动态稳定性的有限元模拟飞机的自由表面的液体在垂直荷载作用下

文摘

垂直部分填充液体容器时感到兴奋,液体的平面曲面可以稳定或不稳定的振幅和频率取决于外部激励。振幅和频率的组合,自由表面经历无限运动导致不稳定称为参数不稳定或参数共振,而且,对于其他一些组合,自由表面经历了有界稳定的运动。参数共振,小初始扰动的自由表面甚至可以建立无限制地小的外部激励,如果激励作用于坦克足够长的时间。本文研究了平面自由表面的稳定性数值模拟。管理马蒂厄方程的稳定性图表绘制分析用线性方程。基于非线性潜在应用完全非线性有限元方法理论,飞机的响应曲面模拟各种情况。

1。介绍

在许多工程应用中,这是极大的兴趣研究机械系统的振动在外部荷载。在所有的振动系统,有必要知道的反应系统和振荡的性质。非常重要的信息不同共振情况下的系统来避免有害的的设计。外部周期荷载下,系统可能接受两种振荡:强迫振荡和参量振荡。强迫振荡对应系统的振动响应外部激励的方向,和系统发生共振时外部激励等于系统的固有频率。在共振,系统振幅线性增加。参量振荡指振动机械系统中由于时变系统参数的变化引起由于外部激励。系统参数可以惯性或刚度。系统的响应是外部激励的方向正交。系统进行参数共振时,外部激励等于系统的固有频率的整倍数。 In parametric resonance, systems amplitude increases exponentially and may grow without limit. This exponential unlimited increase of amplitude is potentially dangerous to the system. Parametric resonance is also known as parametric instability or dynamic instability. Although parametric instability is secondary, the system may undergo failure near the critical frequencies of parametric instability. Parametric instability is of concern in structures, aircrafts, and marine crafts. Structural systems when subjected to vertical ground motion may undergo parametric resonance leading to large motion or deformation of structure due to which structure may damage or collapse. The problem of parametric instability in various structures is studied and well documented by Bolotin [1]。参数共振也发生在液体晃动的情况下当前的利益。

无节制的运动自由表面的液体,由于液体容器的外部激励,被称为晃动。晃动时可能会看到我们有一个液体自由表面的重力的存在。在平衡时,液体的自由表面是静态的,当容器是摄动;一个振荡是建立在自由表面。液体晃动的现象发生在各种各样的工程应用,如在液体推进剂晃动运载火箭液体振荡在大型储罐的地震晃动池类型,核反应堆的核燃料储油罐地震下,水流在甲板上的船。这种液体运动是有潜在危险的工程结构和环境问题导致工程结构的失败和意想不到的不稳定。因此,了解液体自由表面的动态行为是至关重要的。因此,晃动的问题吸引了许多研究人员和工程师激励理解晃动的复杂行为和设计结构能够承受它的影响。

可以通过各种刺激的液体晃动励磁的容器。容器激发可水平、垂直或旋转。在水平荷载下,液体自由表面经历正常的晃动;晃动的频率等于激励频率。当外部激励频率等于基本晃动频率,自由表面发生共振。广泛的研究已经完成对冲激响应下纯水平荷载。当液体容器承受垂直荷载,对于一些外部激励振幅和频率的组合,自由表面经历无限运动导致参数不稳定,而且,对于其他一些组合,自由表面经历有限的运动。摘要,充满液体的容器垂直激励下的响应。

