一个综合遗传算法和同伦分析方法解非线性方程系统

文摘

解非线性方程系统工程应用是最广泛和最重要的数值研究。几种方法和组合是解决这些问题通过发现根部数学或形式化等问题的优化任务获得使用预先确定的目标函数最优解。本文提出了一种新的算法求解广场和nonsquare非线性系统结合遗传算法(GA)和同伦分析方法(火腿)。首先,遗传算法应用于找出解决方案。如果它实现,算法终止在这个阶段作为目标确定解决方案。否则,火腿启动基于GA阶段的计算初始猜测和线性算子。此外,利用遗传算法计算最优值的收敛控制参数(h)代数没有策划h曲线或识别有效区域。摘要四个测试函数检查来验证该算法的精度和效率。结果与牛顿火腿(NHAM)和牛顿同伦方程(NHDE)。结果证实了该算法的优越性在解决非线性方程系统效率。

1。介绍

各种应用程序必须通过系统建模的普通或部分,甚至分数微分方程(1- - - - - -7]。对数学家解决这样的系统可能是一个挑战。对于这个目标,提出了几种迭代方法解非线性方程系统,总结了在文献[8- - - - - -11]。同伦分析方法(火腿)12- - - - - -16)是一个已知的semianalytic方法近似系列解决方案的非线性方程。火腿的特征,包括初始近似,辅助线性算子,与功能,为非线性方程系统提供一个强大的工具。两个火腿可用的转换类型:计算的收敛级数解变量的有限值x非线性问题的领域;这个值的收敛的非线性方程的解决方案。含的收敛区域和收敛速度的系列解决方案取决于收敛控制参数(h或c_o由廖(引入)17]。在选择初始近似,辅助线性算子,火腿和功能,还提供家庭的解决方案。根据这个参数的值,这个家庭的成员被选中是一个非线性方程的近似解。

因此,收敛区域和级数的收敛速度的解决方案计算火腿取决于收敛控制参数(18- - - - - -20.]。廖提出(17),收敛控制参数是通过绘制h曲线。一个有效的区域( )是一个水平段获得通过绘制曲线的具体数量和吗h。收敛控制参数的可接受的值可以确定通过有效区域试验和错误。然而,h曲线的方法不能给出的最优值h在 。几个技术被开发的加速收敛的级数解。

在[21,22),一个最优的同伦渐近方法(OHAM)建议作为一个火腿的选择。假设一个辅助函数基于一组未知常数。应用残差的情况后,确定这些常数。如果这个近似订单增加,它变得更加复杂和CPU-time-consuming解决由此产生的非线性方程组。在[23],一步提出了最优火腿估计收敛控制参数来克服这个缺点。这两种方法之间的主要区别是,在每个订单一个代数方程是解决一步最优近似的火腿,这减少了CPU时间。因此更容易申请使用符号计算代码。然而,它是不确定我们得到了收敛分析使用这种方法。因此,应用多级的最佳方法是需要见(21),其次是一步优化过程。在[24,25),一种方法基于零添加第二个辅助参数变形方程,提出了进一步提高收敛的特点。添加一个新的附加参数导致收敛区域的新维度,允许更自由地选择辅助运营商和泛化的同伦分析方法更广泛的非线性问题。然而,高阶导数计算密集型。因此,推荐的方法是为低阶同伦迭代计划。

