文摘

均衡的方案与全变差龙格-库塔间断伽辽金递减(TVD-RK DG)方法求解浅水方程。通常,在细胞界面通量函数来近似TVD-RK DG计划使用Harten-Lax-van秋波HLL()方法。在这里,我们应用加权平均通量(WAF)是高阶近似代替TVD-RK HLL的DG方法。一致性属性显示。修改后的通量梯度和源条件下的均衡技术WAF近似。数值解的准确性证明了模拟与平底支流蓄流。稳定的解决方案与冲击可以正确地捕获没有激震前沿附近的寄生振荡。这个礼物的其他通量近似TVD-RK浅水DG方法模拟。

1。介绍

为一维问题是双曲平衡法 在哪里,,代表解向量,通量函数,分别和源项。

在这部作品中,双曲型方程是浅水方程可以表达的 在哪里水深度,放电,流速的吗方向,是重力加速度,是底部的函数。方程(2可以通过设置重写

总变异减少龙格-库塔间断伽辽金(TVD-RK DG)方法可以应用于解决浅水方程;参见[1- - - - - -5]。这个方案有几个优点。例如,它可以被用来处理复杂的几何图形,在同一时间,很容易应用自适应策略。数值解的精度可以提高通过增加多项式近似度多项式和通量估算方法函数在单元接口。

通过间断伽辽金方法的概念,数字解决方案不需要在细胞连续界面。所以,我们需要一个高效的磁通近似。一般来说,有几个类型的近似。最著名的一个是Harten-Lax-van秋波通量(HLL),而高阶近似是加权平均通量(WAF);参见[6- - - - - -9]。这种方法接近通量函数的平均通量在每个方向的波解半场的一步。它源于随机通量方案,证明二阶精度的空间和时间在统计意义上托罗(6]。从以前的工作,加权平均通量已经成功地应用于解决各种各样的问题,特别是在有限体积法(7,10,11]。它可以提高二阶有限体积方法的准确性没有重建进程。但加权平均通量是很少间断伽辽金方法中的应用。所以这项工作的主要目的是在TVD-RK DG WAF方法的应用方法。我们也表明,目前的方案与WAF近似一致的属性。

稳定的解决方案(3可以通过设置) 非零通量梯度,它必须平衡梯度底部。通常,数值方案不平衡这两个量产生振荡稳定的解决方案。所以需要平衡数值方案,它被称为平衡方案。这种方法是为了保存能量稳态。一般来说,一个数值方案是均衡的,如果它满足精确C-property首次引入贝穆德斯和巴斯克斯(12]。数值解的确切C-property意味着必须满足静水条件在稳定状态 因此,要获得一个平衡的计划,我们必须设计方法,其稳定的解决方案满足(5)。

最近,二阶龙格-库塔不连续Gelerkin Kesserwani提出的方法和均衡的方案和梁13]。他们提出了湿润和干燥算法求解一维问题。邢和舒14)提出了一种基于加权平衡有限体积方法本质上(WENO)解决方案,建立二维问题。他们应用将源项技术分解为几项的和,确保数值通量差异之间的平衡和源项。Audusse et al。15)提出了一个与流体静力学平衡有限体积重建解决一维问题。之后,诺艾尔et al。16)扩展平衡有限体积提出的方案(15)任何订单所需的精度。

为了解决浅水方程的源项,我们修改了均衡的间断伽辽金提出的方案(15由邢和蜀[]和相关工作14]。加权平均通量(WAF)方法(6,7]DG方案已应用于修改。我们会显示修改后的TVD-RK DG方案WAF有一致的属性。各种数值实验显示演示了稳定和不稳定流动的能力和精度数值方案。

数值方案及其一致性属性的WAF TVD-RK DG方法部分所示2。修改后的平衡TVD-RK DG计划条款提出了部分来源3。数值例子中演示了一节4。结论最后部分5。