液体垂直荷载作用下的地震反应的问题最初是由法拉第实验研究[2)报道,液体自由表面振动的频率是外部激励频率的一半。在垂直荷载作用下产生的晃动波有时称为法拉第波。马修森[3)进行了实验和报道,流体自由表面振动同步到外部激励。法拉第的研究分析了瑞利(4,5),他证实了法拉第的观察。法拉第的观察之间的差异和马修森的观察被本杰明和Ursell解释数学6]。本杰明和Ursell6]研究理论上的问题。他们认为线性化非粘性的势流模型和表面张力。他们得出的结论是,飞机的响应下的流体自由表面垂直激励是由马修方程。马蒂厄方程的解决方案(7)可能是稳定的,周期,根据系统参数或不稳定。马蒂厄方程的稳定和不稳定的形式显示块的外部激励振幅和频率稳定和不稳定的地区。本杰明和Ursell6)认为,如果响应曲面的不稳定,产生的运动频率等于,在那里是一个整数,是自然晃动的频率。道奇et al。8]分析了推进剂晃动反应坦克车辆的空间理论和垂直荷载下实验。米切尔(9]扩展研究自由表面垂直的随机激励下的液体的稳定。口和尼噶的10)在矩形坦克分析研究了参数不稳定。英里(11]研究了参数共振在圆柱形坦克从理论上考虑非线性术语。参量振荡的问题讨论英里和亨德森(12)在他们的评论。法拉第波的研究也报道了在柏林和舒尔茨的作品13和江等。14]。大部分可用的旧文学研究在垂直激励下的参数晃动问题的实验或理论涉及复杂的方程式和沉重的派生。为了理解晃动的复杂行为包括垂直激发态非线性条件下,数值模拟与解析解相比仍然具有优势。得到的解析解时,复杂的形状容器不是常规。数值方法(如有限元法、有限体积法、有限差分法、边界元法,等等,可用于数值模拟的晃动波。吴et al。15)应用有限元法求解晃动问题。吴等人还讨论了冲激响应在矩形垂直荷载下坦克使用3 d模型。Frandsen [16]分析了问题数值和理论上考虑完全非线性非粘性的势流方程。Frandsen应用修改sigma-transformed冲激响应的有限差分方法。Frandsen研究在二维矩形坦克。宁等。17)应用边界元法研究了在矩形容器的液体晃动耦合的水平和垂直激励。在本文,晃动响应在矩形槽垂直荷载下了。首先,飞机的稳定液体自由表面的矩形槽从线性化方程,获得,然后,获得稳定图数值应用有限元方法进行验证。本文的目的是研究液体自由表面的稳定性在矩形槽垂直荷载数值。坦克被假定为刚性的长宽比,0.5;是液体的深度,槽的长度。首先,从理论上分析了液体的自由表面的稳定性通过执政的线性化方程。液体自由表面的稳定图绘制从这些使用谐波平衡方法线性化方程。图表绘制稳定性数值模拟进行验证。基于非线性有限元数值制定潜在的理论是为模拟开发冲激响应。

2。控制方程

考虑一个矩形槽固定在笛卡儿坐标系统,这是关于惯性笛卡尔坐标系统垂直的方向。这些坐标系统的起源是在左边的舱壁在自由表面和向上翘着方向。这两个笛卡儿坐标系一致当水箱处于静止状态。图1显示了坦克在笛卡儿坐标系统除了规定的边界条件。

让坦克的位移受轴的方向 不可压缩流体被假定为非粘性的,无旋。因此,流体运动是由拉普拉斯方程的未知速度势如下: 遵循液体容器的墙上诺伊曼边界条件和狄利克雷在液体自由表面边界条件。在移动的坐标系统,流体的速度分量正常墙上是零。因此,在底部和墙上的坦克我们有, 在自由表面、动态和运动学边界条件和他们给出的 在哪里自由液面高度,测量垂直仍然高于水位,是坦克的垂直加速度,重力加速度。

方程(1)- (5)提供完整的行为在液体非线性晃动垂直基础激励的坦克。流体自由表面的位置不知道先验;为了解决这个问题,被认为是静止的液体和一些自由表面上的初始扰动。因此,初始条件的自由表面移动的笛卡尔坐标系统和可以写成 在哪里是自由表面的初始仰角。应该注意的是,不可能达到初始边界条件(7)维护(6);事实上,这是一个非物质条件。这个条件使用仅在垂直荷载的情况下,因为,在这种激励,一些初始扰动是必要的,没有它没有任何液体自由表面的振动。

3所示。控制方程的自由表面的动态稳定性

在本节中,控制方程的自由表面的液体在垂直荷载作用下的动态稳定性。拉普拉斯方程的通解矩形域满足刚性边界条件(5)可以写成 在哪里模式的波数是几号。,各自的时间演化功能吗th模式,可以用一般的计算解决方案(8)线性自由面边界条件获得(4)和(5)。线性化自由表面边界条件 用(8)(9)导致 用(10)(11)和安排方面, 在哪里 方程(13)给出了线性晃动频率。坦克被认为是受到谐波垂直激励作为 方程(11)减少 在哪里,,。方程(15)是一个马蒂厄方程。自由表面的稳定和不稳定的指导下(15)。

