文摘

声学超材料已经被研究者广泛关注因其优异的吸声特性。传统的不确定性分析方法的响应分析声学超材料和证据变量有局限性。焦的过度时间重复的极端分析元素严重阻碍了证据理论的实际应用。降低计算成本的不确定性量化声学超材料根据证据理论,文中针对减少空间提出了证据理论方法(RSO-ETM)。RSO-ETM,简化的代理模型首先是由一个修改适应任意正交多项式(MAAOP)扩张方法,然后,响应面检查的单调性来减少空间。随后,牛顿迭代法和转换边界方法用于获得极端点的减少空间,通过它的边界在每个焦点元素很容易获得响应。通过使用RSO-ETM,优化为每个焦点元素是可以避免的,和相应的计算成本降低。两个数学例子和声学问题是用来说明方法的实用性。

1。介绍

space-coiled声学超材料的能力完全吸收中低频率声音噪声在亚波长厚度吸引了很多兴趣。然而,在工程问题,声学超材料的不确定性是不可避免的,因为在制造业的潜在错误,装配,和测量以及环境参数的变化。在这,数值分析的预测结果没有考虑不确定性可能明显偏离实际的反应,并进一步优化设计,声学超材料的工作可能会产生不可靠的结果(1,2]。因此,不确定性因素的影响应该适当考虑声学超材料的吸音系数在数值分析来满足工程设计要求的space-coiled声学超材料。

一般来说,可分为随机不确定性或认知3,4]。随机不确定性表示一个系统或结构固有的物理特性测量和分析通过使用概率模型,其中包括一组成熟的不确定性分析方法(5- - - - - -8]。认知不确定性是无法获得相关系统准确的概率信息由于缺乏信息。有效地描述认知不确定性,许多认知不确定性模型已经发展近年来,主要包括凸模型(9,10],模糊模型[11),间隔模型(12,13),和证据理论模型(14,15]。在这些认知不确定性模型中,证据理论模型可以合理地描述和处理各种不精确概率信息,不可靠的信息,甚至相互矛盾的信息,拥有更强大的处理能力比其他模型(16]。与此同时,随机和区间模型可以认为是证据理论模型在特定条件下。因此,证据理论模型已被广泛用于处理工程问题包括不确定性(17- - - - - -21]。

然而,通过证据理论产生重大不确定性量化计算负担,因为证据变量是由很多个子区间。因此,需要开发一个高效和准确evidence-theory-based不确定性分析是至关重要的。最近,许多研究人员已经改进的证据理论的计算效率。Bae et al。22)建立了代理模型解决结构性故障域来减少不必要的计算。此外,每个焦点元素的近似响应通过区间分析技术可以减少计算负担(23- - - - - -25]。Zhang et al。26]构造一阶和二阶近似本地代理模型只考虑最可能的故障点,以避免不必要的焦点元素的计算。然而,这个局部近似代理模型技术可以带来沉重的计算成本,同时解决多变量和多焦点的元素,这个方法必须满足高可靠性的指标。随后,与成熟的全球代理模型技术,多焦点的元素通过证据理论的不确定性量化模型获得较高的计算效率。Bae et al。27)开发了一种新的多点近似方法来构造一个基于证据理论的数值分析模型。Dellnitz et al。28]介绍了分区域分工是指判断极限状态方程之间的位置关系和更大的不确定性区域焦点元素的大量减少,需要计算在极端的价值分析。Zhang et al。29日]探索代理模型分析技术基于径向基函数。

多项式展开法(30.,31日)是另一个方法,吸引了相当多的研究兴趣对其应用证据理论基础数值分析,因为它具有强大的功能和独特的优势解决不确定性问题。阴et al。32使用雅可比矩阵扩张)进行不确定性分析方法基于最优多项式。埃尔德雷德et al。33)近似系统响应采用勒让德多项式展开法和Smolyak稀疏网格算法。陈等人。34)提出了一种不确定性分析方法通过使用盖根堡多项式扩张。因此,从现有的文献,可以得出的结论是,全球近似技术相比,计算效率方面具有显著的优势与当地的近似方法。此外,应用正交多项式扩张,开发一个全球性的代理模型,适用于复杂的工程问题。