2。浅水方程的数值方案没有源项

TVD-RK DG的加权平均通量方法无源条件的情况下提出了部分。

2.1。TVD-RK间断伽辽金方法

考虑一维双曲守恒律, 计算域分为细胞。我们表示th细胞通过,因为,细胞大小均匀。细胞中心,在那里和左派和右派的细胞边界,分别。

用近似的解决方案。

乘(6通过一个测试函数,,在那里是多项式空间学位的时间间隔,替换通过然后把分部积分,我们获得一个弱形式的数值方案 通量函数的地方在单元来近似接口,的功能和在作为 在这里和表示近似解在单元边界的左派和右派,分别。如果我们运用当地的勒让德多项式基函数,近似解可以写的 在哪里被称为时间系数。现在,基函数勒让德多项式定义的吗的程度在。

测试函数通常选择基函数;也就是说,。应用勒让德之后的属性(7)简化为 为,。

时间导数项(10)可以通过应用高阶近似表示TVD龙格库塔(TVD-RK)方法;参见[1,3,17]。注意,当多项式的程度至少,TVD-RK方法的顺序吗必须应用获得订单的准确性平稳流动。

TVD-RK DG方法可以用来模拟浅水流动与移动冲击。非物质的振动行为通常是附近产生的冲击波。斜率限制器技术可以应用于消除振荡。在这项工作中,我们应用单调Upstream-Centered方案守恒定律(MUSCL)限幅器(见[1,3,6,18TVD-RK DG方法])。这种方法限制了目前解决边坡与邻居细胞通过比较斜率。

2.2。加权平均通量(WAF)

HLL数值通量(Harten-Lax-van媚眼)通常是用于TVD-RK DG方法。另一个选择,但高阶是加权平均通量(WAF)。它首次引入了红;参见[6,7]。WAF近似二阶准确在空间和时间在统计意义上6]。这个近似已经广泛应用于有限体积方法,但却很少用于TVD-RK DG方法。这项工作的主要目的是尝试修改的WAF TVD-RK DG方法。

加权平均通量,的接口,,是由积分平均通量函数的定义在中场休息时的步骤, 它可以写在波结构形式 在哪里是波解的数量在黎曼问题吗是黎曼问题的通量。对于一维浅水流动,我们,在那里和。通量组件可以从HLL的方法获得6]。加权值,,是由,在那里波的报数量吗,,,波的速度吗。

为了避免寄生振荡激震前沿附近,WAF方法将由执行修改全变差(TVD)计划[递减6,7,9,11,19]。TVD-WAF版本 在哪里 在这里是一个WAF限制器函数。有多种选择;看到更多的细节在6,7,9,11,19]。在这项工作中,我们选择的基本minmod类型之一。

2.3。WAF TVD-RK DG方法的一致性

在本节中,我们显示的一致性TVD-RK间断伽辽金加权平均通量的方法。

引理1。的TVD龙格-库塔间断伽辽金法和加权平均通量是一致的平稳流动。

证明。考虑到弱形式的RKDG守恒律法, 解决方案是近似的。测试函数据估计,。通量函数在单元接口是近似的数值通量,,所以我们获得的数值方案以下形式: 替换通过在(16)和减去(15),我们获得一个截断误差项作为 当解决方案是光滑的,它必须是连续的或。

定义的TVD加权平均通量 在哪里,和组件可以从HLL获得方法(4,6,7]。因此, 同样,我们有。然后,加权平均通量是一致的。

TVD-RK DG方法,近似解在(16)被定义为 在哪里勒让德多项式的学位吗。由于考虑的解决方案是光滑的,我们知道从定理(3.1)1), 这个标准被定义为一个截断误差项由于逼近多项式,用。

后用近似解的数值方案(16),我们获得一个颂歌系统, 接下来,我们应用TVD龙格-库塔积分方案。我们近似在每个时间步。时间的精确度取决于TVD-RK秩序的整合(1,3,17]。如果TVD-RK秩序应用,截断误差项吗是由 结合在一起,所有的截断误差总截断误差项据估计, 总截断误差项是接近零和。因此,WAF的TVD-RK DG方法是一致的。

