弗洛凯理论波导不连续地支持

文摘

我们将弗洛凯周期系数二阶常微分方程的理论应用到一个弹性波导。波导是建模为一个统一的弹性字符串定期由不连续文克尔弹性地基,因此,找到希尔方程。最根本的解决方案,确定稳定区域和色散曲线,然后绘制。色散曲线的渐近逼近。它进一步表明,带隙结构对应的端点阶段性和semiperiodic希尔方程的解决方案。

1。介绍

周期性结构经常出现在一些机械系统,从字符串和梁(1,2[]声子晶体研究3- - - - - -5)等等。这样的系统表现出典型的通过/块当波传播被认为是带结构。事实上,周期性结构特别是相关工作时波导(6,7)或能量收集装置(8]。波导的传输特性的分析是最好的执行通过弗洛凯周期系数常微分方程理论,尽管这个事实是很少被忽视的一个更直接的方法通过Floquet-Bloch边界条件。本文的分析力学问题的一个统一的字符串定期支持的角度提出了文克尔地基形式希尔方程的稳定性理论9]。此外,提出了一种高频渐近均匀化过程,(10,11]。支持的不连续特征可能是由于裂纹扩展(12- - - - - -15在复合材料[]或脱胶16,17]。它也可能是由于衬底的tensionless字符(18]。这项研究是在一个非常巨大的文献弹性周期结构(2,19- - - - - -24]。波传播的情况通过涂上一层薄薄的一层25- - - - - -27也可以考虑。在土木工程领域的应用程序也可能(28- - - - - -32]。本文结构如下:部分2建立了力学模型和控制方程。部分3讨论了希尔方程的解的稳定性。中给出的色散关系及其渐近逼近部分4。最后,结论部分5。

2。机械模型

让我们考虑一个均匀弹性字符串统一的张力文克尔弹性地基上,定期支持(图1)。横向位移的控制方程在没有加载周期与: 在哪里字符串的质量线密度,假定常数,是温克勒地基模量(物理维度的压力),然后呢亥维赛阶跃函数;也就是说, 这个方程可以改写在无因次形式 在引入无量纲积极比率: 在一起、无因次轴向坐标无因次时间。在这里,主要表示分化有关和点分化和和是假定。我们要寻找的谐波行为;也就是说,,(3)成为常系数的颂歌: 我们把单位时间间隔范围为了考虑一个偶数/奇数问题;也就是说, 一般的谐波解(3在支持的地区)是由 而在自由地区解决方案是 在哪里,和,积分常数是决定通过边界条件(BCs)。系统需要连续性的BCs支持/不支持的转换: 在哪里'代表分化。此外,考虑Floquet-Bloch波周期性条件 在哪里是特征乘数。二阶的颂歌,有两个乘数nonnecessarily截然不同的特点,用和。此外,让与;然后是特征指数。

3所示。解决方案的有界性和周期性

方程(5希尔后)被称为希尔方程,研究在1886年在月球的背景下动力学(33]。为了清晰起见,我们将编写对于周期性间隔。它很容易找到一个基本系统的解决方案,这样 这是一组两个线性无关解ODE (6);参见[9为进一步的细节。众所周知,对于任何一个二阶的颂歌, 在哪里朗斯基行列式的基本解决方案(34]。根据问题的对称性,是一个甚至和一个奇怪的函数。让我们介绍判别 被 据说是希尔的方程不稳定如果所有非平凡解是无界的和条件稳定如果有一个非平凡解有界和稳定的如果所有解决方案都是有界的。

由定理(9),解决方案是稳定的和不稳定时和需要特殊考虑。实际上,当特点,乘数和是复杂的共轭单元模量,因此特征指数是相反的;也就是说,。图2地块的边界曲线(虚线)和(固体)的函数和为。稳定的地区在灰色的阴影。看到,带隙(英国)是有界的破灭和固体连续曲线。当它是,分别。