另一种方法来确定收敛控制参数的最优值是平方剩余误差最小化(26- - - - - -28]。这种残余离散数值规则像梯形规则如24,29日]。在[30.),残差是利用切比雪夫点离散。该方法决定了收敛控制参数的最优值通过最小化在每个火腿近似离散剩余函数的规范秩序。这种方法可以找到一个可接受的近似一类非线性微分方程。在[31日),新方案基于随机算法(SA)找到最优收敛控制参数提出了。这个方案被称为CESTAC方法。此外,CADNA库应用于实现CESTAC方法的算法。尽管该方法获得最优收敛控制和最优迭代次数,策划的h曲线仍然需要因为控制参数的选择适当的初始值的收敛区域。另一种方法来计算收敛参数的目标函数是最小化剩余一个制定优化的问题。同时,解决方法是收敛参数的值降低到几乎为零。该优化问题被归为一种一般均衡问题(32]。然后,传统方法可以应用解决方案。然而,他们有局限性,因为导数计算和初始猜测的影响。这些以前的修改提供了增强的方法来计算控制参数的收敛。然而,他们仍有严重的局限性,包括以下几点:(我)策划h曲线是必要的(2)很难收敛而不结合其他方案(3)高阶导数的计算是计算密集型(iv)降低符号计算的方法只适用于低维系统(v)没有规则定义所需的条件在火腿系列增加了计算时间和减缓了收敛

另一种修改取决于将火腿和其他传统方案解决非线性系统。这些组合的目标是改善传统方法的性能,避免探索(如果可能的话)h曲线收敛控制参数的最优值h。在[33),提出了一种微分方程牛顿同伦(NHDE)找到非线性系统的解决方案由一个贫穷的初始近似。这个过程取决于构造非线性方程组的牛顿同伦方程。然后,创建一个线性常微分方程是有区别的两个未知数 。最后,得到方程的欧拉方法来获取所需的解决方案的价值。尽管这个算法不需要搜索的最优值h,这取决于计算偏导数。在大型系统中,计算偏导数高负担和影响一个奇点。在[34],牛顿的另一个组合方案和火腿,提出了构建一个更有效的数值算法命名为牛顿同伦分析方法(NHAM)。在这种方法中,的价值h是由牛顿迭代计划。然而,这种方法应用于非线性方程只有一个变量并不是解决非线性系统的广义。

在[35),结合牛顿法和火腿(NHAM)被认为是解决代数和超越方程。它旨在加速火腿的收敛开始使用火腿的计算得到一个新的初始点。然后,它适用于牛顿法的初始点。如果牛顿法不收敛于解迭代之后,火腿再次参与,发起与牛顿法的解决方案。虽然这种方法加速收敛的火腿和使它开始不管最初的猜测是,它取决于定义一个近似的价值h,导致情节h曲线,或选择它开始前计算。选择问题的收敛初参数可能导致的估计没有要求火腿来说,影响收敛的不受欢迎的。此外,它取决于雅可比矩阵,由奇点影响严重。这些改性方法有其局限性,总结如下:(我)有一个需要策划h曲线(2)偏导数的计算,增加了计算负担(3)的外观问题的传统方法如雅可比矩阵奇异性和刚度阻碍了收敛(iv)待定的火腿系列影响计算时间

遗传算法(气)搜索算法是基于自然选择和遗传学的概念。荷兰开发他们是进化算法的一个子集(36]。算法首先创建池或人口的给定问题的可能的解决方案。这些解决方案然后进行重组和变异(如在自然遗传学),产生新的孩子,各种代和重复的过程。他们被用来解决很多应用程序和优化问题(37- - - - - -41]。遗传算法是随机的,但他们表现比随机的本地搜索。气体有各种优势,著名的,适合多个应用程序。他们不需要任何导数信息。因此,他们已经大规模的并行性,有助于更新全球搜索空间,比传统的方法更有效。他们还优化连续和离散函数与单个或多个目标除了提供一个“好”的解决方案列表,而不只是一个单一的解决方案。他们是有用的,当搜索空间是巨大的,和有很多参数。几个杂交技术和组合是基于气体(42- - - - - -46]。这些杂交技术旨在造福GA的优势加速混合方法,提高他们的初始条件,减少计算负担,或避免导数的计算基于梯度。

