一类非线性最优清算问题暂时的市场影响

文摘

我们扩展了自励的模型假设临时市场的影响是非线性的,临时市场影响的系数是一个指数函数。通过最优控制方法,最优策略满足二阶非线性常微分方程。最优策略的具体形式,并证明了最优策略的减少财产。一个数值例子说明金融模型参数变化的影响。我们发现最优策略的风险中性投资者改变随着时间的推移和投资环境。

1。介绍

在金融领域,最优清算被广泛研究的问题。1998年,Bertsimas和罗(1]研究最小交易完成固定的交易时间动态交易策略。基于最初的学者的模型,Almgren和克里斯2)考虑执行的预期成本和风险并提出一个简单的市场影响模型。它包括以下三个部分:unaffect价格过程中,临时市场影响,永久性的。Almgren-Chriss市场影响模型提供了一个很好的工具继续研究最优清算问题。Almgren [3]给出了最佳执行策略下的非线性暂时的影响。Curato et al。4]研究最优执行时的一个大型贸易是非线性瞬态的影响。盖和Lehalle5)开展研究最优清算时执行过程强度一般的函数形式。

一些学者研究相应的最优清算战略下扩大Almgren-Chriss模型。Schied和Gatheral6,7]显示最优策略时价格过程是几何布朗运动的影响。Lehalle和纽曼8)获得最优策略,并提供它们的存在性和唯一性,当模型包含一个马尔可夫过程的信号。当订单流不平衡和不确定的时候,讨论了最优执行Bechler和Ludkovski [9和程等。10),分别。Cartea和Jaimungal11和盖等。12)地址订单时的最优清算是有限的。许多学者继续进一步研究近年来。Cartea和Jaimungal13]研究最佳执行当投资者执行一个大订单。加藤(14)时的最优执行交易员体积加权平均价格(VWAP)用于Almgren-Chriss模型。弗雷和韦斯特雷岛(15)提出一个相对体积曲线模型下VWAP模型并得到最优的显式描述执行。基于[14加藤],[16得到一个二阶渐近展开公式处罚方法的最优策略。Klock纽约et al。17)改变应用程序场景,研究执行Almgren-Chriss暗池的模型。贝拉et al。18]研究Almgren-Chriss模型下的最优清算运行和终端库存成本和一般对价格变化预测的信号。银行等。19)最优套期保值的问题进行研究并给出了一般预测目标对冲策略。此外,一些学者利用新方法研究最优清算。达米安(20.]讨论了最优执行multitime版本的Almgren-Chriss模型下的变分学技术假定最优控制在容许控制集合。铋等。21)地址的最优清算Almgren-Chriss框架的贝叶斯学习和动态编程技术,当预期收益是未知的。此外,Schied和张22考虑Almgren-Chriss模型规避风险的代理和证明最优的财产清算策略。

微分方程广泛应用于工程。Wakif et al。23,24)研究纳米流体的稳定性具有导电和牛顿流体的特点,将热迁移的影响和布朗运动在不同的情况下。然后,他们得到相应的微分方程,得到的相关方法。的数值方法,讨论了属性和得到微分方程的解决方案。同样,微分方程也用于金融领域。最优策略的相关文献上面提到的满足微分方程通过最优控制方法。

Caye和Muhle-Karbe25)考虑到交易不仅价格产生影响,还增加了执行成本。因此,他们提出一个自激价格模型和Almgren-Chriss框架下的最优清算策略。然而,他们只讨论暂时影响,其系数是线性函数。不同于上面的引用,我们假设临时影响及其系数是非线性函数。即,让暂时的影响及其系数的指数函数和幂函数,分别用于经济和金融研究。最后,我们得到的具体形式和证明最优清算的性质。

本文组织如下。节2我们国家Almgren-Chriss框架,自励的价格模型和目标函数。节3,我们给的具体形式的最优清算并讨论解决方案的属性。节4,我们显示数值例子和相应的财务解释。

2。声明的背景

在本文中,我们使用连续时间市场影响模型的Almgren-Chriss假设,每一个投资者的有效时间是固定的 。一个投资者持有股票的初始时间和完全的贸易 ,也就是说, 和 。投资者的策略绝对连续,导数有界和 在哪里满足 。

一个过滤在给定的概率空间 支持标准布朗运动 。我们假设风险资产的价格过程遵循Bachelier的影响(26模型没有漂移:

Almgren-Chriss模型认为风险资产的价格持有份额,交易速度有关 。所以Almgren-Chriss市场影响模型分为三个部分:影响价格过程中,永久影响组件,组件和暂时的影响。假设Almgren-Chriss模型的具体形式 在哪里和分别代表了永久和临时影响组件;的参数 和 代表永久和临时的系数影响组件。

Caye和Muhle-Karbe25)给Almgren-Chriss框架下的自励的价格影响。在这个模型中,临时影响组件是一个线性函数的参数的数量的股票已经售出。被认为是特定的形式 在哪里 和 。在方程(3),没有永久影响组件因为永久影响组件的影响投资者的成本是固定的。

在每一个时间 ,无穷小的股票价格出售 。因此,实现总成本为代表

因此,最优交易执行问题成为预期成本的最小化。我们只需要解决预期成本的最小化:

问题(5)是由Bertsimas提出和罗1]。卡和杨27)使用(5最大化的)来处理这个问题。

3所示。主要结果

Caye和Muhle-Karbe25]只讨论临时影响组件是一个线性函数的系数。然而,在真正的一生,组件可能非线性系数的临时影响。因此,我们假设临时影响组件如指数函数的系数在经济活动中被广泛使用。因此,组件被认为是临时系数的影响 ,在哪里 和 。

