文摘

动态刚度元素分层多层梁弯曲振动分析的发展,随后用于调查两层梁的固有频率和模式配置。使用Euler-Bernoulli弯曲梁理论,利用控制微分方程和代表,频率相关,场变量选择基于这些方程的封闭形式的解决方案。然后施加边界条件制定动态刚度矩阵(DSM),这与谐波不同负载谐波不同梁位移的目的。一个说明性的例子的弯曲振动问题,可变长度的特点是分层区域调查。两个计算机代码,基于传统的有限元法(FEM)和解析解在文献中报道,也开发和用于比较。完整的和有缺陷的梁固有频率和模式从DSM方法提出的获得以及有限元分析结果和那些可用的文学。

1。介绍

分层结构大大增加用于民事、造船、机械、和航空航天结构应用在最近几十年,主要是由于他们的许多有吸引力的功能,如特定刚度高、比强度高,良好的抗弯性、成形性成复杂的形状,等等。替代传统的金属结构组件层压复合材料带来了新的和独特的设计挑战。金属结构主要表现出各向同性材料属性和失效模式。相比之下,复合材料是各向异性,这可能导致更复杂的失效模式。分层是一种常见的失效模式的分层结构。它从两层之间的附着力损失可能出现的结构,从层间应力引起的几何不连续或材料,或从机械载荷。分层的存在会大大降低结构的刚度和强度。减少刚度影响的振动特征结构,如自然的固有频率和振型。固有频率的变化,直接导致刚度的降低,可能导致共振如果减少频率是一个激励频率接近。

灵活的动态建模剥落的多层梁已被许多研究人员感兴趣的一个话题。增加使用叠层复合结构,准确的分层模型的需求也增加。最早的分层模型,制定在1980年代(1),处理两层夹层梁的振动,层是由Euler-Bernoulli弯曲梁理论。上下分层的完整部分段被认为振动freely-independent彼此;因此,这个模型被称为“免费模式”分层。后来发现,免费模式低估了固有频率对off-midplane分层由于无限制的渗透束在一起。这是占1988年(2)通过约束梁顶部和底部的横向位移相等。由此产生的模型,称为“约束模式”分层模型,更准确地预测振动行为off-midplane分层。然而,在建模方面,限制模式只是一种极限情况自由模式的分层模型,它可以派生。因此,在目前的研究中,自由模式分层模型将调查和约束模式分层模型可以以同样的方式。同样值得注意的是,一般来说,层压复合梁可能正交的layerwise材料属性,导致位移耦合行为。本研究中使用的模型假设一个各向同性材料,不容易适用于纤维增强层合复合材料梁,如有,总的来说,是一个扭转和/或具体的反应加上弯曲振动(3- - - - - -5]。在这项研究中使用的模型假设(即一个各向同性材料。,nocoupled response), the proposed technique could be extended—keeping the delamination continuity conditions—to include more realistic composite response.

动态分析的准确性和强迫响应计算,一个灵活的结构很大程度上取决于使用的模态分析方法的可靠性和由此产生的固有频率和模式。有各种数值,semianalytical和分析方法来提取系统的固有频率。传统的有限元法(FEM)有着悠久的历史,模态分析是最常用的方法。有限元是一个通用的系统方法来制定常数元素对于一个给定的系统的质量和刚度矩阵和很容易适应复杂系统包含几何变化或装载。不均匀的几何形状,例如,通常是建模为走,piecewise-uniform配置。传统的有限元公式,基于多项式的形状函数,导致持续的质量和刚度矩阵和结果在一个线性特征值问题的系统的固有频率和模式很容易提取。李(6),在其他研究叠层梁的自由振动分析与分层使用传统的有限元法。基于layerwise理论,运动方程是来自哈密顿原理,有限元方法(FEM)是制定开发的问题,和位置的影响,大小和数量的分层剥落的梁的振动频率进行调查(6]。在过去的十年中,三明治和复合元素已经可以在一些商业软件包,用于分析复合结构的振动。

或者,可以使用semianalytical配方,如所谓的动态有限元(DFE)方法(7,8),进行结构模态分析。混合教育部制定的结果更准确预测方法比传统的有限元建模技术,允许减少网格的大小。的主要原则价值加权剩余积分公式,提供了一个通用系统的建模过程。这个词动态在教育部缩略词是指频率相关形状函数用来表达的位移,进而导致系统的刚度矩阵。DFE技术遵循相同的典型过程制定元素的有限元方程离散到本地域名,然后元素刚度矩阵构造和组装成一个单一的全球矩阵。DFE自由振动分析的应用分层的双层梁已经被作者报道在前面的工作(9]。

