文摘
切向应力场的评价线性弹性正交的把梁下扭力是基于纽曼和狄利克雷边界值问题的解为横截面翘曲和普朗特应力函数,分别。熟练的解决方法已经被Ecsedi最近提议一个类中定义的非均匀梁剪切模的普朗特相应均匀梁的应力函数。另一种推理是跟随本文的正交各向异性功能梯度梁剪切模张量定义的应力函数和弹性不均匀梁的引用。一个创新的结果不变性扭转中心也做出了贡献。功能梯度椭圆横截面正交的梁的例子是发达,检测从而计算力学的新基准。
1。介绍
分析复合媒体well-investigated在结构力学研究领域。理论值得注意的结果还在非线性范围最近导致了一些工程应用中,如梁和板理论(1- - - - - -3,断裂力学4- - - - - -8),超弹性的媒体(9- - - - - -11),具体的系统(12- - - - - -16),非局部模型(17- - - - - -19],均化作用[20.- - - - - -22,热弹性力学23- - - - - -25),纳米结构(26- - - - - -30.),和极限分析31日- - - - - -33]。在经典弹性理论的背景下,提出了一个创新的方法分析光束通过把(34,35),假设正常的纵向纤维之间的相互作用消失(36]。关于这个模型的基本结果收集在经典治疗(37- - - - - -44一个坐标方法)。Coordinate-free调查可以发现在45- - - - - -48]。然而,解析解的梁受扭只能获得特殊的横断面几何图形和剪切模分布。功能梯度结构的精确解可以在找到49]。然而,有限元策略常常采用为了得到有效的数值结果如果不能提供准确的解决方案;见,例如,(50- - - - - -53]。另外,实验方法是使用;见,例如,(54]。最近Ecsedi显示,功能梯度下的横截面扭转,与剪切模量定义为积极的普朗特应力函数的函数对应的齐次截面,扭曲的不变量和应力函数表示的一个均匀截面与引用关联(55,56]。Ecsedi的治疗是基于基尔霍夫提出的积分变换的非线性热传导[57]。本文中说明了一种内在的推理,通过执行直接讨论诺伊曼和狄利克雷边界值问题的横向变形和应力函数正交的叠合梁在扭转。Cicala-Hodges中心也是一个不变性条件评估(见部分3)。最后,新的分析解决方案的功能梯度构造椭圆横截面部分4。把线性弹性正交各向异性梁理论的基本结果收集在接下来的部分。
2。复合把梁扭转
让是简单的或多连通的正交的截面和线性弹性把复合梁扭转。一个点的位置,对中心年轻的模梁的纵向纤维,用。张是旋转的逆时针方向的横向平面。因此和。切向应力可以表示的翘曲函数(34]或的应力函数58]由coordinate-free公式(59] 在标量是转折,是弹性切向应变,是正定对称蹩脚的张量场,被翻译的二维线性空间扭曲的字段是以下Neumann-like问题的解决方案(60]: 在哪里是单位外法线域。普朗特应力函数是狄利克雷问题的解 在哪里是一个多连通截面,外边界和的边界th洞,被和。的过程的评价积分常数见(59]。注意,翘曲函数前面介绍了默认假设截面经历一个旋转杆呢。表示由翘曲函数对应于一个横断面旋转对一个点,我们得到的公式 与位置矢量的和。切向应力场是独立的旋转中心40]。旋转中心和一个特定的值不变介绍了在61年)通过要求零的和第一弹性标量场的时刻是零 旋转中心的位置是由公式 与弯曲刚度和张量积。旋转中心的一个等价定义提出了Trefftz [62年在精力充沛的条件。在[59结果表明,旋转中心伴随着剪切中心得票率最高的光束(63年),评价复合和正交的把梁理论。从今以后,将被命名为Cicala-Hodges中心。下一节提供了一个家庭的复合梁,由一个蹩脚的张量场,变形场和Cicala-Hodges中心是不变的。
3所示。不变性
让我们考虑一个张量序列字段由一个蹩脚的张量场积极的标量函数和一个序列;也就是说,根据规则: 与普朗特应力函数与扭转切向应力场相关涉及的张量场。蹩脚的字段的顺序引发一系列Neumann-like PDE的问题扭曲的字段,定义的 与。以下结果适用。
命题1。Neumann-like PDE的问题提供在一个积分常数,相同的解决方案。
证明。让的解决方案,在一个常数,这个问题。自、问题的形式: 使用这个公式 和设置与,我们得到,这样的问题可以重写为 回忆的关系,我们推断问题崩溃的一个。结果如下。
命题2。普朗特压力之间的关系函数的张量字段相对应的和公式所表达的吗,不定积分的这样在横断面外部边界等于零吗。
证明。诉诸于命题1我们得到了。然后等价持有 那里这给了,不定积分的这样在横断面外部边界等于零吗。
命题3。让是欧拉模标量场的正交的和复合梁的字段所描述的序列。对于这些光束,Cicala-Hodges中心的位置是不变的。
证明。接下来的结果通过公式提供扭转中心位置和命题1。
4所示。例子
让我们提供一些解析解下功能梯度正交的梁的扭转椭圆横截面。惯性主轴的起源中心欧拉的模场将采用续集。位置矢量和旋转被编写为 那里。椭圆复合梁的扭转翘曲的张量场, 由公式(提供40],和椭圆半径的长度。剪切模量的情节和扭曲提供了数据1和2。
笛卡儿切向应变场的组件和应力函数给出的公式吗 图中所描绘的一样3和4。如部分所示3,蹩脚的张量场生成一个序列的叠合梁在扭转翘曲函数和Cicala-Hodges中心是不变的,和相关的应力函数给出的命题2。解析解的复合椭圆光束下扭转进行了讨论。前者的特点是瘸腿的剪切模由张量场描述的,。给出了相应的应力函数的公式评估在命题2。后者的特点是瘸腿的剪切模由张量场描述的,在那里指数函数表示。给出了相应的应力函数的公式评估在命题2。应力函数和切向应力在数据描述5,6,7,8。
值得注意的是,如果欧拉模标量场被认为是相同的在上面讨论的例子,然后翘曲函数和Cicala-Hodges中心不变,按照命题吗1和3。
5。结论
本文的结果可以总结如下。(我)纽曼和狄利克雷边界值问题横截面翘曲和普朗特应力函数的线性弹性的,正交的叠合梁在扭力检查。(2)不变性条件Cicala-Hodges的翘曲和剪切中心和多连通横截面。(3)普朗特之间的关系与不变的翘曲应力函数正交的复合梁被评估。(iv)例子已经发展为正交的复合与椭圆截面梁,为数值分析提供因此也新的基准。
相互竞争的利益
作者宣称没有利益冲突。