基于迭代多重ukf的锂离子电池充电状态估计的可调缩放参数

摘要

本文提出了一种具有可调缩放参数的无迹卡尔曼滤波器来估计锂离子电池的荷电状态(SOC)，因为荷电状态是监控锂离子电池管理系统最重要的部分。在应用等效电路模型描述锂离子电池充放电特性后，建立了以荷电状态为第一状态变量的状态空间方程。在此状态空间模型的基础上，建立了非线性系统的状态估计问题。在实现无迹卡尔曼滤波器时，状态估计受到标度参数的影响。然后构造一个准则函数，通过最小化该准则函数自适应选择尺度参数。为了将具有可调尺度参数的单一无迹卡尔曼滤波器扩展到多模估计，提出了一种基于迭代多模型的改进无迹卡尔曼滤波器。本文的主要贡献主要体现在两个方面:一是引入了缩放参数自适应的选择策略，二是将迭代的多个模型与具有可调缩放参数的单一无迹卡尔曼滤波器相结合。最后，通过两个仿真算例验证了我们提出的可调节尺度参数的无迹卡尔曼滤波器及其改进迭代形式优于经典卡尔曼滤波器;即，我们得到的SOC估计误差收敛到零。

1.介绍

锂离子电池是领先的能量存储技术许多研究领域，如电动车辆，现代电网，变换等的锂离子电池的主要功能包括能量密度，时间长了，和一个较低的自放电率，对锂离子电池的这些主要功能，因此许多研究都从近几年看自己的不同点进行。的研究的一个有趣的区域是电池状态估计，尤其是命名为充电状态（SOC）的估计，因为SOC不仅可以反映的锂离子电池的剩余容量也是体现电动汽车的性能和耐用性的里程。此外，SOC是在电池管理系统，其是用于安全，效率，和锂离子电池寿命至关重要的最重要因素。一般来说，SOC表示电池的剩余电量显示电池将持续多久。它有助于电池管理系统，以防止电池过充电，过放电，使能源管理系统，以确定一个有效的调度策略。但SOC不能直接使用物理传感器测量;它必须使用具有可测量的信号，例如电池的电压和电流的帮助一些新开发的方法来估计。在本文中，SOC估计是我们的锂离子电池关注的问题。SOC估计已被广泛研究，近年来，和大量的估计算法已经被提出来获取精确的SOC估算。 As the number of references on SOC estimation is vast, here we only list some main references on this topic as follows. An improved extended Kalman filter method is presented to estimate SOC for vanadium redox battery [1，使用增益因子。利用经典最小二乘法对状态空间模型中的一些未知参数进行辨识。提出了一种基于平方根容积卡尔曼滤波算法的电池SOC估计方法[2), 2N.根据Cubature变换，计算点以提供相同的权重，以近似状态变量的平均值。为了提高电池SOC估计的准确性和可靠性，提出了一种改进的自适应Cupature Kalman滤波器在[3.]，其中所述电池模型参数的在线由遗忘因子递推最小二乘算法确定的。自适应遗忘的递推最小二乘方法被利用来优化估计警觉性和数值稳定性[4.]，实现模型参数的在线自适应。为降低迭代计算复杂度，提出了一种两阶段递归最小二乘方法来识别模型参数[5.];然后，在不同的驰豫周期和三个温度下的开路电压的测量值进行采样，以建立SOC和开路电压之间的关系。在 [6.]，被施加基于双卡尔曼滤波器多尺度参数的自适应方法来估计多个参数。基于电池电路模型和电池模型状态方程，实时递推最小二乘法与遗忘因子被用来识别未知的电池参数[7.］．在引入健康状态概念之后，所获得的SOC估计的平均误差小于给定值。开发了一种新颖的状态和参数小型器，以同时估计液态金属电池的Visumin模型的状态和模型参数[8.，其中使用自适应无迹卡尔曼滤波器(UKF)进行状态估计，包括电池SOC。在进行锂离子电池建模和离线参数识别后，设计灵敏度分析实验来验证哪个模型参数对SOC估计影响最大[9.］．为提高不确定测量噪声统计下的SOC估计精度，提出了一种基于变分贝叶斯近似的自适应双扩展卡尔曼滤波器[10]，和测量噪声方差在SOC推定过程推定同时。据我们所知，这些SOC估算方法大致可以分为两种，即，数据驱动的方法和基于模型的方法。在基于模型的方法，基于卡尔曼滤波SOC估算方法有一定的优势，如自查自纠，在线计算，并降低复杂性。卡尔曼滤波器首次提出来估计线性系统的状态[12]，然后为了将其应用到非线性系统中，提出了扩展卡尔曼滤波器和无迹卡尔曼滤波器[11］．同时，数据驱动方法通常包括查询表法、基于匹配学习的方法、人工神经网络和支持向量机[13］．数据驱动方法意味着在估计线性系统或非线性系统的状态时，不需要数学模型;即状态仅由观测数据直接构建[14]因此收集大量训练数据覆盖所有操作条件，以提高所考虑的SoC的估计精度。本文基于上述关于锂离子电池的SOC估计的参考，我们还采用了无味的卡尔曼滤波器来估计SOC用于锂离子电池。首先，描述了一些关于卡尔曼滤波器的先验知识，以提供详细的介绍。卡尔曼滤波器基于现代滤波器理论。对于具有高斯噪声的特殊线性系统，提出了卡尔曼滤波器以获得关于系统状态的最小均方估计，并且这种相应的估计被命名为最佳滤波器值。此外，为了扩展卡尔曼滤波算法，在最佳滤波器理论中引入了状态空间模型。动态模型和观察模型分别对应于状态方程和观察方程;因此，可以扩展卡尔曼滤波器以处理时间变量系统。由于其递归计算迭代，卡尔曼滤波器易于实现。然而，卡尔曼滤波器在一个条件下适用于所考虑的系统是具有高斯白噪声的线性时间不变系统，其对应于经典卡尔曼滤波器。 To relax this strict assumption, unscented Kalman filter algorithm is proposed to solve the state estimation problem for the nonlinear stochastic systems. One core idea of unscented Kalman filter is unscented transformation. The unscented transformation means that the probability density of the considered state can be described by a finite number of sampled points, which can be fully expressed as their means and covariances. After these sampled points are mapped by using state or observation equation, the updated mean and covariance are given through the weighted summation. Generally, the filtering characteristic obtained by our studied unscented Kalman filter is better than that of the classical Kalman filter. Throughout this paper, as SOC of lithium-ion batteries can be