这项工作旨在推动改进算法结合的好处之前火腿算法的修改。它还试图使用优化方法在计算剩余来确定所需数量的系列。最后,这是受益于并行性和遗传算法的全局收敛性。对于这个目的,遗传算法(GA)相结合的混合算法和火腿提出了解决非线性方程系统。该算法(生)试图通过遗传算法确定目标解决方案没有涉及火腿。如果GA不能收敛于单独的解决方案,火腿阶段是用于这一任务。然后,通过引入一种改进的GA提高火腿性能初始猜测火腿。此外,GA将用于火腿计算来确定最优值的收敛控制参数没有策划h曲线。这项工作的贡献可以概括如下:(我)的建议结合GA和火腿成功解决了非线性方程系统以更少的计算时间和精力(2)改进的GA发起火腿初始猜测。如果不能收敛,提高火腿过程的性能降低所需的火腿(3)遗传算法用于火腿的计算来确定收敛参数,导致分配的策划h曲线和减少计算负担(iv)所有的计算都是用代数方法在这个算法中,他们可以很容易地重复在高维或慢收敛问题

该算法的主要好处是陈述如下:(1)如果遗传算法成功地计算解决方案,火腿的符号计算或不需要使用传统的梯度计算方法。因此,减少了计算时间和精力。(2)如果遗传算法无法检测解决方案,它将引入一个增强的初始猜测和线性算子少火腿产生更快的收敛性和象征性的计算。(3)如果需要的火腿,遗传算法应用于计算收敛控制参数的最优值。没有绘制遗传算法计算出的值h曲线,减少了计算时间和加速收敛所需的解决方案。

本文组织如下。部分2说明了算法标准,递归关系的火腿,用流程图和其他算法的细节。部分3显示了该算法的结果对四个测试函数与牛顿同伦方程的结果(NHDE) [33)和牛顿同伦分析方法(NHAM) [35]。部分4演示了结果分析和结论。最后,部分5总结了结论。

2。该算法

图1说明了该算法的流程图。在选择一个随机的初始猜测 ,应用遗传算法首先,导致一个新的点( )。如果由此产生的剩余价值小于指定的公差 ,这一点会调查系统和算法的解决方案将被终止而不涉及火腿。不幸的是,这并不能保证对所有的问题。在这种情况下,产生的点GA阶段将利用一种改进的初始猜测第二阶段的火腿,火腿的地方有一个明确的条款解决方案系列( )。数的选择将宣布在结束语部分。在第三阶段,火腿计算完成,而遗传算法应用于计算出一个最优值的收敛没有策划h-curves控制参数。新的点( )获得,剩余相比,所需的公差。如果终止条件满足,流程终止按顺序使用GA和火腿。如果没有达成解决方案,该算法从第一阶段重复。最初的人口将取决于从火腿过程产生的点。

定义如下所描述的计算阶段。

2.1。阶段1:改善初始猜测

非线性方程组的定义是 在哪里

为米的非线性方程组n未知或变量。剩余函数计算 ,在一个初始随机点 ,剩余的是 ,在哪里 为 。

假定增强点= 。改善的结果初始猜测,很方便

图2显示了一个假设之间的关系最初的和改进的残差两分 。系统中的每个变量将这两点的组件。数据显示2(一个)和2 (b)对,如果线段连接 和( ),将会有一个提出的角这条线段和垂直线之间 。剩余的减少可能会减少变量,如图2(一个)的增加,也可能减少变量,如图2 (b)。然后,变量的变化可以计算为

因为已经是未知的,一个假设获得第一阶段的解决方案提出了更简单的计算。作为一个结果, 。因此,(5)可以改写为每个变量组件dx₁作为

然后,改进的初始点计算

值得注意的是,角度的数量等于未知非线性系统的数量。

见(6),变量的变化取决于tan函数,它可以是任何实数 。因此,棕褐色的值函数不能直接进入到GA搜索域,不同的值 。这将导致这些角的值来表示染色体遗传算法。域被定义为 为

