基于改进极点聚类和遗传算法的MIMO系统降阶

摘要

提出了一种大规模线性动态多输入多输出(MIMO)系统降阶的混合方法。该方法利用改进的极点聚类方法合成了降阶传递函数矩阵的公分母多项式，利用遗传算法使原系统单元和降阶系统单元时间响应的积分平方误差最小，从而计算出分子单元的系数。改进的极点聚类比已有文献中极点聚类技术得到的聚类中心更占优势。该算法是面向计算机的，具有较好的性能。在原高阶系统稳定的情况下，该方法保证了降阶模型的稳定性。通过算例说明了该方法的算法，并将其结果与其他常用的约简方法进行了比较。

1.介绍

每个物理系统都可以转化为数学模型。系统建模的数学过程常常导致以高阶微分方程的形式对过程进行全面的描述，这对于分析或控制器综合都是困难的。因此，找到找到一些同类型但低阶的方程的可能性是有用的，有时是必要的，这些方程可以被认为充分反映所考虑的系统的主要特征。使用高阶线性系统降阶模型的一些原因如下:

(我)为了更好地理解这个系统，(2)为了降低计算复杂度，(3)为了降低硬件的复杂性，(iv)进行可行的控制器设计。文献中有几种方法可用于在频域降低大规模线性MIMO系统的阶数[1- - - - - -4］．此外，还提出了将两种不同约简方法的算法相结合的混合方法[5- - - - - -7］．尽管有几种约简方法，但没有一种方法总能对所有系统给出令人满意的结果。

基于优化的降阶建模已经在工作中提出[8- - - - - -10，其中，分子系数是通过使原系统和简化系统的阶跃响应之间的积分平方误差(ISE)最小来计算的，分母多项式是利用现有的降阶技术得到的。

遗传算法(Genetic Algorithm, GA)是当今科学与工程领域的一种流行的优化技术。这是以达尔文进化论的过程为基础的。通过从一组潜在的解决方案开始，并在多次迭代中更改它们，GA希望收敛到最“适合”的解决方案。这个过程从一组随机产生或选择的潜在解或染色体(通常以位串的形式)开始。所有这些染色体组成一个种群。染色体在几次迭代或世代中进化。利用交叉和突变技术产生新一代(后代)。交叉包括分裂两条染色体，然后将每条染色体的一半与另一对染色体结合。突变涉及翻转染色体的单个位元。然后利用一定的适应度标准对染色体进行评估，最好的染色体被保留，而其他的染色体被丢弃。 This process repeats until one chromosome has the best fitness and thus is taken as the best solution of the problem [11］．

作者提出了一种改进的基于聚类技术概念的极点聚类[12，13将原高阶系统的极点组成簇，然后利用反距离度量准则将每个簇替换为其簇中心。改进的极点聚类技术产生的主导聚类中心比作者[12，13］．

在目前的研究中,作者提出了一种新的混合方法减少线性的顺序MIMO系统中减少的共同分母多项式系统通过使用修改极聚类系数的分子减少模型的元素利用遗传算法计算。

2.还原法

让高阶原始系统的th阶传递函数矩阵“输入和”“输出是 或者让，是一个转移矩阵。

的一般形式可以被视为 在哪里

的简化传递函数矩阵阶拥有““输入和”"输出要合成为 或者让是一个转移矩阵。

的一般形式可以被视为 在哪里

本文的目标是实现一个约简的转移矩阵以(的形式排列3.)，由原高阶传递矩阵(1)，以保留原始高阶系统的重要特征．

此外，还原过程包括以下两个步骤。

步骤1。公分母多项式的确定利用改进的极点聚类技术对简化后的转移矩阵进行了求解。

利用改进的极点聚类实现分母多项式的简要算法如下。

要有真正的极点th集群:,在那里，然后修改集群中心可以通过本文提出的改进极点聚类算法得到。

让a中的复共轭极点对th集群是 在哪里

对复共轭极点的实部和虚部分别采用同一算法，得到修正后的聚类中心为 在哪里和

已开发了一个交互式计算机程序，自动查找修改后的群集中心，程序如下:

（1)让星系团中实极数为（２）集（3)找到极簇中心由（4）集(5）现在找到一个修改过的星团中心(6）是?，如果否，则转步骤(4)，否则转步骤(7)。（7)以修改后的群集中心为例th-cluster作为

为了合成公分母多项式，可能会出现下列情况之一。

案例1。如果所有修改后的聚类中心都是实数，则可以得到th阶约简模型为 在哪里是第一，第二，th-修改的簇中心，分别。

例2。如果所有修改后的簇中心都是复共轭的，则取三阶分母多项式为

例3。如果一些簇中心是实的，而一些是复共轭的，则这种情况成立。

让簇中心是实的，一对簇中心是复共轭的，则阶分母可得为

步骤2。分子的确定简化的转移矩阵使用遗传算法。

本文采用遗传算法实现目标函数的最小化。"这是一个积分平方误差ISE [9的单位阶跃响应，为 在哪里和原高阶系统元件的单位阶跃响应是多少以及降阶模型,分别。系数分子元素用合适的遗传算法参数确定。