分析方法,即动态刚度矩阵(DSM),也被用于振动分析的各向同性10,11[],三明治12- - - - - -14),和复合结构元素(15]和beamstructures [15,16]。DSM方法利用通用运动控制微分方程的封闭解系统的制定一个频率相关刚度矩阵。DSM描述了系统的自由振动和展品惯性和体系的刚度特性。基于这个理论,DSM产生精确的结果,对于简单的结构元素,如均匀梁,只使用一个元素(10,11]。Banerjee和他的同事(10- - - - - -16)已经开发出大量的DSM配方为各种梁配置,其中root-finding Wittrick-Williams提出的技术(W-W) [17)是利用来确定系统的特征值。DSM王等人也被使用。18)来模拟裂纹梁。王(19]研究全厚度裂纹在自由振动的影响模式,空气弹性变形的颤振和复合材料机翼的散度。Borneman et al。20.]给出了显式表达式的DSM耦合的复合梁、展示材料和几何耦合。这些表达式结果用于开发了DSM配方,和双耦合裂缝的复合梁的自由振动进行了研究。鉴于这些考虑,单跨梁的DSM方法可以修改准确分层多层梁模型。DSM-based初步分析一个两层分裂波束laso一直在作者的早期作品(21]。

本文的目的是提出DSM配方为分层两层梁的自由振动分析,使用自由模式分层模型。分层是由两个完整的梁段;一个顶部和底部的部分分层。剥落的地区被完好无损,两侧有界全高度。梁的横向位移由Euler-Bernoulli苗条梁弯曲理论。剪切变形和转动惯量,通常与得票率最高有关梁理论,是被忽视的。开发谐波振动的控制方程和用作DSM的基础发展。连续性的力量,时刻、位移和边坡分层建议的执行,导致系统的DSM。组装矩阵元素的DSM和边界条件的应用结果的非线性特征值问题有缺陷的系统。此外,两个电脑编码,基于传统的有限元法(FEM)和解析解在文献中报道7,8),考虑到相同的连续性条件,也开发和使用作为比较的基准。有限元模型利用三次埃尔米特插值函数近似表达挠曲位移函数,也就是说,字段变量和加权函数(22,23]。DSM和固有频率的有限元模型是用来计算一个说明性的例子问题表现为分层变量区长度。频率值与文献相比。某些系统的模态特性进行了讨论。

2。数学模型

图1显示了一般坐标系统和符号分层梁,总长度 ,完整的梁段长度 1 和 4 、分层长度 ,总高度 1 。这个模型包含了一般分层,可包括叠层复合材料或双层各向同性材料,使用不同的材料和几何属性上下分层平面。因此,顶层有厚度 2 ,杨氏模量 2 、密度 2 ,横截面积 2 ,截面惯性矩 2 。底层对应属性,下标3。分层技巧出现在电台 2 和 3 、扭转、剪切变形、轴向(翘曲效应和轴向变形),和出平面分层被忽略。这个符号后,运动的一般方程 th Euler-Bernoulli梁的自由振动是写成8,9]: 4 4 + 2 2 = 0 , = 1 , … , 4 。 ( 1 ) 对于谐波振荡,横向位移可以描述在频域通过变换 ( ) = 年代 我 n ( ) , ( 2 ) 在哪里 系统的圆频率的激励, 的振幅位移 下标“ ”梁段数字表示。backsubstituting (2)(1),运动方程减少 4 4 − 2 = 0 , = 1 , … , 4 。 ( 3 ) 四阶的通解,齐次微分方程(3)可以被写成以下形式: ( ) = c o 年代 + 年代 我 n + c o 年代 h + 年代 我 n h , ( 4 ) 代表弯曲位移 梁段” ”, 是梁段长度, 代表无量纲频率振荡,定义为: 4 = 2 4 。 ( 5 ) 系数 , , , ( = 1 , … , 4 ) 评估满足梁段的位移连续性要求和系统边界条件。也观察和报告的几位研究人员8,9),将分层到梁模型结果在轴向和横向运动之间的耦合的分层梁段。这主要是由于分层梁端点上的连续性要求分层提示。自从分层提示截面假定保持平面变形后,顶部和底部横梁的两端必须有相同的相对轴向变形后的位置,防止层间滑动。自从中腔(假定为梁的中性轴段)在分层段位于距离的中腔完整的片段,他们不会有相同的轴向变形,除非一些内部轴向力。这施加轴向力是完全派生和讨论2),但是,最终结果将在这里简要介绍完整性。