这个提议域的角度证实了新起点将剩余不到最初的随机猜测。根据拟议中的角域,应该躺在第三或第四季度相关 ,确认新残余将小于初始残余 。一个额外的参数α提出了调整步长,加快计算。该参数的领域 。这是进入谭有限角的函数 。结果,个n元系统中的未知的总数n+ 1。

构建基于这些间隔的染色体后,的值 执行计算,改进的初始点。GA的优化问题是制定阶段 在哪里

在GA阶段完成计算后,得到的点检测是最优的解决方案。如果剩余小于预定的公差,使用GA算法停止后第一阶段,和获得解决方案确认。否则,由此产生的问题是进入火腿阶段作为一个增强的初始猜测。

2.2。阶段2:火腿过程

基于遗传算法的实现初始猜测阶段,火腿是发起的,它可以表示为 在哪里最初的猜测和吗问是同伦参数或嵌入参数。

在 ,在哪里 下面的同伦函数被认为是执行同伦函数解决(1)。

然后,(12)是写成 在哪里l线性算子和吗h是收敛的控制参数。

考虑(16)的满秩矩阵B;变形方程,称为零阶变形方程计算

矩阵B计算从第一阶段的结果吗

同时增强从遗传算法的结果计算阶段。矩阵( )是一个nonsquare矩阵。根据(1,2),产品( )是可逆的,伪逆的从公式可以得到吗

矩阵B是计算

然后,(17)是写成

的区别(21)关于问将导致

替换后 和 ,由此产生的方程是

作为F是一个函数的向量X,反过来是嵌入的函数参数问,计算导数

从(23),这个词是计算

的区别(22)w.r.t问结果 (26)是写成 和替换 在(27)的结果

因为 从(23),(28)是写成 两边同时乘以 ,这个词是计算 区分(26)w.r.t问结果 和替换 在(30.)的收益率

因为 从(13),(32)是写成

因为 ,(33)是写成 ,两边同时乘以 ,这个词是计算

通过重复相同的过程,r^th阶变形方程。本系列可用于确定解决方案的代数方程系统。一般来说,这个系列 计算如下:

根据(36),解决方案系列获得这个阶段结束时的函数收敛控制参数(h)。最后一步是将遗传算法应用于确定的最优值h因此,最终的解决方案。

2.3。阶段3:计算收敛控制参数的最优值和最终的解决方案

在这个阶段,剩余函数,它是一个函数的收敛控制参数(h),涉及到遗传算法的目标函数。的领域h应该定义为开始GA优化过程。如前所述,过去的贡献取决于策划的h曲线,以及由此产生的水平段会给所需的搜索域。另一方面,这个算法是有利与不需要画出这些曲线。在报道4,5), 。因此,收敛控制参数的搜索域被定义为 。定义的域控制收敛的参数是根据(37)来避免不确定值。

根据(37),搜索的最优值h发生在无限域通过明确的∅实数域搜索。优化问题是制定在GA在这个阶段

在这个阶段的末尾,收敛控制参数的最优值,因此计算一个新的解决方案。因此,阶段2和3代表火腿过程(阶段)的基础上增强初始猜测。如果火腿过程的最终解决方案是最优,算法终止,并显示解决方案。否则,它将进入第一阶段作为一个新的初始猜测,然后算法重新开始,直到达到所需的公差或不再改善剩余函数实现。然后,最后的声明解决非线性方程组。

值得一提的是,根据这一系列的步骤,计算的数量条款使用火腿火腿阶段开始前确定。在该算法中,选为5。这种选择的原因是解释部分的测试函数。更多说明算法的过程,算法1显示了该算法的伪代码。

3所示。测试函数和结果分析

四个测试函数被用来研究该算法的性能。结果相比牛顿火腿(NHAM)和牛顿同伦方程(NHDE)。更多的普遍性,广场和nonsquare系统被认为是测试功能。在nonsquare系统的情况下,矩阵使用伪逆法计算。数量的变量和方程的数量n和米,分别。所有这些测试函数(详细描述34,41- - - - - -44]。