一般来说,evidence-theory-based不确定性分析技术进展顺利。然而,一些问题仍然是开放的,这限制了其工程设计的适用性。值得注意的是,计算成本遭受极端分析在每个焦点元素将与焦点元素的数量急剧增加,甚至代理模型来近似的反应感兴趣。在实际工程中,更多的焦点元素总是要求模型的不确定性,这将造成沉重的计算负担的不确定性量化证据理论。因此,一个高效、准确的不确定性分析方法对证据的不确定性分析变量是迫切需要。

此外,声学超材料的优秀品质在社会引起很大的关注,许多学者进行了相关的研究工作35- - - - - -39]。参数不确定性的影响space-coiled声学超材料的吸音性能,然而,还没有被调查,目前缺乏分析和优化方法的吸音性能space-coiled声学超材料考虑认知的不确定性。本研究的目的是探索一种有效的证据理论方法space-coiled声学超材料的不确定性分析。首先,建立代理模型的适应性修改任意正交多项式(MAAOP)展开法。随后,减少空间文中针对证据理论方法(RSO-ETM)提出了减少计算参与下的极限分析多焦点的元素。突出的强度RSO-ETM,传统的优化ETM (O-ETM)作为参考。在这方面,遗传算法(GA) [40被认为是。

本文的其余部分的结构如下:部分2主要描述了证据理论的基本原理,通过贝叶斯证据和焦点元素表达结构,解释说,焦点元素不能相互重叠,完全是互补的。部分3解释了RSO-ETM提出的详细过程。部分4验证的效率和准确性RSO-ETM在数学和工程应用实例。部分5总结了本研究的创新。

2。根据证据理论的不确定性分析

2.1。证据理论的基本概念模型

Dempster-Shafer理论(41,42)是首次提出通过法官和沙佛,目前也被称为证据理论。证据理论是由一个证据的空间 ,在哪里 表示普遍设置, 表示的集合相互独立的基本命题 ,和 是基本概率赋值(BPA)。m:一个映射函数 是用来表示每个事件的BPA。一个子集 定义,BPA可以制定如下:

在焦点的元素,每个子集 满足 。经典,双酚a的道路从专家的角度得到了和实验数据,表示不确定性领域的焦点元素的比例。

由于证据变量的离散特征,不能提供准确概率概率模型所提供的信息,两个指标称为信仰和合理性措施是用来描述系统响应的不确定性。下的贝尔和Pl命题 计算如下:

在方程(2), 最少的可能性的总和相关命题吗 和代表的下边界主张 ,这是表示为双酚a的总和,所有的基本命题吗 包含在一个命题吗 。 是上边界,计算求和的BPA完全或部分中包含命题的命题 。真正的概率曲线中包含一个命题的降低和上界曲线描述通过贝尔和Pl,分别。

2.2。响应极限状态函数的评估证据变量

它可以观察到的部分2。1每个证据变量可以被描述为一个或多个间隔。例如,一个变量 可以表示如下: 在哪里 代表了 焦点的元素 , 表示的分布式双酚a ,和 是焦点的元素的数量吗 。 可以充分显示不准确造成无法控制的错误概率信息。此外,当维数超过一个,可能发生重叠或缺口。

为问维向量 ,联合焦点元素的总数 ,,可以定义如下: 每个关节的焦点元素属于所有变量和不确定的笛卡儿积可以表示如下:

BPA是这样计算的方法计算联合概率密度函数(PDF)概率论。在独立的假设下,BPA可以确定如下:

假设问维向量的极限状态函数 ,输出 计算了各关节局部元素 被表示为一个时间间隔。明确的表达 在 定义如下:

根据方程(7),贝尔和Pl给出方程(2)和(6)。的期望和方差的方程 给出如下:

当一个复杂系统的不确定性量化使用证据理论,构建代理模型的响应系统和极值分析方程(7)构成最大计算挑战。摘要降低空间文中针对证据理论方法(RSO-ETM)是发达国家降低计算成本的极值分析焦点元素。