图1
坐标系统和符号分层复合梁。

考虑一个分层变形后提示。根据图的编号方案1,因为没有外部轴向载荷,梁段顶部和底部必须有内部轴力大小相等,方向相反,也就是说, 3 = − 2 ,用于防止层间滑动(图2), 3 = Λ ∗ 1 2 − 4 3 。 ( 6 ) 的斜率吗 th梁段,“'”代表了分化对梁纵轴, ,参数 Λ ∗ 被定义为 Λ ∗ = 1 2 2 2 3 2 + 3 , ( 7 ) 这可以进一步简化如果横断面形状是已知的。与显式表达式(6)和(7)内部轴向力、弯矩的连续性条件可以推导如下:


图2
分层的脸变形后保持平面。

在车站 = 2 , 3 ,弯矩导致的连续性 一个 t = 2 ∶ 1 2 = 2 2 + 3 2 − 2 3 2 + 3 2 2 , ( 8 ) 一个 t = 3 ∶ 4 3 = 2 3 + 3 3 − 2 3 2 + 3 2 2 。 ( 9 ) 使用表达式(8)和前面的条件(6)和(7)内部轴向力,从梁理论指出,弯矩和剪切力梁段” “与位移有关, ,通过 = − , = 分别可以写 1 1 2 = 2 2 2 + 3 3 2 + Λ 4 3 − 1 2 , ( 1 0 ) 为 = 2 ,在那里 = 2 1 4 2 2 3 2 + 3 。 ( 1 1 )

同样,使用(9) = 3 可以,一个类似的关系。两个边界条件完好梁结束,位移的连续性和山坡,分层提示结果在12个方程。还有一个额外的四个方程产生的弯矩和剪切力的连续性分层提示,总16方程可以用来求解未知数, − 对于每一个梁, = 1 , … , 4 出现在(4)。这个解决方案的方法,发现系统的系数矩阵的基础上,文中提到“系数法(厘米),“被用来预测不同复杂性的不同系统的振动行为(见,例如,7,8])。然而,它仍然是一个相对问题特定的解决方案技术。因此,在下面,这种技术是新配方为一个等价的,然而更容易和更方便适用的DSM配方。

通过连续性条件,可以找到一个耦合关系分层区域内减少的总数从八个未知数( − , = 2 , 3 ,顶部和底部横梁在剥落的地区)至4。特别感兴趣的是位移的连续性条件和边坡分层提示,从顶梁之间的耦合系数,可以派生的底部。源于要求每个梁的位移和边坡,在分层提示,必须相等,梁的横向位移部分2和3可以通过以下链接关系: ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 1 0 1 0 2 2 0 2 2 c o 年代 2 年代 我 n 2 c o 年代 h 2 年代 我 n h 2 − 2 2 年代 我 n 2 2 2 c o 年代 2 2 2 年代 我 n h 2 2 2 c o 年代 h 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 2 2 2 2 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 1 0 1 0 3 3 0 3 3 c o 年代 3 年代 我 n 3 c o 年代 h 3 年代 我 n h 3 − 3 3 年代 我 n 3 3 3 c o 年代 3 3 3 年代 我 n h 3 3 3 c o 年代 h 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 3 3 3 3 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ 。 ( 1 2 ) 同样,使用连续性分层剪切力和力矩的技巧,和梁理论的关系,分层的剪力和弯矩响应提示可以表示成两组系数的函数,写为: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ { } = 2 2 3 3 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ = 1 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 2 2 2 2 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ + 2 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 3 3 3 3 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ , ( 1 3 ) 在哪里 矩阵函数问题的几何和连续性条件,利用梁理论关系和相关系数(4)。使用给定的关系表达式(12)和(13),力向量可以写成一个函数只一组系数(即, = 2 或 = 3 )。在这里,选择了顶梁的系数, 2 − 2 引用参数。因此,从表达式(12)和(13)一个可以写: = , w h e r e = 2 2 2 2 , ( 1 4 ) 此外,从(4),最终的位移和斜坡可以相关系数向量, 通过以下表达式: = , w h e r e = 2 2 2 2 2 3 2 3 。 ( 1 5 ) 最后,使用表达式(14)和(15)导致 = − = , ( 1 6 ) 在哪里 = ( ( ) ] 是频率相关,动态系统的刚度矩阵。标准的装配过程类似于有限元导致系统的非线性特征值问题: ( ) = { 0 } , ( 1 7 ) 在哪里 ( ( ) ] 整体(全球)动态刚度矩阵,然后呢 { } 代表的向量defrees系统的自由。问题的解决方案包括寻找特征值, 和相应的特征向量, { } 满足(17)和边界条件实施使用,例如,惩罚方法(22]。强大的算法存在(即求解一个线性特征值问题。,年代ystem’s natural frequencies), resulting from discrete or lumped mass models. In the case of the nonlinear eigenproblem (17),包括频率相关动态刚度矩阵由教育部或DSM配方,一个可以使用Wittrick-Williams (W-W) root-finding技术(17)确定系统的特征值。W-W算法是一种简单的方法计算系统的固有频率的数量低于给定的试验频率值。方法利用二分法和Sturm序列动态刚度矩阵的属性聚集在任何特定系统的固有频率,对任何所需的精度。这允许一个人解决任何特定频率数量而无需求解所有以前的频率,这是解决线性特征值的要求。因此,相应的模式可以被评估10- - - - - -17,24]。