该算法在MATLAB 2020编码,与英特尔在计算机上实现^®™核心i7处理器,3.2 GHz和16 GB的RAM。计算研究人口规模等于50岁和50代使用;交叉分数是0.8;迁移间隔20;和迁移的因素是选择0.2。

3.1。选择测试函数1 (Beale函数)[42]

见(41),第一个测试函数表示为

这个系统的精确解 。比较与NHAM开始。提出了三种不同情况下的初始猜测,结果总结在表1。NHAM和生,计算是5。这个选择是精心挑选,达到改善或达到的目标解决方案与测试用例,同时减少耗时的符号计算。

根据表1案例1中的NHAM聚集,精确解一次迭代后火腿56牛顿法的迭代紧随其后。完成计算所需的策划h曲线的X₁确定有效的地区,因此收敛参数最优值。图3显示了h使用NHAM曲线和相应的有效区域。NHDE方法发散尽管增加迭代的数量到500年。生了,两次迭代后解GA的火腿和一个迭代阶段。火腿迭代包括算法的最后两个阶段。所有计算代数不相应h曲线,导致的加速度计算和准确的结果。

对于第二种情况,NHAM使用一个火腿迭代,紧随其后的是77牛顿迭代。NHDE需要22个迭代收敛。然而,没有需要在生火腿迭代。融合发生在一次迭代后的第一阶段使用GA阶段。

例3,NHAM收敛后两个迭代的火腿和111牛顿迭代。应该是这里提到,火腿的第一次迭代后,100年使用牛顿迭代不收敛导致第二次迭代的火腿。第二次迭代后的火腿和11牛顿迭代,最终达成解决方案。此外,收敛的参数曲线的计算耗时。

NHAM后果阻碍了运动的牛顿法收敛步骤直到完成控制参数的计算,影响收敛的速度和增加了计算负担。图4显示了h曲线的火腿收敛的迭代检测有效的区域控制参数。105年之后NHDE收敛迭代。然而,生了GA的收敛在一个迭代阶段,和不需要迭代火腿。生有最小数量的迭代。此外,收敛的能力,无论最初的猜测是没有策划h-curves NHAM和没有所需的雅可比矩阵避免奇点或散度概率,使用NHDE方法可能会出现。

3.2。选择测试函数2 (Kowalik和奥斯本功能)43]

根据(41),选择测试函数表示为2

这个测试函数的精确解 ,结果总结在表在哪里2。数据5(一个)和5 (b)说明剩余的变化与迭代为每个方法。

图5(一个)显示了三种方法的结果基于整个迭代次数。图5 (b)显示在前五的迭代收敛的细节显示的差异计算残差对NHAM生了。生了聚集在第三个迭代,而NHAM附近,需要多次迭代才能达到的解决方案。因此,停止NHAM需要条件的改善最终的解决方案。然而,NHDE发现495次迭代后的精确解,这意味着生的速度比其他两种方法,比NHAM更准确。

3.3。选择测试函数3

根据(34),选择测试函数表示为3

这个函数的精确解 。精确解计算(34)可能会导致在某些情况下,最初的猜测。相反,NHAM时这个函数应用到基于随机初始猜测和对决的火腿系列在每个火腿迭代,它并没有收敛。100年牛顿方法迭代,和火腿NHAM 15迭代使用。表3总结了三种方法的结果。图6(一)显示了三种方法的剩余12个迭代,生的不包括在图因为NHAM的高残留。压缩残余的规模,图6 (b)显示剩余生牢度下降,达到精确解的能力是比NHDE方法快。

3.4。选择测试函数4(罚函数(二)44]

选择测试函数表示为4

这个函数的精确解

如表所示4,NHAM NHDE分道扬镳。NHAM申请5迭代的火腿。100年牛顿法的迭代之后每次迭代的火腿。然而,牛顿法的迭代过程被打断后,每个阶段十连续迭代发散,这样整个牛顿迭代的数量是61。NHDE也分化甚至增加迭代的数量到600年。确切的解决方案被发现使用生了九个迭代后三个阶段。图7(一)显示剩余的三个方法在所有迭代。图7 (b)显示了三种方法的结果在前十的迭代来说明更详细的三种方法的性能。它宣称给他减少了剩余期间不断迭代,直到达到精确解。