3所示。平衡TVD-RK DG WAF方案

在本节中,我们开发一个均衡的方案与WAF TVD-RK DG方法。主要目的是提供一个修改方案求解浅水方程的源项。同时,这个计划必须保持完全静止的解决方案当底坡存在。让我们首先考虑标准TVD-RK DG方法, 与初始条件 在哪里的加权平均通量(13)。给出了源项

我们将得到一个平衡的方案基于[14),但应用加权平均通量TVD-RK DG的而不是使用Lax-Friedrichs(低频)通量。主要的修改是WAF的源项的治疗方法。假设源项可以写的一些功能的总和 在哪里和有一些功能将稍后确定。

在稳定状态是静止的,如果解决方案在(28)可以分解和,这样 自是零,我们只考虑吗, 从(28),我们有 平衡通量梯度和源项近似稳态,它是必需的 或 在哪里是任意常数。

集成的源项(25)可以近似 功能和(园艺学会的34)可以近似和,在那里和是的投影和的空间。然后,我们得到和。因此, 然后, 为了满足加权平均通量(12),必须修改。在这里,我们假设 或者如果TVD版本(13),这一项可以写的 请注意,WAF近似和加权值吗是WAF限制器函数。所以可以定义相似吗。

对于一维浅水方程,我们,在那里和。的近似在中间区域可以通过高级语言的方法, 在这里和在黎曼信号速度的问题。

在稳定状态,解决方案被认为是静止的。这意味着,在那里是恒定的,。从(35),我们有 这表明的合适选择和在TVD-RK DG WAF近似。

接下来,我们将表明,WAF的TVD-RK DG方法保持均衡的属性。

命题2。WAF的TVD-RK DG方案保存完全固定在稳定状态的解决方案。

证明。自和等于常数一样吗在每个Gauss-Lobatto点细胞,从而 因此,我们获得一个截断误差项作为 使用在(12),在(37),我们有, 在应用条件(35)和重新排列,收益率 在哪里是任意常数。因此,TVD-RK DG WAF计划保持完全静止的解决方案在稳定状态。

备注3。可以显示发达平衡TVD-RK DG WAF计划在现有的源项的情况下是一致的,表明了近似的源项也是一致的。

4所示。数值结果

在本节中,各种测试用例进行了调查,证明本方案的准确性,不仅稳定,而且不稳定流动。

4.1。溃坝流

前一节所示,加权平均通量与TVD-RK DG方法是一致的。我们这个修改方案适用于解决浅水方程没有在本节源术语。显示了数值解的准确性并与标准TVD-RK DG HLL当使用方法。

计算域。的初始水深 初速度为零。边界条件是递送的边界。我们执行50、100和200个细胞的数值实验。应用多项式度为零,一个,两个作为本地TVD-RK DG方法基础。仿真时间,。根均方误差(RMS)如表所示1。

当和是固定的,从WAF获得数值解的精度高于从HLL获得方法。RMS误差降低增加。

如果我们解决和不同的、均方根误差降低为多项式程度增加。

WAF的水深资料使用高级语言和方法当和如数据所示1和2,分别。前面的冲击可以正确地捕获HLL和WAF的方法。但使用WAF的方案可以捕获震惊和稀疏波比使用HLL方法更精确。这个调查显示的准确性与WAF TVD-RK DG方法。广义的有限体积法。

4.2。流在不规则的床

的统一的通道长度1500米。底部高程是不规则的,如图3。提出的这个问题是(5)进行测试的准确性数值方案在静止状态。边界条件是递送的。初始水深,初始速度为零。我们设置和运行仿真,直到。

从图可以看出3均衡的方案(点)给完全静止的解决方案而non-well-balanced方案(虚线)提供解决方案错误特别是底高程的高梯度区域。

4.3。稳定在一个肿块

我们考虑浅水流动撞在一个矩形通道长度为25米。是由海拔撞

在稳定状态下,古典流可以通过亚临界流特征,超临界流冲击,超临界流没有冲击。执行WAF的TVD-RK DG方法来解决这些问题。可以通过比较检查数值解的准确性与现有的解析解;参见[20.]。

