文摘
分数微分模型在许多应用程序中扮演了重要的角色如扩散、潜在概率理论和散射理论。在这项研究中,空间和时间variable-order部分扩散模型用于医学图像去噪。有限差分方法是实现该模型的数值解。提出了数值方法的收敛性和稳定性。variable-order模型的实验结果进行了分析与分级和integer-order扩散模型。这是注意到峰值信噪比(PSNR)值是该模型大大增加。
1。介绍
分数微分方程领域引起巨大的考虑对理论(1- - - - - -3和应用研究4- - - - - -6]。分数微分方程发现一个有效的工具用于某些数学模型如水文(7)、金融(8)、物理(9),和信号和图像处理10- - - - - -14]。各种理论的部分积分和衍生品是由许多作者,例如,Riemann-Liouville [2),Grnwald [15),卡普托(16),和黎兹(17]。
许多研究人员专注于基于全变差的图像去噪,小波变换,双边滤波器,梯度直方图,部分 ,各向异性扩散滤波和非算法(18- - - - - -25]。然而,使用全变差的缺点,二阶,和fourth-order-based图像去噪模型遭受楼梯的效果,太多的平滑度和保存在今年。integer-order部分衍生品不是有效的在指定一些复杂的扩散过程。所以,我们的工作旨在进一步发展variable-order分级模型在图像去噪中克服上述问题。
如今,variable-order分数微积分特别承认作为一个有用的和充满希望的方法建模的扩散过程。variable-order运营商可以追溯的开创性工作。陈等人。26]介绍了Caputo-fractional衍生品使用小波变换去除噪声信号。近年来,对解决multivariable-order部分型积分微分方程的有限差分技术介绍使用伯恩斯坦基函数一起Newton-Cotes搭配点(27]。此外,他们发现一个数值方案解决variable-order扩散波和微分方程。此外,在28),郭等人提出的三维张量algebra-based下部分全变差模型图像去噪。最近,在29日],Garrappa等人调查的主要属性新兴variable-order运营商和讨论了一些实际应用的variable-order Scarpi积分和导数。顾et al。30.)提出了一个无条件稳定的隐式差分格式求解广义时空变系数部分扩散方程的数值模式,利用 - - - - - -类型的广义Caputo-fractional导数公式离散化和二次加权和Gr转移的时间nwald差异在空间离散化公式。同时,方et al。31日)开发出一种快速有限差分方法求解一类variable-order时间部分扩散方程。在[32],顾和吴认为一类沃尔泰拉偏积分微分的问题,提出了一种新的迭代算法对于parallel-in-time模式(品脱)计算。
在这项研究中,我们研究了variable-order部分扩散模型的医学图像去噪使用卡普托有限差分方案提出的问题。实验证明利用variable-order分级模型,达到最高的PSNR值,这表明提高医学图像的质量。这个研究是有组织的如下。节2,一些类型的variable-order部分衍生品是探索。节3该模型的离散近似。节4,这个模型的稳定性和收敛性进行了讨论。节5,数值结果与部分和integer-order扩散模型。本研究得出结论6进一步的研究方向。
2。Variable-Order部分运营商
研究分数阶微积分追求长时间在生物医学等不同学科,计算生物学,经济学,和控制工程。古典微积分扩展了分数阶微积分的定义,在订单不需要正整数。另一方面,variable-order微积分是一个世袭的整数阶微积分。在这方面,订单可以使用在任何变量,如时间和空间变量或其他变量的系统。的基本定义variable-order部分衍生品提供了下面的续集。
定义1(见[16])。她对时间的导数variable-order定义如下: 在哪里 。
定义2(见[16])。她对空间的导数variable-order定义如下: 在哪里 。
3所示。Variable-Order部分扩散Equation-Based图像去噪
考虑是一个封闭的领域 。噪声图像的格式将数学建模为 在哪里 和 分别观察到的和干净的图像, 是高斯噪声,需要一个矩形的位置图像域 。拟议的工作接近所需的清廉形象 通过求解以下variable-order部分扩散方程: 在哪里 , ,和 , ,在哪里 , , ,和 。定义 在情况下 , 随着网格大小 - - - - - -方向, 随着网格大小 - - - - - -方向, ,在哪里是一个图像域初始和诺伊曼边界条件:
现在,上面的诺伊曼边界条件进行离散 在哪里 图像的尺寸吗 。我们使用这些诺伊曼边界条件来保存图像边界的连续性。可以获得图像的边界值反映了图像区域内最接近的样品。提出问题的解决方案可以通过时间和空间变量的离散化。空间的离散化Caputo-type variable-order分数导数可以表示如下33]。 在哪里 和 。 在哪里 和 。
同样,离散化的Caputo-type variable-order时间分数导数可以表示如下2]。 在哪里 和 。
离散化方程(4)以下形式:
现在,方程(8)可以写成
方程(9)可以在输入时间 以矩阵形式: 在哪里 , ,和 是一个矩阵的系数:
的计算解决方案和描述了从确定初始和对称边界条件(3)和(4)。解决方案(8)是图像去噪。
该方法的实现是表示在接下来的算法1:
|
4所示。稳定性和收敛性分析
4.1。稳定性分析
考虑和数值解(6给出的初始值和 ,分别。