3所示。RSO-ETM与认知不确定性不确定性分析

3.1。RSO-ETM框架

确定系统响应在证据理论中,有必要计算响应在每个关节焦点元素的边界。没有显式的函数极值分析,然而,有一个惊人庞大的计算成本在实际工程应用中。AOP是用来近似计算模型由于其强大的处理不确定性问题的能力。这首先开发一个修改适应任意正交多项式(MAAOP)展开法。此外,极值计算为每个焦点元素应该执行使用传统证据理论方法。相当数量的焦点元素通常需要处理不确定性,因此,一个伟大的计算成本将导致极端反应的分析,即使响应一个简单的代理模型来近似。因此,绕过巨大的极端计算费用分析,文中针对数值方法命名为减少空间ETM (RSO-ETM)提出,这避免了耗时的传统O-ETM极值计算。

根据文献[43),极端值计算主要包括以下两个步骤:(1)内的响应值在临界点的计算域定义和(2)计算的边界条件极值的定义领域。由于变量的单调性在实际工程问题中,首先检查单调性分析全球防止极端点的计算边界重复在极值分析过程。最大/最小值计算出的焦点元素然后结合相关的极端点单调性分析的结果。

基于这个想法,首先由MAAOP响应面,在全球范围检查响应曲面的单调性。随后,牛顿迭代法(44]介绍了全球极端点的计算,而转换边界的计算方法是开发边界极端点,所有基于单调性分析的结果。的详细过程RSO-ETM将推导出下一个部分。为了更清楚的看到区别RSO-ETM O-ETM, RSO-ETM框架和O-ETM如图1。


图1
RSO-ETM和O-ETM的框架。
3.2。MAAOP建立代理模型

最近提出的适应性展开法(45)可以大大提高计算效率。在本节中,修改后的自适应任意正交多项式(MAAOP)扩展方法。MAAOP的最初反应表面是一个各向异性的高阶代理模型,而不是一个一阶扩张,允许一个大数量的减少自适应迭代。

对于单变量问题,近似函数 由AOP可以表示如下: 在哪里 可以确定如下: 在哪里 可以确定在文献[46]。AOP扩展多维问题可以写成 在哪里 是一个k维向量, ( )代表了保留订单, 表示膨胀系数, 代表了多维多项式的基础。权函数的多项式的基础上,可以由(46]: 在哪里 是 焦点元素的证据变量 和 和 是上下界。更详细的证据基于理论的多项式混沌可以在文献[46]。

建立代理模型与高订单同时减少自适应迭代的数量扩张,而不是最初的一阶扩张,一个各向异性的高阶代理模型 是生成的。的 可以通过使用初始最优扩张所有单一变量的顺序。基于自适应抽样过程的细节 介绍了文献[47]。

的权向量k变量被定义为证据 。在一个迭代,扩展秩序 每个变量的基础上 表示如下: 在哪里 , 表明增加参数, 表示的总和 ,和 表示如下:

3.3。单调性分析

为了避免不必要的计算边界极端点,有必要减少空间。节3.1的建设由MAAOP已经建立代理模型计算。基于方程(11),偏导数的计算 表示如下: 在哪里 表示如下:

遗传算法用于评估响应面,因为它的单调性快速随机搜索能力和简单的过程。响应面单调性的评估标准在一个特定的领域如下:

这个变量是单调,如果其偏导数满足方程(18)。图2显示了极端的环境变量在不同数量的单调。


图2
极端点的情况下在不同数量的单调变量。
3.4。极端的价值分析

这部分执行极端值的响应面分析n维空间。空间缩小在计算边界极值点与单调性分析部分3.3,这将进一步削弱极端的边界点的计算。

3.4.1。牛顿迭代法的计算全球极端点

找到最大的临界点是第一步分析在多元函数的问题。根据里德和Beegle [48),可以通过以下步骤定义的临界点。

我们假设响应面 ,域被定义为不确定性 ;一个临界点 被认为是,梯度 为零,也可能不存在。响应值 叫做临界值。的表达公式表示为所有关键的集合点 在哪里 表明梯度的响应面 。假设有一个n维变量向量,然后的表达 可以表示为 在哪里 海赛矩阵,具体表现是什么