这也是众所周知的(9,部分边界曲线形式对应解决方案 在哪里和周期函数吗,以下条件拨款的可用性两个重复的特征值的特征向量持有 在同等条件下,边界曲线形式对应解决方案 在哪里和是semiperiodic函数与时间;也就是说, 在图3,解曲线的第一个和第二个条件(16)虚线标出的风格和部分躺在有条件稳定的曲线。然而,观察到满足这样的条件只在一些非常特殊的点。事实上,我们有 从穿越时要么是可能的 或者当。这个案子与一个完全支持字符串的和都是成正比 这样他们消失在孤立点,。第一点,,对应于第0 BG的关键频率。相反,中对应于一个免费的字符串,这是一个非分散的情况。事实上,英国地质调查局崩溃成单点,根据(20.),位于。其他组合存在的满足和(16),比如。在所有这些点两个周期(或semiperiodic)解决方案和条件稳定恢复稳定。然而,在一般情况下,(16)从来没有团结,因此有条件保持稳定。事实上,第二个条件(15)所取代 这显然是不稳定的。出于同样的原因,第二个条件(17)成为 因此,共存的问题的时期通常是消极的回答;也就是说,存在一个单一的周期(或semiperiodic)解决方案是伴随着一个非周期的。此外,从力学的角度来看,可以看出,在一般情况下,一个周期解是不能接受的基于物理,因为它传达了一个跳跃的不连续边界,除非吗 同样,一个semiperiodic解决方案是不能接受的,除非 我们现在证明总是可以满足这样的条件。这个目标我们现在利用问题的对称和回想一下,当且仅当存在非平凡甚至解决方案 分别是阶段性和semiperiodic,而奇数解当且仅当 定期和semiperiodic [9,定理]。现在,当我们有非平凡周期解让我们定义 周期性的,很明显即使是成正比的一部分吗这是周期性的。除此之外, 分别是(24),第一个条件(26)。与分母的选择(28),它也是我们得出结论扩展以周期方式(它也很容易显示不承认希尔方程的斜率跳不连续。然后,一个可以证明和中给出的信号是周期和semiperiodic情况,职责)。同样地,当,我们有非平凡semiperiodic解决方案让我们定义 在光的semiperiodic,再次成正比甚至的一部分。这是两个semiperiodic函数之和;semiperiodic;除了 分别是(25),第二个条件(27)。与分母的选择(30.),这是我们得出这样的结论:以semiperiodic方式扩展。通过类似的定义和,一个得到了奇函数分别在周期延长,semiperiodic时尚。

的作用是比较图2与图4。看到的是频率轴大致尺度。此外,减少带来更广泛的英国地质调查局倾斜和倾向于聚集在一起。注意到不对称的存在。

4所示。色散关系

实施BCs ((9),(10)给出了色散关系: 这种关系还可以写成(参见[35]) 绘制在图5为和。方程(32)符合的形式()(19]。

这是很容易证明的很快渐近线从下面的,我们可以给一个简单的色散关系的表达式: 这种近似叠加到色散曲线在图上8因此它已经被认为是非常有效的接近,尽管它无法捕捉英国地质调查局。

有关每个带隙边界值(BG)考虑到周期性和semiperiodic获得特征值问题,需要考虑的两套BCs,分别为:(1)周期性条件和;(2)semiperiodicity条件和。有关学是用和分别为周期性和。自旋波semiperiodic征值问题第一个周期的本征频率的固有模式如图6在,。同样,第一semiperiodic固有模式的本征频率如图7。这样的本征频率是系统的下边界的第一个BG。

色散曲线相交轴是由而与轴的交点是由,在那里。英国地质调查局的大小了和。

5。结论

摘要弗洛凯周期系数常微分方程理论应用于描述机械波导的行为。定期均匀弹性字符串由一个弹性文克尔地基被认为是发现的控制方程是二阶方程。Floquet-Bloch周期性边界条件执行。稳定区域的色散关系的发现弗洛凯通过判别理论。一个渐近近似给出最低的截止频率。的根本特征周期和semiperiodic问题也确定。说,目前的方法可以扩展到处理功能梯度梁(36- - - - - -39)或板(40,41]。在土木工程领域的应用程序也可能(28- - - - - -32,42]。一个很好的扩展的理论可能与温度(43,44)或粘弹性影响纤维(45- - - - - -48]。