为了保证零稳态误差，系数获得的是 遗传算法优化的计算流程图如图所示1．

3.数值例子

为证明所提方法的准确性和实用性，从文献中选取了一个数值例子，并利用所提算法得到了二阶约简模型。

考虑一个六阶系统[2具有用转移矩阵描述的两个输入和两个输出的: 在哪里是公分母多项式。

两极是- 1，- 2，- 3，- 5，- 10，- 20。设第一和第二簇分别包含极−1、−2和−3、−5、−10、−20，得到二阶约简模型。

现在使用步骤1，得到修改后的簇中心为 使用情况1，则二阶约简模型的分母多项式为 一步2将所提算法依次应用于高阶原始MIMO系统的每个元素和约简模型的然后得到了, 因此，最后得到二阶降阶模型为 降阶模型的阶跃响应与原系统相比，如图所示2并将所提出的方法与文献中其他知名的降阶技术进行了比较，如表所示1通过比较原始阶跃响应之间的积分平方误差ISE和减少订单系统。ISE给出为 在那里,和原系统和简化系统的单位阶跃响应分别为th-output与th-input。

4.结论

提出了一种新的混合方法，结合改进的极点聚类和遗传算法的积分平方误差最小化的优点，推导了线性定常MIMO系统的稳定降阶模型。

该方法利用改进的极点聚类方法合成约简传递函数矩阵的公分母多项式，利用遗传算法最小化原系统与约简系统的阶跃响应之间的积分平方误差，计算约简模型的分子系数。该方法简单，坚固，面向计算机。将该算法应用于具有两输入两输出的系统，得到二阶约简模型。原始系统和简化系统的阶跃响应对比如图所示2计算原系统和简化系统之间的ISE，并按表中所示的表格形式进行比较1，由此可见，所提出的方法在质量上可与其他知名的MIMO系统降阶技术相媲美。该方法还保持了模型的稳定性，避免了原始系统和简化系统时间响应之间的稳态误差。该方法可以推广到不稳定系统，并在别处有报道。

参考文献

1. R. Prasad, J. Pal, A. K. Pant，《多项式导数的多变量系统近似》，美国工程师学会学报， 1995年，第76卷，第186-188页。视图:谷歌学术搜索
2. “多变量系统的最小Pade模型简化”，动态系统，测量与控制学报，第106卷，第2期。4，页293-299,1984。视图:谷歌学术搜索
3. 陈灿飞，“基于矩阵连分式的多变量控制系统模型约简”，国际控制杂志，第20卷，第2期。2，页225-238,1974。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
4. M. R. Calfe和M. Healey，“多变量系统的连续分数模型简化技术”，电机工程师学会会刊号，第121卷。5，第393-395页，1974。视图:谷歌学术搜索
5. R. Prasad，“使用routh近似的多变量系统的Pade型模型降阶”，计算机与电气工程第26卷第2期6，页445 - 459,2000。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
6. R. Prasad, A. K. Mittal, and S. P. Sharma，“一种减少多变量系统的混合方法”，美国工程师学会学报，第85卷，第177-181页，2005。视图:谷歌学术搜索
7. 谢晓明，“多变量系统简化的混合方法”，自动控制学报，第20卷，第2期。3，第429-432页，1975年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
8. S. Mukherjee和R. N. Mishra，“使用误差最小化技术的线性多变量系统的降阶建模”，富兰克林研究所杂志号，第325卷。2，第235-245页，1988。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
9. G. Parmar, R. Prasad，和S. Mukherjee，“使用稳定方程法和遗传算法的线性动态系统的阶约简”，计算机、信息、系统科学与工程国际期刊， vol. 1, no. 11，页26-32,2007。视图:谷歌学术搜索
10. S. S. Lamba, R. Gorez，和B. Bandyopadhyay，“多变量系统的步进误差最小化的新简化技术”，国际系统科学杂志第19卷第2期6，页999-1009,1988。视图:谷歌学术搜索
11. 郑勇和S. Kiyooka，“遗传算法应用:董志东博士作业#2”，1999年11月，http://www.me.uvic.ca/~zdong/courses/mech620/GA_App.PDF．视图:谷歌学术搜索
12. J. Pal, A. K. Sinha和N. K. Sinha，“使用极点聚类和时间矩匹配的降阶建模”，美国工程师学会学报，第76卷，第1-6页，1995。视图:谷歌学术搜索
13. a . K. Sinha和J. Pal，“使用聚类技术的基于模拟的降阶建模”，计算机与电气工程，第16卷，第5期。3，第159-169页，1990。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
14. R.普拉萨德和J.帕尔，“连续分数展开用于线性多变量系统的稳定约简”，美国工程师学会学报， 1991年第72卷，第43-47页。视图:谷歌学术搜索
15. M. G. Safonov和R. Y. Chiang，“鲁棒控制的模型约简:一种schur相对误差方法”，国际自适应控制与信号处理杂志，第2卷，第2期4，页259-272,1988。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索

版权

版权所有©2009 c.b. Vishwakarma和R. Prasad。这是一篇发布在知识共享署名许可协议，允许在任何媒介上不受限制地使用、传播和复制，但必须正确引用原作。