一般数值方法求解多元方程组,从方程(20.)在计算的过程中关键点是耗时。有界和连续反应表面,这一步可以用来评估和识别临界点极端点,和相应的最大/最小值经常极端点和端点来实现。因此,而不是考虑到临界点在全球领域,迭代方法称为牛顿迭代法(44是直接应用于解决极端点。

3.4.2。转换边界边界极端点的计算方法

极端点的边界仍然悬而未决,即使使用的一般过程确定的最大/最小值的响应面多变量问题。尚未有任何发表的研究焦点元素的边界极限点。确定焦点元素的边界极端点,提出转换边界的方法。

极端的边界点估计基于域的边界在不同情况下生成的。根据科文和Szczarba [43边界点的定义,定义如下。

让 。一个点 被认为是一个边界点的 当每一个打开磁盘 位于 包含点在 和补充的 。的边界 ,用 ,所有边界点的集合,表示为 在哪里 是内部的 包括点集 除了边界点,被描述为

如果一组 包含所有边界点,这意味着 。如果磁盘B存在这样 ,的边缘点集D成为边界点。集合的边界曲线描述的过渡从内到外,当一组是一个连续的区域,定义在方程(22)。图3显示了边界下的极端点的各种边界已建成的 维空间的考虑。图4展示了各种边界需要考虑的 - - - - - -维空间与k(k> 0)单调变量。从数据3和4极端的边界点介绍了一维及多维边界情况下,分别。


图3
边界考虑n维空间。

图4
边界考虑 - - - - - -维空间。

在一维的边界,一个变量被当作一个不确定的未知变量,而其他变量被视为常数,和焦边值的元素是由其它变量的常量值。假设一个 - - - - - -维空间与k单调的变量,其他证据的常量值变量除了 证据变量下一个 - - - - - -维空间来标示 在哪里 代表一个常量值 - - - - - -维空间, 表示当前的单变量的, 代表了焦点元素值 证据变量。的总数 下 变量可以表示成证据 在哪里 证据表明焦点元素的数量在当前变量。

考虑到边界是由一位身份不明的不确定证据变量,极端点的边界应该由下的偏导数计算 用例。只有极端的边界点多维边界应该进一步研究因为极端的边界分维n维的界限已经被考虑。

由于尺寸限制的计算极值使用传统的数学方法,使用牛顿迭代法解出极端的边界点。

有 情况下 - - - - - -维的边界。其他未知的不确定的常量值变量描述如下: 在哪里 代表了目前被认为证据变量。基于方程(26),常量值的总数可以表示为

总之,这个转换的过程边界方法算法所示1。

输入:维n,焦点元素的每个证据变量k单变量的
输出:边界极端点
(1) 计算边界极端点在一维的边界 情况下从方程(24)和(25)
(2) 在多维边界计算边界极限点 情况下从方程(26)和(27)
(3) 分配极端点的步骤1 - 2和相应的共同焦点元素
算法1
转换边界的方法。
3.5。反应评估证据变量

假设响应表面是有界的,连续的,我们计算的响应值在全球极端点分段3.4。1在分段,极端的边界点3.4。2焦点元素的顶点点,他们的大小进行比较,以确定的最大/最小值响应。焦的极端点元素在三维空间图所示5。


图5
极端的焦点元素在三维问题。

见图5,下列情形应该占在确定焦点元素的最大/最小值。计算焦点元素的最大/最小响应在不同情况下表所示1。在一个简短的总结,这些证据的措施响应贝尔和Pl从方程(2),期望和方差方程(8)和(9)可以获得。RSO-ETM执行过程的详细步骤如图所示6。

表1
反应评估联合焦点元素不同的情况下。

图6
RSO-ETM执行过程的详细步骤。

4所示。数值例子

两个数学的例子和一个工程实例用于验证的准确性和效率RSO-ETM极值分析的焦点元素的性能。突出RSO-ETM的有效性和准确性,O-ETM介绍作为参考解决方案。遗传算法被认为是在这方面。在本节中,两个问题的多变量和多焦点的元素被认为演示RSO-ETM的优越的精度和效率。

4.1。数学的例子
以下4.4.1。显式数值函数

为了简化计算,假设每个证据变量是独立的,每个证据变量组成的和不确定性的领域 内定义 。表2显示每种情况的显函数。表3显示的焦点元素和BPA信息证据变量两种情况下,间隔和分配BPA的两种情况下是相同的不同数量的焦点元素。

