使用代数产品推断的最简单模糊双术（PI / PD）控制器的数学模型

抽象的

本文揭示了最简单的Mamdani PI/PD控制器的数学模型，该控制器在两个输入变量(位移和速度)的话语域(UoD)上使用两个模糊集(N:负，P:正)和三个模糊集(N:负，Z:零，P:负)正)的输出变量UoD (PD时控制输出，PI时增量控制输出)。这些模型的基本组成部分是代数积/最小与、有界和/代数和/最大或、代数积推理、三个线性模糊控制规则和和中心解模糊。研究了所有这些模型的性质。结果表明，这些控制器都是不同的非线性PI/PD控制器，其比例增益和导数增益随输入的变化而变化。本文所提出的模型是全新的，与文献中所报道的模型在性质上有所不同，对社区控制具有重要意义和实用价值。

1.介绍

由于PID控制器简单、成本低，大多数工业过程仍然主要由PID控制器控制。尽管PID控制器的数学模型(传递函数)已为控制界所熟知，但模糊PI/PD控制器的数学建模直到1993年才建立起来。模糊控制器数学模型的可用性及其精确理解对于模糊控制系统的系统分析和综合至关重要。

看着模糊控制器建模的历史发展，一个人会注意到它是ying的文献[1]谁提出了四种不同的模型，为最简单的模糊PI控制器。他透露，“有界差异”推断不适合控制。后来，帕特尔和莫汉[2摩汉和僧侣[3.使用代数产品/最小和有界和/最大或最大或有界和/最大值或有界和/最大值或者呈现三种相同的型号。随后，哈哈 - 阿里和ying [4.使用非线性输入隶属函数开发了模糊PI / PD控制器的数学模型。而且，莫汉和僧侣[5.]通过代数总和或者提供三种型号。最近，莫汉[6.]试图消除一些在一些实际上导致误解和混乱的出版物中发生的一些缺点。

非常重要的是要注意输出成员函数，如图所示1（a），在上述所有出版物中都被考虑用于获取数学模型。虽然这些工作帮助我们找到了所谓最简单模糊控制器模型与多模糊集控制器模型之间的关系[7.[他们不能真正代表最简单的模糊控制器的模型。输出隶属函数应优选地考虑如图所示1（b）得到了最简单的模糊控制器的数学模型。由此，可以得到新的数学模型。

本文的主要目标是继续揭示最简单的模糊PI / PD控制器的数学模型。本文呈现的结果是对社区进行重要而有用的，因为这里开发的一些模型与在文献中已经报道的模型不同。本文组织如下：下一节描述了模糊双术语控制器的主要组成部分。部分3.提供最简单的模糊控制器的数学模型，其属性包含在一节中4.。最后，部分5.总结本文。

2.模糊两项控制器的主成分

由离散时间PI控制器产生的增量控制努力为 虽然由离散时间PD控制器产生的控制力描述 在哪里，错误信号 那， 和分别是离散时间PI和PD控制器的比例，积分和衍生常数，以及是抽样期。模糊双术语控制器的框图如图所示2在这那那， 和代表模糊控制器的标准化因子，以及那那， 和表示的规范化版本那那， 和， 分别。

归一化UOD的使用需要绘制过程输入变量的物理值的刻度转换（在当前情况下和)进入一个规范化域。此外，反规格化映射流程输出变量的规格化值(此处)要么）进入其物理领域。描述输入归一化的归一化因子表示和。类似地，描述输出非正规化的非正规因子由要么。

模糊双术语控制器的主要组成部分是以下描述的模糊和排放模块，控制规则基础和推理引擎。

2.1。模糊化模块

该模块转换过程变量的清晰值(那那要么）进入模糊集，以便使它们与规则中的过程变量的模糊集表示兼容。让和是输入的清晰价值和， 分别。然后，他们的模糊版本是成员的程度和,在那里和语言的价值是由和， 分别。

输入是模糊的- 功能类型和- 功能型隶属函数，如图所示3.，其数学描述由 在哪里要么和要么。注意 总是。标准化输出的成员函数如图所示1（b）。让 这样 然后，梯形缩小到三角形时。

2.2。控制规则基础

以下线性控制规则被认为是模糊PI控制。 可以在Mohan和Sinha中看到上述规则基础的理由[5.］．事实上，上面的规则库也可以按照以下方式编写。 在当前文献中考虑了上述表格中的规则基础[1-5.］．取而代之的是用于在上述规则库中的模糊PD控制。我们考虑“代数产品”或“最小”和操作，它们被定义为 在哪里和。可以通过采用以下之一来执行规则2中的或操作。

有限的总和： 代数和: 最大：

2.3。推理引擎

推理机的基本功能是根据规则库中每条规则的个人贡献来计算总体控制输出值。对于每条规则，使用任意AND运算符找到一个匹配度(对于规则2，也使用任意OR运算符)。基于此匹配度，使用“代数积”推理对规则结果中的控制输出值进行修改。使用代数乘积推理后的引用成员函数和推断成员函数(如图所示)如图所示4.。

所有标准化输入的可能组合和如图所示5.。控制规则用于评估每个区域的适当控制法。模糊控制规则的结果与代数产品/最小和和界限和/代数总和/最大值或者在表中的所有地区给出1。