reformulated as a state variable in one state space equation, the problem of estimating SOC is changed as a problem of estimating the state variable in this constructed state space equation. Thus, we apply Kalman filter to estimate SOC, corresponding to lithium-ion batteries. Because the state space equation, constructed by physical principle of the lithium-ion battery, coincides with a nonlinear system, one unscented Kalman filter is proposed to study the problem of SOC estimation for a nonlinear system at a series of points, where this nonlinear system corresponds to our state space equation about SOC. When implementing this unscented Kalman filter, the accuracy of SOC estimation is influenced by one designed scaling parameter. Because the choice of scaling parameter may lead to the increased quality of the state estimation, during implementation of unscented Kalman filter, this scaling parameter is always set to be 0 or 1; i.e., the scaling parameter is chosen as one fixed constant. This fixed constant cannot show the merit of the scaling parameter. To give a selection on the scaling parameter, one adjustable selection is proposed to choose the scaling parameter. After one different criterion function is constructed, then the scaling parameter is chosen adaptively by minimizing this established criterion function. The property of this criterion function is shown from its own different observed information and computational complexity. This selection strategy is named as unscented Kalman filter with adjustment scaling parameter. Based on our proposed unscented Kalman filter with adjustment scaling parameter, it is only one single Kalman filter and it is impossible to use only one single filter to describe the state in the whole state space equation. So after inspired by the idea of information fusion theory, we apply our proposed unscented Kalman filter with adjustment scaling parameter on multiple unscented Kalman filters to obtain their corresponding state estimations. Then, we choose the weighted summation as the final state estimation, whose weights are determined by probability level. Considering these different models, one improved unscented Kalman algorithm based on the iterative multiple models is studied here. Generally, the main contributions of this paper are formulated as follows. (1) For the commonly used unscented Kalman filter, one selection strategy is proposed to choose the scaling parameter adaptively. The optimal scaling parameter is identified through minimizing a maximum likelihood criterion. (2) On the basis of information fusion theory, the idea of iterative multiple models is applied to implement our proposed unscented Kalman filter with adjustment scaling parameter, then the weighted summation from these multiple models is set as the final state estimation, and the weights are determined by probability level. As a consequence, we combine the classical unscented Kalman filter, optimization theory, and information fusion theory to improve the accuracy of the state estimation; then, this state estimation is our considered SOC for the lithium-ion battery.