定理1。显式近似方法定义为(9)variable-order时空扩散方程(2)是稳定的,也就是说, 在哪里是一个正数独立的 , ,和 。
证明。定义
。从(6),
在哪里
我们注意到,
对于任何
。
让
。从方程(15),
。然后,
通过数学归纳法的稳定性分析(16]。从(1),
,其中C是一个常数。
从(11),
,这证明了显式方案是稳定的。如果有一个扰动
,那么小的变化不会导致大误差在数值解。
4.2。收敛性分析
定理2。让 方程的数值解(4)- (6在网格点 和计算方程(5)- (6),(8)。然后,有一个积极的常数C,这样 ,在哪里 ,和 。
证明。定义
和
。使用
和
,替换为方程(16)导致
和
,在哪里是一个积极的常数
。使用数学归纳法,我们提供的收敛分析如下。为
,
我们有
,
假设
,,让
因为
因此,有一个常数C,
。如果
是有限的。
因此,我们看到的
,和作为
,和0的方式方法
倾向于
。这证明收敛于作为
,和趋向于零(34]。因此,结论。
5。实验结果和讨论
这个variable-order模型估计的影响通过计算数值指标PSNR值,这是常用的找到处理图像的质量并计算高质量的图像恢复的坚定。描述的PSNR值是通过两幅图像的均方误差(MSE),也就是说,(损坏的图像)(分别为)去噪图像。
去噪图像的PSNR值和均方误差值确定,作为一个可计算的模型的质量进行比较,分数阶,integer-order扩散模型(表1)。图1显示之间的关系 ,和PSNR值。在这里,= 250,即250次迭代后,我们得到结果图像输入图像的非常接近。表中给出了计算时间(CPU)1。为此,我们在基准图像数据库上执行一个嘈杂的图像是由使用分数阶进化和integer-order扩散模型和该模型( )分数阶导数的发现将达到拐点没有搬迁。的参数显示高斯噪声,图像中每个像素将被从原来的值更改少量。终止迭代公式 。我们研究了 数值实验。在实验和数值分析,我们使用MATLAB R2012a的版本。该模型研究了四种类型的医学图像,即10月(光学相干断层扫描)的形象,MRI(磁共振图像),CT(计算机断层扫描)扫描,和x射线图像。从数据2 (e),3 (e),4 (e),5 (e),该模型提供了更好的性能在保持肯定的证据比部分细节和边缘信息和integer-order模型。
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
图2(10月图像)显示我们视网膜表面下。10月是视网膜图像诊断最有价值的进步,我们可以更了解非常细微的变化,可以显示异常。它构造一个剖视图的眼部结构准确小于10微米。所以,这些类型的图像去噪是仍然具有挑战性。因此,视网膜诊断图像(图2(一个))用于第一个实验。图2(一个)是一个损坏的图像的加性高斯噪声等四个不同强度10、15、20、25,如图2 (b)。去噪图像1提出模型(e)的添加,它有一个更大的PSNR值比图2 (c)和图2 (d)。另外,图2 (d)显示的信息是至关重要的视网膜捡最微妙的变化从图相同2(一个)。因此,该模型可用于增强眼部检查,除了正常的测试。
图3(MRI图像)显示了一个脑瘤的形象。最近,生物医学图像是一个重要的角色在识别解剖和生理过程的身体在健康和疾病。MRI图像已被证明成功的身体的所有部位的诊断包括癌症、中风、心脏和血管疾病、乳腺疾病和肌肉骨骼疾病。检测肿瘤的MRI数据是乏味的医生和具有挑战性的计算机的所有医学学科。核磁共振扫描检测大量的病变和定义位置更容易,和他们也最好的检测蔓延到脑膜,衬里在大脑和脊髓。图3(一个)是大脑肿瘤图像的影响。图3 (b)是受加性高斯噪声等四种不同值10,15日,20和25。数据3 (c)和3 (d)已经失去了信息以及肿瘤的出现还不清楚。图3 (e)显示原始信息没有任何损失,可用于诊断和手术的目的。
图4(CT图像)显示了一个肺癌的形象。CT图像是一个用于测试和诊断图像构造内部器官的图像细节,软组织、骨骼和血管。胸部CT扫描可以帮助确定肺部呼吸急促等症状的原因或胸痛或检查肺部问题,如肺肿瘤和多余的液体。如图4(一)、肺图像受到癌症和CT肺部成像能够检测肺结节小2 - 3毫米。图4 (b)是被加性高斯噪声等四种不同水平10、15、20、25。在图4 (c)和图4 (d)、小结节和受灾地区是不可见的。图4 (e)显示恶性肿瘤当他们还小,可以删除前疾病扩散到身体的其他部位。
图5(x射线图像)显示了一个蜘蛛的形象。x射线图像增强了可视化细胞和组织结构的一个重要方法广泛的生物和医学研究。图5(一个)是一种高分辨率x射线图像的一只蜘蛛。图5 (b)已经被加性高斯噪声扰动在10,15日,20和25。数据5 (c)和5 (d)没有可能看到更小的细节。但是,图5 (e)是可以看到类似的细节图吗5(一个)。
6。结论
在这个工作中,并给出了数值方法的收敛性和稳定性。整数之间的显著差异,分数和variable-order部分扩散方程模型可以很容易看到。variable-order部分模型描述了去噪的特点有更多比整数和分数阶精度。因此,这项工作的基本目标构建图像去噪算法1为variable-order部分扩散方程在时间和空间上利用有限差分近似。目前的工作显示了variable-order部分扩散方程的有效性和巨大的潜力为去噪噪声图像。实验结果表明,去噪图像的质量和最高的PSNR值和最小均方误差值获得的分数variable-order扩散模型。
数据可用性
使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
支持的工作是韩国国家研究基金会(NRF)授予由韩国政府资助(MSIT) (2021 r1f1a1048937)。