文摘
摘要代数之间的关系四种权利讨论产品(STP)进行了讨论。首先,本文对STP的定义,组成的第一个矩阵与矩阵的STP,第二个矩阵与矩阵的STP,第一个正确的矩阵向量STP,第二个矩阵向量STP。其次,提出了这些权利,这之间的关系。最后,主要结果显示这些对stp的可兑换性。
1。介绍
程产品,也称为讨论产品(STP),首次引入了程教授(1]。STP的重大突破,它克服了维屏障,这限制了传统矩阵乘积的发展。第一种STP叫做左矩阵与矩阵的STP(毫米),缴费每个矩阵的维数的单位矩阵相乘。在这里,产品指的是克罗内克积矩阵。由于左MM STP,布尔网络可以被转换成一个线性离散时间形式,带动了布尔网络的发展2- - - - - -4]。此外,左毫米STP还扮演着一个重要的角色在有限的游戏5- - - - - -7),模糊系统(8,9),和图论10,11]。
然而,左边MM STP失去能力在讨论dimension-varying线性系统因为左MM STP的结果矩阵和一个向量是一个矩阵,而不是一个向量。因此,第二种类型的STP,称为左矩阵向量(MV) STP,提出了在12]。与左边的MM STP相比,左MV STP缴费的维数向量右乘一个列向量的元素都是1。基于左MV STP, dimension-varying线性系统建模(13]。此外,解决方案和稳定的连续线性dimension-varying系统进行了研究[14]。参考文献(15,16认为是dimension-varying离散线性系统的状态维度。
由于左毫米STP和左MV STP的重要性,作者在17探索更一般的STP,有助于扩大STP的可能的应用。在下面,左边MM STP和左MV STP是用MM - 1 STP MV-1 STP。通过对乘 ,左MM-2 STP和左MV-2 STP定义在[18]。在这里,是一个 维矩阵,其元素是1。之间的关系讨论了这四种类型的左STP (19]。
通过改变尺寸扩张的方式,作者在17定义四个对应的正确的STP,包括正确的mm - 1 STP、MM-2 STP, MV-1 STP, MV-2 STP。然而,这些权利,这不是研究之间的关系。因此,本文综述对STP的定义,并讨论了这些权利,这之间的关系。主要结果表明这些对stp的可兑换性。
本文的其余部分组织如下。部分2介绍了四种对STP的定义。这些对stp调查之间的关系3。部分4给出了一些结论。
结束本节之前,我们提供一个符号列表,其中大部分可以在[20.,21]。(我) 包含所有 维矩阵。的 - - - - - -列(行)的矩阵用 。特别是, 。(2) 包括所有维列向量。(3) 是维的单位矩阵。(iv) ,在哪里 。(v) 是一个 维零矩阵。(vi) 矩阵的转置 。(七) 是克罗内克积
2。对STP的定义
在本节中,介绍了对STP的定义。首先,提出了正确的两个矩阵STP。在这篇文章中,STP是指对STP。
定义1。(见[12,17])。让 和 。假设 的最小公倍数和 。(1)第一个正确的MM STP (MM - 1 STP)和 ,用 ,被定义为 (2)在第二个路口右拐毫米STP (MM-2 STP)和 ,用 ,被定义为 在哪里 和 或 。
备注1。如果 ,然后 。这意味着mm - 1 STP和MM-2 STP是传统的矩阵乘积的概括。此外,mm - 1 STP和MM-2 STP不仅保持传统的矩阵乘积的主要性能可用但添加一些新特性,比如某些交换性(12]。
给定一个矩阵 和一个向量 。然后,传统的矩阵的产物和可以看作是一个线性映射 。然而,mm - 1 STP和MM-2 STP不能被视为线性映射,因为结果mm - 1 STP和MM-2 STP是矩阵的向量。因此,对STP的其他定义,提供了扩展的线性映射。
定义2。(见[12,17])。让 和 。假设 的最小公倍数和 。(1)第一个正确的MV STP (MV-1 STP)和 ,用 ,被定义为 (2)在第二个路口右拐MV STP (MV-2 STP)和 ,用 ,被定义为
定义3。鉴于 和 。假设 的最小公倍数和 。然后,
