15。引用的元素类的棱镜

棱镜光谱的节点元素的点带来的直接产品节点三角形光谱元素和一维GLL-points。让是一个光谱元素的顺序;然后在元素的节点数量 。

元素的形状函数构建基于三角形的形状函数的乘积光谱元素和拉格朗日多项式: 问题的解的近似 在一个三角形的光谱元素将如下 : 将一个任意的函数在元素 ,工会的求积公式,求积公式三角光谱元素和Gauss-Lobatto-Legendre求积公式: 在哪里权重,点的坐标,是点的数量相对应的求积公式的光谱元素顺序 。

2.7。功能的实现

应用程序的主要步骤谱元法的弹性理论的问题类似于使用有限元方法解决问题的步骤,如离散化积分形式的平衡方程;选择的正交积分的计算;建设当地的刚度矩阵、质量和阻尼为每个元素;组装全球的刚度矩阵、质量和阻尼。目前,大多数为几何模型网格生成器建立有限元网格的第一和第二顺序,这迫使我们重建网格模型使用谱元法计算。最持久的操作这个步骤是构建网格图连接,所以可以使用连接图的初始有限元网格模型,以加快算法。提高算法的速度和内存消耗的增加有关。特别是,高阶元素需要存储的集成,交权值和计算值的衍生品功能在这些点。算法的一个重要特性是能够使用谱元法在任何混合有限元网格的第一和第二顺序。事实上,裸类参考网格元素目前梁和壳元素。

3所示。结果

这种方法的实现谱元法对混合曲线网格在CAE Fidesys工业实现弹性问题。让我们给光谱元素的应力分析问题的解决方案结构元素和波传播的光谱元素分析的结果13]在弹性介质与有限元相比和分析解决方案。

数值实验清楚地表明,模型中的网格收敛更快达到当使用谱元法与有限元相比。

3.1。计算无限弹性介质中的波传播的作用下一个点的干扰来源

无限弹性介质中的波传播使用谱元法进行了分析,并通过分析获得的结果与解决方案的计算位移矢量的组件,在身体的不动点(根据时间1]。在图1,可以看到位移矢量的时间依赖的组件 , 和相对误差 , 这些组件通过扫描电镜获得的计算结果与解析解。结果给出了介质内的接收器之一;表示时间,是近似多项式的顺序。图表中可以看到,通过SEM的最大误差计算的网格大约10成千上万的元素不超过2.0%八阶的近似多项式和0.4%在第十阶的多项式近似。

3.2。应力-应变状态分析桥跨在压力的作用下基础

执行计算的有限元素的第一个和第二个订单,以及订单的光谱元素从1到4。错误桥跨的最大位移向量范数的估计。的参考价值评估的准确性得到解决方案,一个值对应于模型网格收敛。结果提供了以下情况:1,1万个元素(角色元素大小是0.8);例2,2.8万个元素(角色元素大小是0.4);例3,10.4万个元素(角色元素大小是0.2);例4,84.9万个元素(角色元素大小是0.1)。号码是解雇作为横坐标。

图中可以看到2图,谱元法在粗网格上第四订单显示订单的准确性为1%,而84.9万年的有限元方法在网格元素仍然给出了误差超过10%的有限元素一阶,约2%的二阶的有限元素。

4所示。讨论

本文讨论了光谱元素的变异方法实现对混合曲线网格的问题在CAE Fidesys弹性理论及其工业应用。有限元法的比较,使我们得出结论的高精度方法和算法的正确性和程序开发。在未来,它是计划扩展的实现方法,壳牌和梁元素的情况下在静态和动态弹性问题。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

本文的研究是在FIDESYS LLC和财务支持的俄罗斯教育部和科学(项目号14.579.21.0112、项目ID RFMEFI57915X0112)。

引用

1. t·j·r·休斯有限元Method-Linear静态和动态有限元分析美国新泽西,Prentice Hall,恩格尔伍德悬崖,1987。
2. o . c . Zienkiewicz和r·l·泰勒,有限元方法。卷1:基础Butterworth-Heinemann,牛津大学,英国,2000年。
3. d . Komatitsch和j。Vilotte”谱元法:一个有效的工具来模拟地震响应的2 d和3 d的地质结构,”美国地震学会公报,卷88,不。2、368 - 392年,1998页。视图:谷歌学术搜索
4. b·舒伯特“spectral-element地震波传播的方法:理论,实现和有限差分方法相比,“技术代表、慕尼黑大学,慕尼黑,德国,2003。视图:谷歌学术搜索
5. m . Stupazzini光谱元素的方法对3 d动态土壤结构相互作用问题(Dottorato Ingeneria Seismica]、米兰、意大利米兰理工大学,2004。
6. A . t .插座”,为流体动力学谱元法:层流通道扩张,”计算物理学杂志,54卷,不。3、468 - 488年,1984页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
7. d . Komatitsch、c·巴恩斯和j .跺脚,“模拟各向异性波传播基于谱元法,“地球物理学,卷65,不。4、1251 - 1260年,2000页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
8. d . Komatitsch j . Ritsema j .跺脚,“地球物理学:spectral-element方法,贝奥武夫计算,和全球地震学,”科学,卷298,不。5599年,第1742 - 1737页,2002年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
9. v . s . Karpenko, a . v . Vershinin诉a·莱文和Zingerman k . M。,“Some results of mesh convergence estimation for the spectral element method of different orders in Fidesys industrial package,”IOP会议系列:材料科学与工程文章ID 012049卷,158年,2016年。视图:谷歌学术搜索
10. Kannan k、m . Khoshlessan m·赫尔曼,y皮特,”流和旋涡动力学的详细的数值研究交错pin-fin阵列通道内,”2016年世博会美国ASME涡轮:涡轮机技术会议和博览会2016年6月,123972年。视图:谷歌学术搜索
11. 肯尼迪。r . Gandham Remacle, t·沃伯顿”GPU加速谱all-hex网格有限元素,”计算物理学杂志卷,324年,第257 - 246页,2016年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
12. m . Charara a . Vershinin e·德格d . Sabitov g .之中,“3 d谱单元法模拟各向异性粘弹介质中声波测井,”赛格技术程序扩展抽象,30卷,不。1,第437 - 432页,2011。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
13. m . Charara a . Vershinin d Sabitov, g .之中“SEM波传播与四面体,六面体网格,在复杂的媒体”第73届欧洲协会学报》作者和工程师会展41 - 45页,维也纳,奥地利,2011年。视图:谷歌学术搜索
14. m . Bergot g·科恩,m . Durufle”高阶有限元素混合网格使用新的节点锥体元素,”暹罗科学计算杂志》上,42卷,不。3、345 - 381年,2010页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
15. Fidesys有限责任公司官方网站,http://cae-fidesys.com/。
16. j . n .布罗斯特k . a . Semendjajew g . Musiol和h . MuchkigTaschenbuch der MathematikAuflage 4 Harri多伊奇,法兰克福,德国,1999年。
17. j·s·Hesthaven和c·h·邓“稳定的四面体元素光谱方法,”暹罗期刊在科学计算,21卷,不。6,2352 - 2380年,2000页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
18. m·a·泰勒、b·a·温盖特和r·e·文森特”一个算法计算Fekete点的三角形,”暹罗在数值分析》杂志上,38卷,不。5,1707 - 1720年,2000页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
19. 崔l . Zhang t、h·刘”一组对称正交规则三角形和四面体”计算数学学报,27卷,不。1,第96 - 89页,2009。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
20. c . A . Felippa”的有限元积分公式符号工作,“工程计算,21卷,不。8,867 - 890年,2004页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索

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