相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突。

引用

1. d·j·米德,”波传播和自然周期系统的模式:即Mono-coupled系统”杂志的声音和振动,40卷,不。1队,1975页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
2. d·j·米德,”波传播在连续周期性结构:研究贡献从南安普顿,1964 - 1995,”杂志的声音和振动,卷190,不。3、495 - 524年,1996页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
3. d . Yu y . Liu h .赵g . Wang和j .秋”在Euler-Bernoulli梁弯曲振动带隙局部共振结构有两个自由度,”物理评论B,卷73,不。6、文章ID 064301, 2006。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
4. 韩张y l ., L.-H。江”,横向振动声子晶体带隙的欧拉梁在文克尔地基改良的传递矩阵法,研究了”自然史地位苏(B),卷250,不。7,1439 - 1444年,2013页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
5. y, j .他和L.-H。江”,在声子晶体带隙特性欧拉梁弯曲振动在两个参数基础上,“机械工程的发展卷,5篇文章ID 935258, 2013。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
6. j . iklowitz弹性波和波导的理论爱思唯尔,纽约,纽约,美国,2012年。
7. a . b . Movchan和l . i Slepyan”共振波在弹性结构的媒体:动态均化和格林函数,“国际期刊的固体和结构,51卷,不。13日,2254 - 2260年,2014页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
8. a . Kudaibergenov a Nobili, l . Prikazchikova“低频振动的复合字符串属性能量收集布料设备相比,“《材料力学和结构,11卷,不。3、231 - 243年,2016页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
9. m . s . Eastham周期性的光谱理论微分方程英国爱丁堡,苏格兰学术出版社,1973年。视图:MathSciNet
10. r·v·卡斯特,j . Kaplunov和a . v . Pichugin“高频周期媒体同质化,”英国伦敦皇家学会学报》上。系列a数学、物理和工程科学,卷466,不。2120年,第2362 - 2341页,2010年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
11. t . Antonakakis r·v·卡斯特,“高频渐近微观结构弹性薄盘子和柏拉图式的,“《皇家学会学报:数学、物理和工程科学,卷468,不。2141年,第1427 - 1408页,2012年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
12. a . m .塔伦蒂诺”有限的运动模式我传播所产生的裂缝,“杂志的弹性卷,57号2、85 - 103年,1999页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
13. a . m .塔伦蒂诺“在有限的弹性动力学,裂纹扩展”数学和力学的固体,10卷,不。6,435 - 456年,2005页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
14. r .卢西亚诺·j·r·威利斯,“Hashin-Shtrikman基于有限元分析的弹性行为有限随机组合的身体,“国际期刊的骨折,卷137,不。1 - 4、261 - 273年,2006页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
15. A . Nobili e x射线检验,l . Lanzoni”破解无限基尔霍夫板支持两个参数弹性地基,”欧洲陶瓷学会杂志》上,34卷,不。11日,第2744 - 2737页,2014年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
16. a . Caporale和r .卢西亚诺圬工拱的极限分析有限的抗压强度和外部保税强化,“复合材料B部分:工程,43卷,不。8,3131 - 3145年,2012页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
17. 诉Salomoni g . Mazzucco、c·佩莱格里诺和c·马约拉那”三维造型混凝土和玻璃钢钢筋之间的债券行为,”工程计算,28卷,不。1,5-29,2011页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
18. a . Nobili“叠加原理的tensionless联系梁放在温克勒或帕斯捷尔纳克基金会”《工程力学,卷139,不。10日,1470 - 1478年,2013页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
19. d·j·米德”,定期免费波传播支持,无限梁,“杂志的声音和振动,11卷,不。2、181 - 197年,1970页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
20. m·基a b Movchan, d . Bigoni”带隙和defect-induced湮没在预应力弹性结构转变,”应用物理杂志,卷105,不。6、文章ID 063507, 2009。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
21. g .那不勒斯和a . Nobili“机械诱导Helfrich-Hurault效应”在层状体系中,物理评论E-Statistical、非线性和软物质物理学,卷80,不。第三条ID 031710, 2009。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
22. s . Nemat-Nasser j·r·威利斯a·斯利瓦斯塔瓦和a . v . Amirkhizi“周期性弹性复合材料的均匀化和局部共振声材料”物理评论B,卷83,不。2011年10篇文章ID 104103。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
23. r·v·卡斯特j . Kaplunov e . Nolde s Guenneau,”布洛赫色散和高频率均化可分双周期结构,”波动卷,49号2、333 - 346年,2012页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
24. j . Kaplunov和a . Nobili,”基尔霍夫板的边缘波双边支持两个参数弹性地基,”振动与控制杂志》上,2015年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