马蒂厄方程是二阶微分方程周期系数。马蒂厄方程的解决方案可能是有限或无限,也就是说,稳定或不稳定。如果解决方案是有界的,它可能是周期或非周期的。马蒂厄方程理论是有据可查的Mc拉克兰(7),唯一的参考文献中只涵盖马修方程。马蒂厄方程的解的形式可以通过弗洛凯的理论18]。根据弗洛凯理论,马蒂厄方程的解可以表示为一个线性组合的两个线性无关的弗洛凯的解决方案和。弗洛凯的解决方案可以在表单 在哪里被称为特征指数和取决于,和是一个周期函数。可以获得解决方案的行为(16)。马蒂厄方程的解有界时的价值是真实的和无限的价值是复杂的。在稳定的解决方案,如果是非理性的,那么解决方案不是周期性的;如果是理性的,那么解决方案就是周期但不是吗或;如果是一个整数,那么周期与解决方案或。

解决方案的行为可以获得稳定图:一块系统参数,。故事情节有稳定和不稳定的地区,可以寻求解决方案的行为。稳定和不稳定区域由边界曲线,周期使用的解决方案或。绘制稳定性图,它只需要情节的边界曲线。边界曲线上的周期解可以展开为傅里叶级数(1]。一段时间的周期解可以书面形式 用系列(17)(15),将相同的正弦和余弦项的系数导致以下线性齐次代数方程组: 的周期解可以用傅里叶级数表示1] 用系列(22)(15),将相同的正弦和余弦项的系数导致以下线性齐次代数方程组:

系统的线性齐次代数方程(19)和(21)和(24)和(26时)有一个非平凡解的系数行列式等于零。决定因素是写成 方程(27)给出了行列式从两个(19)- (21)结合在±标志如下:

上面给出的因素被称为山决定因素,无限的秩序。山在本质上是三对角的决定因素。很明显这些决定因素总是出现在对角矩阵;一个可以调用特征值问题的类比和参考作为一个特征值。然后,对于给定的值,可以计算出的值对应于时间的周期解和。通过求解上述特征值问题,稳定图绘制。稳定图(15)如图2。从图2,我们可以预测自由表面的稳定性。如果外部激励的振幅和频率躺在曲线(一层灰色的区域),自由表面是不稳定的,振幅的增长的指数增长。如果外部激励的参数在曲线(白色区域),自由表面是稳定的。因此,从稳定图,自由表面的稳定性可以预测。

4所示。数值计算过程

在本节中,垂直荷载下的响应曲面坦克使用有限元法进行了数值模拟。有限元模型基于拉格朗日计划采用混合。自由表面节点像拉格朗日粒子,和内部节点像欧拉粒子。对于这个配方,自由面运动和边界条件(4)和(5),分别是修改和写在拉格朗日形式(19]

晃动的问题是非线性的,因为自由面位置不知道先验和边界条件非线性的条件。晃动的问题是评估作为一个初始边值问题。作为初始边界 在哪里是初始扰动的振幅。为了解决这一非线性晃动问题,有限元数值方法基于拉格朗日计划采用混合。自由表面节点像拉格朗日粒子,像欧拉粒子和内部节点。一个4节点等参元素是用于分析。时间间隔分为有限数量的时间步骤,(),在一个特定的时间步;初始边界条件(31日)是已知的;使用这些初始条件与边界条件(3)、拉普拉斯方程(2),解决了速度势,速度评估;这些评估速度,运动和动态自由表面边界条件(29日)- (30.)、时间集成和自由表面的位置更新得到下一个时间步的自由表面的位置。通过这种方式,冲激响应数值模拟。潜在的计算使用补丁恢复的速度(20.]。采用四阶龙格-库塔方法推进解决方案。随着时间的进行模拟由于拉格朗日行为的自由表面节点,这些节点靠近并开发一个陡坡导致数值不稳定。为了摆脱这个问题,用三次样条插值regrid自由表面均匀。作者开发了一种有限元数值公式为非线性晃动响应晃动在2 d矩形坦克和垂直轴对称坦克水平荷载和垂直耦合作用[21,22]。相同的数值制定之后;目前的模拟是一个扩展的21,22垂直荷载下]冲激响应。在本文中,数值制定简要解释;完整的深度解释和算法,读者可以参考(21,22]。

4.1。有限元公式

非线性晃动边值问题的解决方案是使用有限elementmethod获得。整个液体域离散采用节点等参四边形元素。一个典型的网状结构假设一些初始扰动的自由表面如图3。通过引入有限元形状函数,可以近似为液体速度势 在哪里是形状函数,在元素的节点数量,然后呢是节点速度势。