3所示。STP的代数之间的关系四种类型
在本节中,讨论了代数之间的关系四种类型的STP。以下三个病例被认为是:(1)STP的两个向量,矩阵和向量的(2)STP,(3)两个矩阵的STP。
3.1。两个向量的TP
首先,代数之间的关系,这两个列向量。
定理1。让 和 有两个列向量。然后,以下结果:(1) (2) ,在哪里
证明。(1)第一项的正确性是显而易见的,所以省略了证明。(2)根据MM-2 STP的定义,一个计算 此外,它很容易看到 适用于任何列向量 。
以下结果是关于代数之间的关系这两个行向量。
定理2。让 和 有两个列向量。然后,以下结果:(1) (2) ,在哪里 (3) ,在哪里
证明。(1)第一项的正确性是显而易见的,所以省略了证明。(2)通过直接计算,一个可以看到 持有(3)从MM-2 STP的定义,我们得到的 结合前两个项目,一个获得 。
3.2。矩阵和向量的STP
在本节内,代数之间的关系四种类型的STP的矩阵和向量进行了研究。首先,我们关注STP矩阵的列向量。
定理3。鉴于 和 。假设 的最小公倍数和 。然后,以下结果:(1) (2) ,在哪里是 - - - - - -th块通过分成 相等的块的行(3)
证明。(1)自 ,我们有 为每一个 。根据mm - 1 STP和MV-1 STP的定义,一个派生 (2)分 成 相等的块的行。的 - - - - - -th块 用 。很容易看到 成立。因此,一个人 结合MV-2 STP的定义,我们可以得出以下结论: (3)从MM-2 STP的定义,不难计算
基于定理3另一个之间的关系矩阵的四种类型的STP和列向量可以介绍。
推论1。鉴于 和 。假设 的最小公倍数和 。在所有类型的STP的关系和所示如下:(1) ,在哪里是 - - - - - -th块通过分成 相等的块的行, 。(2) ,在哪里是 - - - - - -th块通过分成 相等的块的行。(3) ,在哪里是 - - - - - -th块通过分成 相等的块的行, 。
下面的定理显示不同的结果之间的STP的列向量和矩阵和STP矩阵的列向量。
定理4。鉴于 。让 是一个列向量。然后,以下结果:(1) (2)
证明。(1)自 ,你可以很容易看到, 根据第一项的定理1。此外,我们可以得出结论, 是真的。(2)同样的, 成立。从第二项定理1,我们得到 。因此,一个计算 基于MV-2 STP的定义,我们也会 接下来,我们研究代数之间的关系矩阵的四种类型的STP和行向量。
定理5。鉴于 。让 是一个列向量。然后,以下结果:(1) (2) (3)
证明。(1)不难找到 。第一项的定理2显示, 是真的。因此, 成立。(2)通过计算直接,我们得出以下结论: (3)结合(15)和STP的定义,得出以下结果:
3.3。STP的两个矩阵
结合上面的分析,代数之间的关系四种类型的STP的两个矩阵推导容易。
定理6。鉴于 和 。假设 的最小公倍数和 。然后,以下结果:(1) (2) ,在哪里是 - - - - - -th块通过分成 相等的块的行(3)
证明。因为证明这些树项目相似,我们只证明(1)。(1)从方程(5),一个发现 。因为 持有根据定理3,不难看到 。通过计算,我们认为 这是真实的。
同样,另一个之间的关系两个矩阵的四种类型的STP。
推论2。鉴于 和 。假设 的最小公倍数和 。在所有类型的STP的关系和所示如下:(1) ,在哪里是 - - - - - -th块通过分成 相等的块的行, (2) ,在哪里是 - - - - - -th块通过分成 相等的块的行(3) ,在哪里是 - - - - - -th块通过分成 相等的块的行,
4所示。结论
本文研究了四种之间的关系对这三种情况下,包含STP的两个向量,矩阵和向量的STP, STP的两个矩阵。本文获得的结果表明这些对stp的可兑换性。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
这项工作得到了福建省自然科学基金项目的资助,中国(没有。2020 j01795)。