文摘
几项研究已经考虑各种调度方法和可靠性函数来确定最佳维修时间。这些方法和函数对应于最低的成本利用评估模型参数的极大似然估计量。然而,本文旨在估计威布尔分布的参数(α,β)。最大似然估计方法,修改线性指数损失函数,Wyatt-based回归方法用于参数的估计。最小均方误差(MSE)标准是用来评估估计的相对效率。不同的参数估计方法的比较,观察到这些方法的效率,数学和实验。样本大小的仿真研究进行比较(10、50、100、150)基于均方误差(MSE)。得出最大似然方法被发现是最有效的方法,研究中使用的所有样本大小,因为它实现了最小均方误差相对于其他方法。
1。介绍
威布尔分布是连续概率分布。这一点经常被用作故障模型在可靠性研究中描述的所有阶段的机器故障(1,2]。Waloddi威布尔概率威布尔模型用于显示材料的强度的分布,说明系统或事件的性能有一定程度的变化3]。它经常被用来评估产品的可靠性,检查生活数据和模型失败时间(4]。
威布尔分布是通常用于雷达系统模型由杂波信号的变化水平。它也被运用于无线通信(4]。此外,威布尔分布可靠性和生活中有很大的重要性测试。它是最常用的分布在可靠性理论。当使用时,它更大的影响产生更精确的结果,有重要的应用研究失败的模型(5]。几项研究已经使用该分布分析(4,6- - - - - -8]。Hallinan [9)感知评价引入了大量时间事实和各种分布的特征。章详细对系统行为的分布是由科尔曼et al。10]。最近,赖et al。2)写了一本专著,包括所有方面关于威布尔分布及其扩展。此外,相关信息和应用程序的细节,我们推荐读者阅读一些研究提出了(4,6,8,11- - - - - -14]。贝叶斯估计是常用的在不同的科学领域15- - - - - -17]。存在很多有关这一课题的文献;由于本文的局限性,我们不能涉及所有相关信息。
上一篇文章中(3)使用调度技术和可靠性函数建立最优维修时间,对应于最低成本,采用极大似然估计量(企业)来估计模型参数。然而,目前的研究开始估计规模参数(α威布尔分布)(α,β)的数学方法,得到一个估计量,由最小均方误差(MSE)和确定的相对效率估计的估计和可比性。
2。材料和方法
2.1。两个参数威布尔分布
威布尔分布包含一个,两个,三个参数。这些参数是形状参数和尺度参数 ,可能会有第三个参数、位置参数(5]。两个参数威布尔分布的分布函数可以表示如下: 在哪里(1) ,它被公认为威布尔斜率和积极价值。(2) 被认为是它的形状吗 。它定义了分布的形式和需要一个积极的价值。(3) 是位置参数 。
累积分布函数(CDF)可以写成: 和生存函数可以写成: 和威布尔分布的失效函数可以写成: 在哪里(1) 意味着故障率增加。(2) 意味着故障率下降。(3) 意味着固定的失败率。
的rth威布尔分布的时刻 当 ,我们得到了第一和第二的时刻 和 。
因此,为威布尔分布的均值和方差,分别
标准差是 。
可靠性函数可以写成
2.2。威布尔分布的参数估计
在接下来的部分,我们将描述不同的威布尔分布参数估计方法。
2.2.1。最大似然估计(标定)
企业是最常用的参数估计方法。它使基于最大可能的功能。它演示了最大似然的功能,所以可以从关系中获得最合理的结果(1)由以下方程:
方程(8可以线性化)两边取对数:
标定的参数是参数,最大化的价值l(可能性)。标定的威布尔分布可以通过求解方程获得造成设置的两个偏导数l(α,β)为零:
然后,的解决方案是
传统的方法不能用于解决方程(11)。我们可以用牛顿迭代法(18,19)找到非线性方程的数值解时,形状参数是已知的,也就是说, 和
获得企业的估计然后往往偏向当样本量小,也就是说, 初速成为无偏估计,实现恒常性财产当样本容量很大20.]。自恒常性的性质特征标定,通过使用该属性,我们可以得到初速可靠性函数的估计,也就是,
2.2.2。极大极小法(MOM)
这种估计方法主要取决于莱曼的定理;让 是一个家庭的分布函数和D是一个类的估计 。假设 是一个贝叶斯估计对先验分布在 ,风险函数 等于常数 ,和是一个极大极小估计量(21]。假设二次损失函数 ,我们可以找到估计量作为初始分布的参数分布式的伽马分布(21,22]。
估计量的公式的参数 ;之后,发现的后续分布参数用随机样本 是
根据二次损失函数 , 在哪里 在哪里
2.2.3。修改后的线性指数(MLINEX)损失函数
这是一个修改后的线性指数损失函数。它经常用于统计估计和预测问题。它可以表示如下: 在哪里参数的估计量吗和k,c损失函数是常数。
极大极小的参数的估计量根据损失函数(21)是这是象征 :
第二个估计量极小极大下修改后的二次损失函数 在哪里
2.2.4。白色的方法
这种方法主要是基于提出的累积分布函数方程(2)制定一个简单的线性斜坡模型如下:
方程(25)可以通过取对数线性化两次双方:
现在,我们可以把方程(26)线性回归模型: 在哪里
使用普通最小二乘方法(OLSM),我们可以估计的参数回归模型如下: 也就是说,
也可以通过估计一阶泰勒级数的升序排序数据如下假设
通过使用最小二乘的方法,依赖于矩阵的方法,我们可以通过提取估计威布尔分布的参数估计的值 从以下公式: 在哪里
3所示。结果与讨论
3.1。的比较
的效率评估方法可以比较通过比较的方差估计方法。用于比较两个估计的效率 ,我们需要计算每一个分开的方差:
的效率相对于如下:
当 ,它变成了
当 ,它变成了
因为eff > 1,二次损失函数下的贝叶斯估计是更有效的比 。
估计的效率进行比较 ,我们需要计算每一个估计量的方差,即,
因此,效率相对于=
eff > 1日以来最大似然估计值的效率比估计更有效 。
的效率相对于= 因此是更有效的比
从上面的数学表达式,得出最大似然估计量是更有效的比 , ,和在规模为威布尔分布参数估计。此外,在贝叶斯估计在二次损失函数下,是更有效的比 。
3.2。模拟
仿真技术被用来达到研究的目的,比较实验评估方法(最大似然,极大极小、MLINEX和白色的方法)。这种方法的特点是灵活性,为了实现这一目的,随机生成的样本参数估计使用蒙特卡罗方法从理论上讲,不是几乎,没有违反结果的准确性需要根据下面的步骤:(1)假定的真实分布参数的值是由表1从四个不同的模型,包括不同的形状和尺度参数的值。(2)假定的四个不同的样本大小被确定(n= 10、50、100、150)和频率的实验(l= 500,1000,2000)。C是杰弗里常数。(3)数据生成的参数威布尔分布的假定值和指定的样本大小,也就是说,(1)生成随机数遵循区间上的均匀分布 。 在哪里是一个连续随机变量。(2)转换数据的生成在步骤(1)中,它遵循威布尔分布的均匀分布数据使用累积分布函数,根据逆转换方法如下:
4所示。评估方法的比较
均方误差(MSE)被认为是估计方法作为比较基础,以以下形式: 在哪里每个实验的频率。
5。结果
提出了模拟实验的结果和解释的最佳估计分布参数,应用方程(13),(19),(23)和(30.)。进行实验值生成从方程(44)发现的效率估计使用MATLAB 15在生成过程中,如表所示2。
表2显示了最大似然方法估计最好的和更有效的威布尔分布的尺度参数,最低的MSE为所有模型和样本大小使用,与其他方法相比,除了小样本大小n= 10。另一方面,基于二次损失函数极大极小方法是最有效的对所有模型;它可以观察到表的最后一列的结果2。因此,最大似然法是最好的在12的16个尺度参数的估计。
同时,它可以观察到均方误差值与样本容量的增加降低了所有模型。它对应于统计理论,本文证实了理论的有效性方面关于这个函数的行为。仿真结果是相似的,尽管实验重复了500年,1000年和2000次,这显示了估计的稳定性和效率。
仿真结果表明,妈妈方法排名第二的效率在中型和大型样品和所有模型和大小的样本。MLINEX排名第三的效率,效率最低的OLS排在第四位。同样,我们在表获得相同的结果3和4。
表3也显示,最大似然方法估计最好的和更有效的尺度参数威布尔分布,最低的MSE为所有模型和样本大小使用,与其他方法相比,除了小样本大小 。基于二次损失函数极大极小方法是最有效的模型。很明显的结果表的最后一列3。也可以看出MSE值与样本容量的增加降低了所有模型。然而,这对应的统计理论。仿真结果是相似的,尽管实验重复了500年,1000年和2000次,这显示了估计量的稳定的效率。
仿真结果表明,妈妈方法排名第二的效率在中型和大型样品和所有模型和大小的样本。MLINEX排名第三的效率,效率最低的OLS排在第四位。
同样的,表4也显示,最大似然方法估计最好的和更有效的尺度参数威布尔分布,最低的MSE为所有模型和样本大小使用,与其他方法相比,除了小样本大小n= 10。
基于二次损失函数极大极小方法是最有效的模型。很明显的结果表的最后一列4最大似然方法,因此是最好的在12总量的16尺度参数的估计。
同时,它可以观察到均方误差值与样本容量的增加降低了所有模型。仿真结果是相似的,尽管实验重复了500年,1000年和2000次,这显示了估计的效率的稳定。仿真结果表明,妈妈方法排名第二的效率在中型和大型样品和所有模型和大小的样本。MLINEX排名第三的效率,效率最低的OLS排在第四位。
6。讨论
目前的分析开始选择一个适当的参数估计方法在几个两个参数威布尔分布的评估方法。通常,最大似然方法用于参数估计时,形状参数。然而,我们估计数学为威布尔分布的尺度参数。相对有效的识别是基于最小均方误差估计方法。理论结果表明,获得的估计量的效率比估计从大中型企业更有效率 ,和应用于估计的参数。此外,标定的结果表明,获得的估计量最好的和更有效的估计的规模比其他相关参数的方法。此外,增加样本大小减少了MSE。进一步获得信息进行验证,仿真结果和假设的结果提供相同的信息。
7所示。结论
理论结果表明,最大似然估计量的效率比估计更有效 ,和用于估计威布尔分布的参数。此外,结果表明,最大似然估计值是最好的和更有效的比其他方法在尺度参数估计。此外,平均平方误差(MSE)是减少与增加样本的大小。此外,仿真结果验证了理论结果。获得的信息验证仿真结果和假设的结果提供相同的信息。然而,实验重复了500、1000、和2000倍的效率估计的稳定性。排名第一的最大似然方法,极大极小方法排名第二,MLINEX名列第三,和OLS排名第四的效率。
数据可用性
数据生成的理论研究结果用于支持通过使用MATLAB仿真15。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
作者扩展他们的感谢院长以来哈立德国王大学的科学研究资助这项工作(批准号以序列。穆罕默德·m·Almazah 1/26/42)。