定理1。组件是自临时系数的影响 ,存在一个独特的策略意味着优化。策略是唯一解的微分方程如下: 有两点边界条件 方程解(6)是

证明。当组件是临时的系数的影响 ,方程(3)是 从方程(4)和(9),我们得到 从伊藤积分方程的性质(5),我们得到 为了得到方程的解决方案(11),我们使用欧拉方程的二阶常微分方程: 最优策略满足方程(12)。从[28),方程的解决方案(12)是

定理2。最优策略从方程(12)和(11),所有确定的,绝对连续策略 ,是减少的。

证明。 让 ;然后,我们得到 因为Almgren-Chriss模型假设,没有存在价格操纵满足 。因此,是减少的。指数函数的性质和积分,得到定理的证明2。
除了引用(3,5,10),还有一些学者研究的问题最优执行时暂时的影响是非线性的。Gatheral [29日]讨论了最优清算问题Almgren-Chriss模型的基本假设下,其中包含一些特殊的非线性临时市场影响函数。当临时市场影响函数Almgren-Chriss模型是非线性的,她们和Lehalle30.)检查的最佳时期开始,停止时间和目标接近和实现的算法交易的风险措施不足。亨德里克斯和威尔科克斯31日]研究Almgren-Chriss框架的最优交易执行的强化学习方法。霍斯特和Naujokat32]显示价值衍生品市场的影响在一个多人游戏框架下基于非线性临时市场影响Almgren-Chriss模型的功能。
尽管Caye和Muhle-Karbe [25注意自励的最优清算价格影响Almgren-Chriss框架下,非线性的情况下临时市场影响函数不是研究。接下来,我们假设临时市场影响喜欢一种非线性函数 。自有许多形式,利用上述研究的最优清算非线性函数,我们呢幂函数。也就是说,的形式 。然而,在实际的解决方案的过程,很难得到时优化方程的通解幂函数。因此,我们研究的特殊情况是通常用于经济和金融和讨论最优策略时 。因此,方程(3是改变了

定理3。由于组件是暂时的影响 ,存在一个独特的策略意味着优化。策略是唯一解的微分方程如下: 有两点边界条件 方程解(17)是

证明。当组件是临时的系数的影响 ,方程(3)是 从方程(4)和(20.),我们得到 伊藤积分方程的性质(5),我们得到 为了得到方程的解决方案(22),我们使用欧拉方程的二阶常微分方程。最优策略满足以下方程: 从[28),方程的解决方案(23)是

定理4。最优策略从方程(17)和(24),所有确定的,绝对连续策略 ,是减少的。

证明。 让 ;然后,我们得到 的属性 , ,和积分,得到了定理的证明4。
接下来,我们讨论最优清算策略当临时影响函数幂函数的系数是暂时的影响 。因此,价格过程变化

定理5。由于组件是暂时的影响 组件和临时的系数的影响 ,存在一个独特的策略意味着优化。策略是唯一解的微分方程如下: 有两点边界条件 方程解(6)是

证明。从方程(4)和(19),我们得到 通过伊藤积分方程的性质(5),我们有 为了得到方程的解决方案(32),我们使用欧拉方程的二阶常微分方程: 最优策略满足方程(33)。从[28),方程的解决方案(33)是

定理6。最优策略从方程(28)和(34),所有确定的减少,和绝对连续策略x精确性导数,满足 和 。

证明。 让 ;然后,我们得到 的属性 , ,和积分,得到了定理的证明6。

4所示。数值模拟

在前面的部分中,我们给出最优投资策略的具体形式为风险中性投资者当暂时的市场影响和临时市场影响系数幂函数和指数函数,分别。根据参数设定方法的相关文献,我们假设 , ,和 ,和其他参数的值的数据所示。

从方程(13),我们知道最优清算无关 。从图1,我们得到时,交易的成本变得更高变大。因此,早期投资者加速清算。从方程(24)和数字2和3,当临时市场影响是一个幂函数和临时市场影响的系数是一个线性函数,投资者意识到,他们将面临大执行成本大和小这样他们加快开盘后清算和减缓速度。当临时市场影响是幂函数和临时市场影响的系数是一个指数函数,我们发现没有影响的最优清算。在图4,更大的的执行会导致成本的增加。因此,为了降低成本,投资者将加快清算。

通过数值例子,我们发现,当投资情况的变化,风险中性投资者的最优投资策略并不是最初持有关于时间的平均值。然而,它改变随着时间的推移和投资环境。由于投资环境是复杂多变的,本文的目的是提醒风险中性投资者,当他们面临三个投资环境,和他们应该遵循这些投资策略来获得最大的回报。

5。结论

本文结合的模型设置礁和Muhle-Karbe25与相关文献的回顾,我们提出了一类最优清算时临时市场影响是一个幂函数和临时市场影响的系数是一个指数函数,分别。最优清算策略满足二阶非线性常微分方程。形式的最优清算策略。与此同时,我们讨论最优清算策略的属性。我们通过数值例子,解释金融影响与改变参数。本文研究三种情况下的最优清算战略投资者。在未来,更多的情况下将讨论财务问题,尤其是部分形式的推导与金融的影响。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作得到了国家自然科学基金(批准61903064),主要的哲学社会科学研究基地四川省高校(kjjr2019 - 004),和西华大学的人才引进项目(w202247)。

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