表2
显式数值函数在不同的情况下。
表3
分配的基本概率赋值(BPA)不同数量的焦点元素。
4.1.2。多变量问题

响应指标的期望和方差方程(8)和(9)可以用来证实该方法的影响而言,计算效率和精度。RSO-ETM和O-ETM可用于确定两种情况在表的期望和方差2在不同的值米;为了简化操作,并选择 。表4显示了两个单调变量情况下表2。期望和方差的两种情况下不同的值米如图7基于单调性分析的结果。

表4
不同变量的单调性的情况下1和2。
(一)
(一)
(b)
(b)
图7
期望和方差的两种情况下不同的值米案例1:(a)和(b)例2。

图7显示了RSO-ETM可以达到完美的性能测量的期望和方差。获得的期望和方差的RSO-ETM大约恰逢O-ETM的拟合程度。从全球的角度来看,该RSO-ETM可以达到一个很好的精度,针对响应的期望和方差。

进一步证明该方法可以显著提高计算效率不牺牲计算精度、计算时间计算RSO-ETM和O-ETM在不同的值米如图8。然而,从图可以看出8更多的时间是花在米= 1。这是由于观察表4只有一个单变量的一个较小的空间减少。因此,更多的边界被认为,这增加的时间需要计算边界极端点,但计算时间仍然是可接受的。

(一)
(一)
(b)
(b)
图8
计算时间计算RSO-ETM和O-ETM在不同的值米案例1:(a)和(b)例2。
4.1.3。多焦点的元素问题

极值的两种情况下的焦点元素表2在 可以通过计算部分中描述的RSO-ETM吗3。基于分段的多变量问题的结果4.1.2,我们选择 两种情况下的简化操作。低中包含真正的概率曲线是由贝尔和Pl和上界曲线,真命题的不确定性的程度可以推导出。累积的信念函数(CBF)和累积可信性函数(CPF)可以表示为 在哪里 是阈值 指的是反应如吸音系数。

因此,响应指数贝尔和Pl方程(2在方程()和CBF和论坛28)是用来表示证据理论的不确定性。标明RSO-ETM的优越性,计算的结果O-ETM可以用作比较。图9显示了响应指标CBF和CPF通过RSO-ETM和O-ETM两种情况计算 。

(一)
(一)
(b)
(b)
图9
累积信念函数(CBF)和累积可信性函数(CPF)获得的RSO-ETM O-ETM: (a)案例1和(b)例2。

图9曲线表明,CBF和公积金差距窄焦点元素占了。这是由于这样的事实,更多的概率信息如果有更多的焦点元素。计算的CBF和CPF曲线RSO-ETM完全由O-ETM拟合曲线,证明大RSO-ETM的准确性。

RSO-ETM进一步测量计算的速度,数字10显示了极端的时间消耗分析两种情况下的焦点元素 。通过测量的数据图10彻底,我们发现极限分析的速度比O-ETM RSO-ETM非常快,这表明RSO-ETM的效率就越高。为了进一步说明该方法在计算效率的优点,数字11显示计算时间比率 RSO-ETM和O-ETM之间 。 代表RSO-ETM之间的比率的计算时间和O-ETM极值分析。它可以表明该方法在计算效率的优势更突出O-ETM数量增加的焦点元素在图11。

(一)
(一)
(b)
(b)
图10
时间消耗的RSO-ETM O-ETM的两种情况:(a)案例1和(b)例2。

图11
的 RSO-ETM之间的计算时间和O-ETM两种情况 。
4.2。工程应用
4.2.1。准备建设Space-Coiled声学超材料使用有限元方法

图12显示了一个space-coiled吸音结构包括四个吸音结构单元,它由两个二阶吸音单元。吸音结构的建模和边界条件设置利用COMSOL多重物理量6.0软件。表5显示了吸音结构的大小参数包括四个吸音结构单位。表达的各种厚度的吸音结构板的厚度 。