潜在的自由表面在特定时间步从自由表面边界条件(如获得,(6))。需要计算的速度势内部节点。应用伽辽金余值法拉普拉斯方程以及诺伊曼边界条件和自由表面节点,潜在的右边,将导致以下有限元方程组: 在哪里是在液体中域的节点总数。

4.2。速度恢复

跟踪自由表面,(29日)和(30.)需要速度计算势场的计算使用 速度计算使用(34高斯积分点的速度,他们不具备元件间的连续性和准确性较低在边界节点和元素。最应该注意计算速度;速度复苏的一个小错误会影响自由表面更新或跟踪的准确性,得到随时间积累,导致解决方案的低估。为了获得一个平滑和连续速度,补丁恢复技术(20.]。在补丁恢复技术,连续速度场是通过考虑速度的线性插值的高斯积分点如下: 在哪里任何速度组件(或),,是高斯的位置,,,,是未知数,需要评估。评估这些未知数,最小平方之间被认为是和如下: 在哪里是顺序高斯集成点。然后,四个未知系数是决定从四联立方程获得 用这些计算的(35)给单个元素的速度值,这些都是常见的节点平均。最后,一个元件间的平滑速度场连续由插值有限元形状函数中使用(32)和节点平均速度。作为全球连续速度场 在哪里是一个速度分量(或)。

4.3。数字集成和自由表面追踪

在时间步长计算的速度,应计算自由表面的位置(30.),确定自由表面上的潜在使用(29日下一个时间步)。因此,液体网格和边界条件建立了下次所需的步骤。这是使用有限差分数值过程完成。数字集成方案中起着重要作用在任何时间问题。四阶龙格-库塔显式时间积分法应用于本文。自由表面的节点坐标和相关的当前时间步速度势是已知的,可以用一个变量表示 在哪里 在哪里是段沿着自由表面的数量。同样,时间导数可以写成 自由表面的位置和相关的速度势在下次的一步可以表示为 在哪里 在获得新的自由表面的位置和潜力,液体域再啮合基于这些获得新的协调立场。

4.4。Regridding算法

在数值模拟的开始,自由表面节点是均匀分布的方向。随着时间的推移,自由表面节点间隔的不平等,他们集群为陡坡导致数值不稳定。这个问题发生在长期模拟;为了避免这种不稳定,自动regridding条件使用时采用三次b样条插值节点的运动是75%或多或少比初始网格间距。regridding,首先,自由表面的长度是获得。然后,自由表面分为与相同的弧长段。节点的坐标表示(),让连续两个点之间的弧长和是。作为一个统一的regridding,可以表示为 节点的坐标是一个函数的弧长:

采用三次b样条插值计算坐标,新制服自由表面上的速度势也以类似的方式获得的。

4.5。完整的冲激响应算法

包括上面所有的步骤,非线性晃动的数值算法过程如下。(1)假设初始自由表面高程和相关的速度势(31日)。(2)液体域离散使用有限元素和节点连接数据和节点位置数据。(3)速度势的内部节点计算使用(33)。(4)恢复的速度速度势使用补丁恢复技术。(5)更新自由表面节点使用(29日)和(30.)到一个新的位置,并找到相关的新速度势用四阶龙格-库塔方法。(6)检查regridding的要求。(7)在发现新自由表面的位置和速度势有关,重复步骤2,直到最后的时间步。

5。数值结果与讨论

代码开发后透光数值公式模拟自由面晃动响应的动态稳定性在不同外部垂直激励振幅和频率。液体晃动响应宽2.0米矩形刚性容器内液体填充深度1米是模拟。长宽比为0.5。目前,订单的晃动频率(13)是和。坦克被认为是受到的垂直谐波激励(14)。在数值模拟,沿着40节点沿着方向和20个节点方向,并采用0.01秒的时间步。冲激响应模拟不同情况下随着波陡度,内外参数不稳定的地区或参数共振。陡度参数取决于初始条件是:(16]。上都标有不同的情况下考虑模拟稳定图如图4。的激发参数情况下如图4给出了在表1。测试用例被认为类似案件被Frandsen [16]。

第一个测试用例是在稳定的地区,与频率比并迫使振幅:测试用例1,如图4。左边的冲激响应墙柜的低和高波陡度数据所示5(一个)和5 (b),分别。数据5 (c)和5 (d)显示相应的平面分析情节的小和陡波情况下。历史的自由表面高程nondimensionalized的时间。冲激响应获得与当前模拟与数值结果Frandsen [16]。结果都是在良好的协议。冲激响应低陡波是对称的;波峰和波谷,振幅相等,而对于高陡波,响应显示不同的波峰和波谷振幅是不对称的。这是一个非线性响应的迹象。这种非线性行为可以从各自的平面分析发现情节。较低的平面分析情节的冲激响应波陡度如图5 (c)有一个封闭的轨道显示一个线性行为,而平面分析冲激响应的情节与波高陡度nonrepeatable和非闭轨道显示非线性特征。