2.4。Defuzzification模块

它将所有推断控制输出值的集合转换为点向值。去模糊化在这里是用众所周知的CoS方法完成的。根据该方法，归一化控制输出的脆值为 在哪里和分别为对应于推断输出成员函数的面积和质心。从图中很容易计算出以下情况4.：

3.最简单的模糊PI / PD控制器的数学模型

这里，我们呈现使用代数产品/最小的最简单模糊控制器的数学模型，以及界限和/代数总和/最大值或。根据使用的和和或运算符，这些控制器被分类为六种不同的类。

３.１.区域数学模型1-4

第1级
代数产品和代数总和或： 在哪里

2级
代数产品和界限和： 在哪里

3班
AND与最大OR的代数积: 在哪里 与和定义见表2（一种）。

4班
最低和和代数总和或： 在哪里 与那， 和定义见表2（b）。

5班
最小和和有界金额或： 在哪里 与那， 和定义见表2（b）。

6班
最小和最大值或： 在哪里 与那， 和定义见表2（C）。

3.2。地区的数学模型5-8

从表中可以看出1（C），是独立的或使用的操作员。因此，模型也独立于或操作。我们通过代替适当的值，获得两个不同的模型，一个用于代数产品和（第1类/类3），另一个用于最小和（第4级/第6级/第6类），和在3类和第6类模型的表达式中，如表所示3.。

3.3。9-12地区的数学模型

在这种情况下，所有六种控制器都具有如下所述的独特型号。

4.最简单的模糊PI / PD控制器的属性

以上六种控制器都具有一些有趣的性质，本文将对此进行讨论。（1）从部分可以看出3．3，所有控制器都产生相同的最低控制工作，由 （2）所有控制器都会产生零控制努力。（3）所有控制器都产生相同的最大控制力量，给出 （4）所有控制器在线上产生零控制工作。（5）所有控制器的控制图如图所示6.。每个控制器产生的控制工作在任何输入点和对称的对称上是连续的。此外，当输入点的距离远离输入平面的原点时，控制力的大小将单调增加。（6）区域1-4中所有六个控制器的模型方程可以被重写为 在哪里被称为控制器的动态增益，因为随着归一化输入而变化和各不相同。自从是一个非线性函数（不同控制器的不同）和本文中考虑的每个模糊控制器都是不同的非线性控制器。此外，每个型号（控制器）都有自己的最小值价值（称之为）， 最大值(， 和价值。因此，每个模型的控制性能是不同的。

5。结论

六种不同类别的最简单的模糊PI / PD控制器的数学模型已经通过- 功能类型和- 功能型输入隶属功能，代数产品/最小和操作，有界和/代数和/最大值或操作，代数产品推理方法和COS Defuzzzification方法。作为提出了三角隶属函数，推导出的模型也适用于三角输出隶属函数。

据信，在文献中从未报道1级控制器。值得注意的是，对应于第2类案例的控制器，在Patel和Mohan报告[2]，被证明是线性的。然而，本文中的第2类控制器不是这种情况。值得注意的是，在Patel和Mohan中报告的3例对应的控制器对应的控制器[2，不适合控制，因为它已被发现在输入平面的某些点变得不确定。然而，本文中的Class 3控制器并非如此。事实上，第3类控制器也具有其余五个控制器的所有理想控制属性。所以，它非常适合控制。输出成员函数如图所示1（a）(用于2]）和图1（b）（本文使用）可以在最终结果中产生所有这些差异。

模糊控制器的数学模型还取决于所用推理方法的类型。因此，仍有待完成的重要任务是通过“最小”推断和研究其属性来查找数学模型。

参考

1. H. Ying，“使用不同推理方法的最简单的模糊控制器是不同的非线性比例积分控制器，具有可变增益”自动化，卷。29，不。6，PP。1579-1589,1993。查看在：出版商网站|谷歌学者|MathSciNet
2. A. V. Patel和B. M. Mohan，“最简单的模糊PI控制器的分析结构和分析”，自动化，卷。38，不。6，PP。981-993，2002。查看在：出版商网站|谷歌学者|MathSciNet
3. B. M. MOHAN和A. SINHA，“关于通过代数产品T-NOMINED SUM T-Conorm-Mamdani最小推理组合导出的最简单的模糊双级控制器结构”第2届工业和信息系统会议的诉讼程序（ICIIS'07），PP。97-100，Peradeniya，斯里兰卡，2007年8月。查看在：出版商网站|谷歌学者
4. A. HAJ-ALI和H. Ying，“使用非线性输入模糊集和PI或PD控制的模糊控制器之间的输入 - 输出结构关系”国际模糊系统杂志，卷。5，不。1，pp。60-65,2003。查看在：谷歌学者
5. B. M. Mohan和A. Sinha，“最简单的模糊双级控制器：数学模型和稳定性分析”国际自动化与控制杂志，卷。2，不。1，pp。5-21,2008。查看在：谷歌学者
6. B. M. Mohan，“关于模糊双术（PI / PD）控制器的数学建模讨论”国际计算认知杂志，卷。8，不。3，pp。42-44,2010。查看在：谷歌学者
7. H. Ying，“具有线性控制规则的非线性模糊控制器是全局二维多级继电器和局部非线性比例积分控制器的总和”自动化，卷。29，不。2，pp。499-505,1993。查看在：出版商网站|谷歌学者|MathSciNet

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