图12
space-coiled吸音结构的有限元模型。
表5
每个吸音装置的尺寸参数。

基于完善space-coiled吸音结构如图12、吸音系数结构频率为300至1100赫兹研究利用COMSOL多重物理量6.0。图13描述了吸音系数曲线结构的频率为300至1100赫兹通过声学有限元法。


图13
space-coiled吸音结构的吸声系数。

见图13的叠加吸音性能可用当多个multiorder共鸣盘吸音结构同时放在一起。有效吸收声能在一个广泛的频率范围大大得益于卷吸音结构的能力达到最佳吸收峰在不同的频率。

4.2.2。不确定性分析的声学超材料通过MAAOP扩张

某些尺寸错误的结构在加工和制造。单一吸收单元的边长和参数,如多孔板的直径和厚度的影响。此外,温度是一个无法控制的环境因素。获得理想的吸音的品质在一个普遍严重的环境,温度T多孔板的厚度 ,多孔板直径的误差 ,和边长度 单一吸收单位选为证据变量。根据实际工程的经验,以下影响关系可以用来说明温度的波动 影响声音的速度c和空气密度 , 的单位 °C。频率间隔设置为15赫兹,响应面决定的一个特定频率的吸声系数的范围550 - 850赫兹。根据ETM MAAOP代理模型可以用来构造显函数 从方程(12), 表示在图结构的反应12在集成点,直接可以从声学有限元法通过COMSOL多重物理量6.0。MAAOP扩张可以用来直接获得声学问题的证据的不确定性特征变量。这种结构的不确定性特征测量使用贝尔,Pl,期望和方差。假设一个区间 ,贝尔( )和Pl ( )可以从方程(计算2);期望和方差可以得到方程(8)和(9)。

4.2.3。数值分析结果与讨论

结合研究区3space-coiled吸音结构的有限元模型从COMSOL多重物理量与MATLAB 6.0可以用来检查一个特定频率的吸声系数的反应在550 - 850赫兹的范围从图13。表6显示了认为BPAs证据变量。扩展的强度RSO-ETM进一步清晰,人物14显示了期望和方差的RSO-ETM和O-ETM 550 - 850赫兹。

表6
BPAs space-coiled吸音结构的证据变量。
(一)
(一)
(b)
(b)
图14
期望和方差RSO-ETM和O-ETM给定频率下的吸声系数。

结果如图14间隔,可以归因于缺乏精确的概率信息与证据变量。期望和方差计算RSO-ETM O-ETM图14几乎完全相同,适用于预测space-coiled吸音结构的响应变量与证据。在工程实际问题中,计算时间是一个重要指标。为了验证计算效率,图15显示了执行时间计算RSO-ETM O-ETM在给定的频率范围。计算结果通过MATLAB R2018b和COMSOL多重物理量与MATLAB 6.0英特尔(R) (TM) 19 - 10900 k的核心(电子邮件保护)GHz。它可以看到从图15比O-ETM RSO-ETM是计算效率更高。


图15
执行时间的RSO-ETM和O-ETM space-coiled吸音结构在给定的频率范围。

5。结论

从声学超材料有不确定性,声学性能极大地改变了不确定性时叠加。本研究旨在介绍降低空间文中针对证据理论方法,提出了评价space-coiled声学超材料的响应变量与证据。两个数学例子和space-coiled吸音结构评估RSO-ETM测量的效率和精度,而收益率以下结论:(1)与O-ETM相比,计算效率极值分析通过RSO-ETM显著更高。这是因为,在RSO-ETM,空间可以减少单调性分析。随后,数值迭代法用于计算而不是GA的极值点。该方法考虑的事实没有极点在关节局部元素。与O-ETM相比,它减少了不必要的焦点元素的极值计算。(2)CBF和CPF曲线以及两个数学期望和方差范围和计算的工程应用例子RSO-ETM由O-ETM几乎相同的计算,证明这一事实RSO-ETM可以大大提高计算效率,而不牺牲准确性。

RSO-ETM方法从而可以得出作为一个实用的基于证据理论的不确定性分析方法,也可以使用在工程应用中除了由声学问题的耦合物理模型问题。

数据可用性

数据支持当前的研究包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作是国家重点支持的R & D项目(批准号2022 yff0609402)。