3所示。数值测试

数值进行检查确认可预测性,提出DSM方法的准确性和实用性。DSM和有限元公式,以及系数法(CM),在Matlab编程代码。解决非线性eigenproblem (17)造成DSM配方,行列式搜索方法;无量纲频率被搜索一个特定的频率, ,这将使全球动态刚度矩阵的行列式为零, | ( ) | = 0 ,其对应的特征向量, { } ,代表了自由度的模式形状与固有频率有关。产生的线性特征值问题传统的有限元公式,解决了使用Matlab“eig”功能。使用无量纲频率(5)计算从系统移除材料依赖性,提供的材料是各向同性的,或者至少与轴正交的与图的笛卡儿坐标系统1。

接下来,惯性的一个佐证,均匀,双层分层梁检查。系统的固有频率与中央分裂,对上腹部( 1 = 4 ),各种长度的60% ( 0 ≤ / ≤ 0 。 6 ) 沿着中腔,发生对称梁和完整的梁段,包围。这个分裂梁配置也被提出和研究[1,2,8,9]。DSM是用来计算各种分层情况下的固有频率和振型。作为比较的基准,结果从引用1,8)——参考(2)的约束模式用于验证解决方案方法。也建议在1),最初几个频率计算分层长度为0.0002 和显示的差异可以忽略不计的固体完好梁检查数值不稳定当分裂长度变得非常小。纵向运动的效果上下部分的分裂地区的频率,检查(1),一直被忽视的例子对这类问题。

表1总结了DSM结果前两个系统的固有频率。DSM结果相比王等人提出的。1和德拉和舒8]和Erdelyi Hashemi [9]。DSM模型包含一共只有三个要素;结束一个完整的元素在每个分层表示的梁段(1和4)获得使用中概述的方法(25,26(图),和一个完全剥落的元素1)。DSM固有频率是在良好的协议与报道引用(1,7),最大差异为0.24%(见表的最后一行1),它可以简单地归因于矩阵操作的广泛使用在DSM和CM方法(CM-based的结果由作者开发的代码(23不在这里公布,他们发现在完美匹配频率数据表和图表在文献报道)。同样值得注意的是,作者发现第二固有频率值之间略有不同(61.67,60.76,55.97,49.00,43.87,41.45,40.93,resp)。报告在表1的1)和相同的数据出现在第五列的表1 (8),引用和报告1)(见第五列的表1)。传统有限元法获得的固有频率基于layerwise理论,据李(6),也提出了比较(最后两列在表1)。优秀的协议被发现在DSM和有限元结果。