25. a . Nobili和a . m .塔伦蒂诺“硬铁磁和弹性薄膜的磁致伸缩结构,”数学和力学的固体,13卷,不。2、95 - 123年,2008页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
26. 诉Guidi、l . Lanzoni和a . Mazzolari”模式和建模的机械弯曲硅板变形通过相互作用的强调,“薄固体电影,卷520,不。3、1074 - 1079年,2011页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
27. n . Tullini a Tralli, l . Lanzoni”界面剪切应力分析的酒吧和薄膜连着使用耦合的二维弹性衬底FE-BIE方法,”有限元素分析和设计卷,55 42-51,2012页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
28. a . m .塔伦蒂诺“齐次平衡配置的超弹性的可压缩数据集下equitriaxial底负载牵引,”杂志的弹性,卷92,不。3、227 - 254年,2008页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
29. v . a . Salomoni c·e·马约喇纳g . m . Giannuzzi和a . Miliozzi”热流体流在创新的太阳能发电站的混凝土蓄热系统,”国际期刊热和流体流动的数值方法,18卷,不。7 - 8,969 - 999年,2008页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
30. v . a . Salomoni c·e·马约喇纳b . Pomaro g . Xotta f . Gramegna,“宏观尺度和中尺度分析混凝土作为一种多相材料对核辐射生物盾牌,“国际期刊的数值,在地质力学分析方法,38卷,不。5,518 - 535年,2014页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
31. g . Dinelli g .茨c·e·马约喇纳和b . a . Schrefler”试验研究使用粉煤灰为轻量级的预制结构元素,”材料和结构卷,29号194年,第638 - 632页,1996年。视图:谷歌学术搜索
32. p . Bisegna r .卢西亚诺,“边界与脱层复合材料的整体性能无摩擦界面,“材料力学,28卷,不。1 - 4,23-32,1998页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
33. g·w·希尔,”月球近地点的运动的一部分,这是一个函数的意思是太阳和月亮,“数学学报,8卷,不。1,1-36,1886页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
34. 诉斯米尔诺夫,高等数学的课程:卷2,先进的微积分,帕加马出版社,1964年。
35. j . Kaplunov和a . Nobili不确定型分析强烈非齐次周期waveguideswith内部截止频率,“应用科学的数学方法,2016年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
36. r .卢西亚诺·j·r·威利斯,“非本地功能梯度材料的本构方程,”材料力学,36卷,不。12日,第1206 - 1195页,2004年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
37. r . Barretta l . Feo说,r .卢西亚诺,“一些功能梯度梁发生非均匀扭转的封闭方案,“复合结构卷,123年,第136 - 132页,2015年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
38. r .卢西亚诺·r·Barretta l . Feo说,f . Marotti de Sciarra”功能梯度纳米梯度Eringen模型”,复合结构卷,131年,第1131 - 1124页,2015年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
39. r .卢西亚诺·r·Barretta l . Feo说,f . Marotti de Sciarra”为功能梯度变分公式外地Bernoulli-Euler nanobeams,”复合结构卷,129年,第89 - 80页,2015年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
40. r . Barretta r .卢西亚诺,“精确解的各向同性粘弹性功能梯度基尔霍夫盘子,”复合结构,卷118,不。1,第454 - 448页,2014。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
41. a . Apuzzo r . Barretta r .卢西亚诺,“一些功能梯度基尔霍夫板的解析解。”复合材料B部分:工程卷,68年,第269 - 266页,2015年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
42. a . m .塔伦蒂诺“极端稀疏的切口尖端新虎克,”力学、应用数学的季刊,51卷,不。2、179 - 190年,1998页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
43. g . Xotta g . Mazzucco v . a . Salomoni c·e·马约喇纳和k·j·威廉,“复合混凝土材料在高温下的行为。”国际期刊的固体和结构卷,64年,第99 - 86页,2015年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
44. f . m . de Sciarra m·萨勒诺,“在没有能量耗散热弹性力学,热力学函数”欧洲力学杂志/固体,46卷,第95 - 84页,2014年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
45. r . Barretta l . Feo说,r .卢西亚诺,“扭转功能梯度外地粘弹性圆nanobeams。”复合材料B部分:工程卷,72年,第222 - 217页,2015年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
46. l . Dezi g . Menditto, a . m .塔伦蒂诺“齐次结构受到重复的结构系统的变化,”《工程力学,卷116,不。8,1723 - 1732年,1990页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
47. l . Dezi和a . m .塔伦蒂诺“时间分析混凝土结构的可变结构系统,”ACI材料杂志,卷88,不。3、320 - 324年,1991页。视图:谷歌学术搜索
48. l . Dezi g . Menditto, a . m .塔伦蒂诺“粘弹性与可变结构系统异构结构,”《工程力学,卷119,不。2、238 - 250年,1993页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索

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