亚临界流在一个肿块。上游边界是由米²/ s,而下游设定的边界m。初始水深与初始速度为零。时间步长是。RMS误差从高级语言获得和WAF方法如表所示2。这表明RMS错误得到TVD-RK DG WAF HLL不到那些获得的。

水的深度和bump概要图所示4。数值解的解析解非常接近。我们还发现在这个测试用例均衡方案比计划快收敛于稳定的解决方案是不均衡的。

超临界流与冲击碰撞。上游边界是由/ s,而下游设定的边界m。初始条件m。水面的比较如图5。数值结果与分析结果良好的协议。这表明均衡方案的准确性,可以捕获激震前沿没有振荡。也发现均衡方案收敛于稳定的解决方案比non-well-balanced方案。

超临界流没有冲击碰撞。规定的上游边界/ s,而下游边界没有指定。初始条件初始速度为零。

水深度剖面如图6。数值结果与解析解同意。这些结果显示的准确性均衡的方案解决超临界流问题。

4.4。小扰动稳定状态的水

首次提出这个问题是(18,21,22]。它可以用来研究数字解决方案的能力小扰动浅水流动。地形是由底部 指定的初始条件 在哪里是一个非零扰动常数。边界条件是递送的边界。在这项工作中,我们考虑的情况下和0.01。初始水深的干扰小应该把初始波分割成两个波。他们传播的左派和右派特征速度在早期阶段。标准方案不平衡通常面临一些困难正确地捕获波速度。

在我们的模拟中,我们使用400均匀网格细胞和多项式程度与WAF TVD-RK DG方法之一。仿真时间。

水深之间的比较我们的结果和桑德琳的解决方案是如图7和8为和0.2,分别。他们是在良好的协议振幅和波速。这些测试用例显示了我们的数值方案解决能力似稳流的初始扰动。

4.5。流在Nonhorizontal的床

这个测试用例是由(8]。主要提出研究的能力数值方案解决非定常流地形。统一的通道是30米的长度。床上海拔被定义为 给出了初始条件 在这里,我们组与多项式程度和使用200均匀网格细胞模拟非定常流之一。边界条件是递送的边界。

我们的数值结果与托罗的解决方案8)年代和4 s图所示9。波速度和冲击概要文件非常接近。这些结果显示目前的解决方案的准确性和源项非定常流。

5。结论

在这项工作中,我们提出了TVD-RK间断伽辽金方法(TVD-RK DG)求解非线性浅水方程。大多数TVD-RK DG方法的文献通常近似注液电池HLL通量通过应用方法。但这里我们应用另一种方法称为加权平均通量(WAF) TVD-RK DG。我们还展示了一致的属性TVD-RK DG的WAF近似。然后用WAF近似均衡TVD-RK DG方案。本方法不仅可用于模拟稳定流动,而且不稳定流动。修改数值的准确性计划证明了不同的测试用例,流在不规则的床,稳定流隆起,似稳,流nonhorizontal床。WAF的均衡TVD-RK DG方法可以用来解决所有的这些问题。此外,如果我们在稳定状态限制,计划使用WAF方法收敛于稳定的速度比计划使用高级语言方法的解决方案。此外,均衡的方案比计划快收敛于稳定的解决方案是不均衡的。 Due to its advantages of numerical accuracy, simplicity, and well-balanced property, the present scheme can be modified and extended to simulate two-dimensional problems. However, depending on the types of elements, for example, triangles or rectangles, it is not trivial to extend for two-dimensional problems due to the polynomial basis functions and the WAF fluxes at element interfaces and is not considered in this paper.

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项研究部分支持的科学成就奖学金泰国(科协)第一作者和财务支持的泰国研究基金会(基金会)批准号RSA5680038。