表1
固有频率 2 分层梁,分裂发生对称的中部沿中腔[1];DSM,厘米,FD-FEM,标准的有限元模型。

分裂梁有限元法,利用三次埃尔米特(22)插值函数,也是开发(23]。加权残余法应用于微分方程(3管理),双层分层梁的自由振动。剩余了正交域元素的虚拟位移,和两个集成的部分减少位移函数的连续性要求。虚功原理是用于确定元素的系统方程。正如前面介绍的,顶部和底部的微分拉伸层应保持分层后面临平面变形(即。,没有分层的层间滑动面)。一个附加刚度的有限元公式结果项不存在如果层间滑移是包括在内。这种“分层刚度”的影响加强系统分层提示(在梁有限元分裂的更多信息,读者可以参考(23])。表2总结了前两个固有频率获得使用发达(立方Hermite-type)有限元模型(FEM), 6 -与10-element离散的中腔剥落区域跨度(60%)。完整的梁段使用单梁模型元素。从表可以看出2,FEM频率表现出对DSM收敛的结果,随着元素数量的增加。传统有限元法固有频率由李(6)也提出了参考。

表2
固有频率 2 分裂的梁;DSM、FD-FEM和标准的有限元模型。

图3显示前两个双层梁的自然方式,60%的跨度中腔分层,相比一个完整的配置。值得注意的是,传统的有限元模型具有恒定的质量和刚度矩阵的有限数量的总自由度(自由度),也就是说,每个节点的节点数量乘以数量的景深。因此,自然模式从传统的有限元模型获得的固有模式管理线性特征值问题的维度总有限元模型的自由度。与传统的有限元法(如四自由度埃尔米特梁元素),DSM和频率相关有限元矩阵制定基于连续元素假设,介绍了无数的自由度在每个元素(见,例如,11- - - - - -17,25,26])。因此,通过使用这些技术,可以找到额外的振动模式。这些模式是分母的结果的全球刚度矩阵为零,和相应的全球刚度矩阵的行列式接近无穷, | ( ) | → ∞ 。也被称为系统的波兰人,他们能代表真实的物理模式形状,描述结构振动在零节点位移(18,25分层以外的地区。通过简化,发现分母的刚度矩阵,在这种情况下,有以下形式: D E N = c o 年代 2 c o 年代 h 2 − 1 。 ( 1 8 ) 而两极的模式形状并不在这一分析分析重要,相应的固有频率很重要当使用更高级的根源解决技术(18,25]。Zero-nodal-displacement模式也一直在观察和文献中报道的其他结构配置(见,例如,18,24- - - - - -26])。也有某些频率捕获通过系统模态分析的模式形状,而数学,并不代表身体容许位移。这些模式示例第二模式 ( = 3 1 。 0 ) 在目前的研究只是自由模型假设的结果(5]。它们对应于横梁的渗透,如图4,不会出现在一个受限的模式分析。见图4顶部和底部的振动分层梁由于非线性现象,比如将是不可接受的接触,不能在频域建模。类似的不可接受的部分和完全渗透模式也被报道在文献[27]。除了真正的自然振动模式,波兰人和不可接受的渗透模式上面检查,在小振幅振动分离分层梁可能出现在频率模式对应于一个delamination-opening模式。图5显示第一个开放模式分层梁顶梁厚度等于40%的高度完整的梁,60%的跨度,off-midplane分层,得到转换使用DSM和有限元模型(可视化有限元节点)。类似的开放模式也已经在文献中报道(见,例如,7,8])。

(一)
(一)
(b)
(b)
图3
前两个自然模式双层梁集中位于中腔分层,而完整的配置。(元素总量是基于1元素外的每一个完整的片段,和相等的元素部门分层梁段顶部和底部。分层可视化提示和梁端点),(一个):1模式形状,(b):第二模式形状。

图4
不可接受的模式:渗透equi-thickness顶部和底部。在数学上,这种情况不会出现在实际应用;60%的跨度,中腔分层。

图5
第一个开放模式分层梁顶梁厚度等于40%完好梁的高度;60%的跨度,off-midplane分层。

4所示。结论

基于“精确”的动态刚度矩阵(DSM)配方,新元素分层分层梁的自由振动分析了使用自由模式分层模型。DSM元素利用的封闭形式解控制方程系统和“精确”在理论的局限性。对于中央的均匀梁,中腔分层,6-element模型的分层系统提供良好的协议与模型在文献中提出的。还简要地讨论了常规有限元模型。系统自然模式,极行为开放模式中腔和off-midplane分层也被审查了。

确认

作者希望承认NSERC提供的支持,安大略省研究生奖学金(og)和瑞尔森大学,以及评论者对他们有用的评论。