第二个测试用例是不稳定的地区,与频率比并迫使振幅:测试用例2如图4。图6(一)显示了自由表面高程左边墙的低波陡度的坦克。当励磁参数躺在不稳定的地区,预计一个无界的响应;冲激响应图显示预期的行为。图6 (b)显示相应的平面分析图表。平面分析情节和响应图清楚地表明,非线性效应是主要的。移动网格生成的步骤在这个不稳定的地区在不同的时间参数共振图所示7。仿真的动画中可以看到,在这种情况下动态Instability.gif补充文件;看到在网上补充材料的补充文件http://dx.doi.org/10.1155/2013/252760。

图8也显示了冲激响应时间不稳定地区的历史。低波陡度参数被认为是。图8(一个)显示了频率比冲激响应时间的历史并迫使振幅:测试用例3,如图4。这种情况下对应于第一晃动不稳定模式躺在第二个不稳定地区。根据这一理论,参数共振的影响逐渐减少我们移动到更高的地区不稳定。正如所料,这个不稳定的振幅不快速增长区域相比,第一个不稳定区域响应如图6(一)。首先,冲激响应的振幅开始呈指数级增长的共振模式,,然后,在一定的时间之后,反应逐渐减少。随着振幅的增加,系统的固有频率变化和产生低频振幅振荡振幅下降导致的响应。这种行为叫做解谐效果;在参数激励频率接近某种模式,固有频率的两倍的自由表面表现出的形状振荡模式。随着激励振幅的增加,固有频率的变化,能量可以激发其他邻居节点的输入。如果是稳定的,激动的邻居节点的增加幅度会抑制导致解谐效应。这种解谐效应只在非线性系统可以捕获。对于线性系统(6),响应将总是增加;这种解谐效应不能被捕获。目前有限元非线性数值模型可以有效地捕捉这种解谐效应。图8 (c)展示了各自的平面分析情节。图8 (b)显示左墙柜的冲激响应频率比并迫使振幅:测试用例4,如图4。这种情况下对应于第二晃动不稳定模式躺在第一个不稳定地区。不稳定的第二模式下,振幅不快速增长不稳定在第一模式相比,数字6(一)。一定的时间后,振幅归结显示解谐的效果。在这种情况下,自由表面展示第三晃动振荡模式,而且,随着振幅的增加,输入参数激励激发第一晃动模式,是稳定的,和振幅倒了。类似的自由表面行为是由Frandsen [16]。图8 (d)展示了各自的平面分析情节。反应的平面分析情节显示一个线性系统的行为。图9显示了移动网格生成的响应如图8 (b)在不同的时间步骤。仿真的动画中可以看到,在这种情况下失谐Effect.gif补充文件。

图10显示了测试用例的冲激响应,如图54,频率比并迫使振幅。这个点在于稳定区域但非常接近不稳定区域。图10 ()显示了低波陡度的冲激响应参数,,图10 (b)显示了高的冲激响应波陡度参数,。正如预期的那样,关键是稳定地区和冲激响应是稳定的。

图11显示了测试用例的冲激响应与频率比6并迫使振幅躺在不稳定区域,如图4。一个低陡度参数。关键在于不稳定地区,反应也不稳定。低陡度的反应是足以证明显示振幅的快速增长。

6。结论

坦克的自由表面流体在垂直荷载作用下降低马修方程。自由面进行参数共振的一些组合垂直激励频率和振幅;这种共振的特征是成倍增长的幅度的增长。稳定性图表绘制动态稳定分析的线性方程。一个完全非线性有限元数值模型已经开发了基于势流理论模拟冲激响应。冲激响应模拟不同情况下躺在稳定图。在稳定的地区,自由表面的反应总是有限的。不稳定地区,自由面进行参数共振的特点是一个无界的响应曲面。在不稳定区域,即使很小的作用会导致小初始扰动的增长,如果坦克兴奋足够长的时间。冲激响应与理论预测在具体协议获得稳定的图表。 The present numerical model can capture detuning effects as well. Detuning is due to change of frequencies during the amplitude growth.

补充材料

引用

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