4所示。分析的结果和结论

比较该生的总体结果和考虑NHAM NHDE方法提出了以下评论。(1)该算法并行性的好处,结合遗传算法的全局搜索能力和收敛的火腿找到非线性方程组的解。(2)与牛顿法和当地其他算法,该算法不需要导数计算改善初始猜测,方便计算和收敛甚至在奇异系统(测试函数3)。此外,基于雅可比矩阵的计算耗时的高度在大型系统的计算负担,除非一个近似的雅可比矩阵,但这可能影响解的收敛性。(3)NHAM和NHDE方法,在计算剩余不不断减少。在计算它增加,影响收敛的速度和所需的迭代的数量。然而,总是给他提供持续减少的残留,确保改进的解决方案的持续改进,并加速收敛。(4)火腿的主要差异计算的算法和其他火腿修改如下:(我)术语可以被确认之前的数量计算,使符号计算的控制。这个数字根据系统的复杂性和非线性变化。(2)的画h曲线的收敛参数的最优值是不需要的,因为提出域包括所有实数,它包含有效的地区。(5)指定的标准和角度域在GA阶段允许融合解决方案。所示的测试函数,GA阶段能找到系统的解决方案不涉及任何火腿阶段一些问题。(6)该算法可能不包含额外的步长参数(α在广泛的系统和快速收敛情况下)。(7)这种方法的优点可以总结如下:(我)它受益于遗传算法的并行实现的解决方案没有衍生品,初步猜测考虑,和符号计算火腿(如果可能的话)。(2)如果需要的火腿,该方法引入了一个初始猜测是尽可能接近最优的解决方案。因此,符号计算使用火腿将减少,导致储蓄的计算负担和时间。(3)该方法计算的收敛参数没有策划的火腿h曲线,加速计算,增加重复计算的能力。(iv)重复计算的能力可以计算所需的最小数量的火腿方面达到最优解,加速收敛,并减少其所需计算时间和负担。(9)众所周知,每个算法或方法都有自己的局限性。该生的局限性算法如下:(我)这取决于定义火腿条款开始前的数量计算。没有明确的规则来实现,所以它决定根据GA阶段产生的剩余收益。如果这剩余不高,所需数量预计将低。提出搜索发现所需的术语是小于或等于5。(2)遗传算法参数的影响并没有参与这个搜索。这些参数的影响算法的收敛性在未来应该调查工作。

5。结论

本文提出一种新算法(生)结合火腿和GA求解非线性方程系统。该算法计算解决方案基于三个连续的阶段。首先,利用遗传算法找到系统的解决方案或最好的初始猜测火腿。如果第一阶段未能达到目标的解决方案,执行第二阶段使用火腿。火腿的计算是基于一系列特定数量的计算,和线性算子矩阵的改进遗传算法的解决方案。在第三阶段,火腿的收敛控制参数是计算使用遗传算法来最小化剩余代数基于预定义的搜索域没有策划h曲线。算法的性能研究与广场和nonsquare系统使用四个选定的测试函数与牛顿火腿(NHAM)和牛顿同伦方程(NHDE)。结果表明,即使在奇异系统,该算法成功地获得解决方案相比其他方法都失败了。该算法得到的好处的并行遗传算法计算所需的解决方案。如果它未能发现的解决方案,它加速火腿计算通过引入一个增强的初始猜测和线性算子和计算收敛参数没有策划h曲线。所有的结果验证了该算法在解决非线性的牢度和效率方程系统。

数据可用性

和工作相关的所有数据都包含在本文及其相关的引用。澄清或数据需求,支持本研究的发现可以从作者要求。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

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