论文组织如下。节2，处理电池建模;此外，还介绍了SOC的定义和SOC估计的状态空间模型。采用无迹卡尔曼滤波器解决非线性系统的SOC估计问题第三节，并给出了详细的过程。在第四节，构造一个最大似然准则自适应地更新缩放参数，并考虑了该调整的计算复杂性。提出了一种改进的基于迭代多模型的无迹卡尔曼滤波算法第五节．在第六节，两个数值例子示出了在估计用于锂离子电池的SOC与调整缩放参数我们提出的无迹卡尔曼滤波器的有效性。第七节最后得出结论，并指出下一步的研究方向。图中给出了我们所提出的带有调整缩放参数的无迹卡尔曼滤波器及其其他改进的多模型的流程图1，其中黄色的部分是我们的主要贡献。

2.电池模型

本文认为，锂离子电池在能量密度和寿命方面都有一定的优势，是未来电动汽车动力电池的主要发展方向。为了简单介绍锂离子电池，通常将锂离子电池的内部状态分为SOC、温度、电流速率和健康状态四个部分。这四种状态反映了锂离子电池随时间变化的内在关系。这里我们重点介绍的是锂离子电池的内部结构，如图所示2，其细胞通常包含四个部分：聚合物正电极，隔膜，负极和电解质。锂离子电池的正极通常由锂离子聚合物构成。常见的阴极锂离子聚合物材料包括邻苯二甲酸锂，锂离子磷酸锂，钡酸锶，锂离子甘氨酸，镍金刚石和镍镍铝三元锂。隔膜处于液态锂离子电池的第一电荷和排出的过程中。电极材料与固体相界面处的电解质反应，以形成覆盖电极材料表面的钝化层，以分离电极和电解质，并且锂离子可以与隔膜结束化学反应。

为了方便后一个仿真示例，锂电池测试需要在不同的温度和不同的速率下对锂离子电池进行充放电。因此，实验台所需要的设备包括恒温器、电池充放电装置、三元氖电池和上位机。锂电池测试平台如图所示3.，详细过程描述如下:步骤1．电池的充放电正极和负极分别通过线束连接到电池的正极和负极，并根据电池允许的充放电比选择合适直径的线束，避免线束烧毁。电压采样线的一端接至电池的另一端，连接电池充放电装置的电压采样接线端口。最后，将热敏电阻的测温线连接到电池表面，测温线的另一侧连接到电池充放电装置的测温端子。步骤2．设置在培养箱的锂电池，并设置实验环境温度。步骤3．启动电池充电和放电的设备和孵化器。第四步．在在线机中，编辑充放电测试步骤或将编辑好的当前测试文件导入主机，自动生成测试步骤;然后，设置采样时间和输出文件保存地址，开始测试。

实际上，在用于锂离子电池的SOC上的所有参考文献，两种常用的电池模型存在，即，等效电路模型和电化学模式。作为电化学模式是非常复杂的，并且它是非常困难的在锂离子电池的建模来设计后者卡尔曼滤波器在该电化学模型的情况下，所以在这里，是最近使用的等效电路模型。等效电路模型关于电池内部的反应作为电路，含有一些电子部件，所以等效电路模型由基本电路组件，诸如电阻器，电容器，和电压源。这四个基本电路组件被广泛地探讨，由于其相对简单的数学结构和降低的计算复杂性。等效电路模型显示在图4.，物理意义简单明了，将用来描述电池的充放电特性。通过对模型精度和计算复杂度的权衡，对锂离子电池选择了一个戴文宁等效电路模型，并将其作为我们的电池模型。

基尔霍夫定律或一些物理原理，定义变量如下: 在哪里为终端电压，为负载电流，为内部欧姆电阻，和是电池的极化电阻和极化电容，是极化电压，和为开路电压，在SOC下是单调的。此外,可改写为下面的多项式形式： 在哪里是多项式形式的系数(3.),为锂离子电池的SOC。SOC被定义为剩余容量与额定容量的比值。此外，由式(3.)，由于电压为多项式形式，为了简化后面的数学分析，我们假设充电和放电具有相同的行为。利用安培小时计数原理，SOC可以表示为: 在哪里为采样时间，锂离子电池在时间瞬间的SOC是多少 那 为初始SOC，为负载电流，库仑效率，和为电池的标称容量。状态空间方程可以通过离散化得到，得到如下的离散状态空间方程: 在哪里为采样时间，处于雕像值采样时间，和是指定的小采样周期。表示的非线性函数 ．状态空间方程矩阵(5.） 和 （6.)可以用经典的最小二乘方法识别，但本文的目标是估计SOC在时间瞬间采用卡尔曼滤波。

3.SOC估计的无迹卡尔曼滤波器

在本节中，我们开始应用无迹卡尔曼滤波算法(UKF)来估计SOC。结合方程式(5.） 和 （6.），在时间瞬间是状态空间方程中的一个状态变量。进一步，我们想要证明哪些参数会影响SOC估计;然后，将该参数作为扩展状态空间方程中的新状态变量加入。

3．1.初步

为主要模型参数被分类为一个新的状态变量和SOC;则可得到UKF的扩展状态空间方程:

为了将UKF应用到上述状态空间方程中来估计第一个状态变量，我们重写方程(7.） 和 （8.)如下: 在哪里 式中(9.），和表示时刻的状态向量和测量向量 那分别。两张地图和表示两个未知的非线性函数，并且和是具有零均值2个状态和测量噪声。这些白噪声是独立的，相互之间同分布，和它们的协方差矩阵是和 ． 是初始状态，它的均值和协方差矩阵是和 那分别。初始状态独立于这两个白噪声和 ．

３．２．无迹卡尔曼滤波算法

观察公式后（9.)，我们的目标是从观测数据推断状态估计;它对应于非线性随机系统的滤波过程。在贝叶斯理论的框架下，状态估计等价于对观测数据的状态向量的后验概率分布的近似。众所周知，这种后验概率分布被命名为基于观测数据的条件概率密度函数。贝叶斯非线性滤波中的无迹卡尔曼滤波算法是在每个更新步骤中获取一系列状态空间形式的点，并匹配高斯分布。状态估计依赖于对给定准则函数的极小化，例如常用的最小平方误差准则: 在哪里是期望和所有观测数据的集合是瞬时的吗 那也就是说, 在方程(11),是状态的状态推定和是 ．在最小化准则函数(11），国家估计获取方式如下: 在方程(13)为条件均值，其期望可用随机样本策略近似。对于线性系统，将此条件均值简化为经典的卡尔曼滤波算法。相反，在非线性系统中，期望运算的计算比较困难。无迹卡尔曼滤波算法对滤波和预测过程中的均值和协方差矩阵进行迭代计算。放 和和对角矩阵和零矩阵有维数吗 ．因式分解矩阵如下:

然后，详细的无迹卡尔曼滤波算法可以表示为:步骤1(初始化):设置时间瞬时并定义先验初始条件下的预测均值和协方差矩阵: 步骤2(滤波):计算一系列点作为以及它们相应的权重如下: 在哪里是总分吗和是缩放参数。在每个点 那该变换是通过非线性函数得到的 ： 计算近似预测值的二阶矩如下: 均值和协方差矩阵的估计如下: 其中滤波增益被定义为 第三步(预测):计算一系列点作为以及它们相应的权重是

此外，在每个点 ，后非线性函数应用于变换，得到

计算以下第二阶时刻，如下所示：

放 那然后继续第二步。

在未加入的转换之后，位置的位置由一个变换变量的均值和协方差矩阵决定。然后，点的位置会影响到协方差矩阵的分母和缩放参数。更具体地说，在所述预测步骤中，将点的位置是在一个超椭球的控制下选择的，在哪里是一个内点。作为主要的转化方向由该协方差矩阵的一个特征向量给出 那在滤波步骤中，主要变换方向为是由协方差矩阵的一个特征向量决定的 ．超椭圆体的大小由缩放参数和点的位置判断同时。缩放参数可能会影响精度，它总是设置为 ．该尺度参数的选择可以通过级数展开误差来实现，级数展开误差表示真均值与其无迹变换近似之间的差值。通过权重的近似选择，级数展开的前三项为零，第四项也可以根据标度参数保证为零。尺度参数的确定与判据函数有关。但在我们所考虑的无迹卡尔曼滤波算法的无迹变换中，没有给定固定的尺度参数，以保证状态估计的高精度。工作点的位置或目标的期望状态会随着时不变系统的变化而变化。为此，采用一种基于近似最大似然函数最小的优化策略自适应调整缩放参数。

4.缩放参数调整

在无迹变换中，标度参数的选择依赖于一个具有一定估计的准则函数。但在上述无迹卡尔曼滤波算法的状态估计中，无法获得真变量。状态估计的唯一可用信息是观测序列。这种局限性强调了自适应调整缩放参数的重要性。在这一节中，我们提出了最大似然准则来获得一个合适的尺度参数。从理论上讲，最大似然准则与无迹卡尔曼滤波算法中的概率密度函数是一致的，因此最大似然准则要求有状态的先验知识和两个概率密度函数和观察到的噪音。采用最大似然准则设计最优标度参数 那其显式形式为

如果有两个概率密度函数和都是高斯分布，然后呢 在哪里 是平均一个高斯正态分布和协方差矩阵并且均值和协方差矩阵是缩放参数的所有功能 ．得到方程()的一个封闭解析解16)，可以应用一些数值优化方法来实现目标，如数值网格法或全局自适应方法。数值网格法覆盖了一个可行的优化区域 那然后,由等于空间网格点获得。优化函数是在等于空间网格计算后，将最佳缩放参数通过选择最大或最小网格点来选择。在全局自适应随机搜索算法中，将缩放参数的最小值设为自适应区间的下界，即 ．该值保证了在无迹卡尔曼滤波过程中的随机变量的协方差矩阵是正的形式。上限的自适应区间可设为一个概率水平;它表示随机变量的概率水平在一个地区的情况如下: 在哪里是设计参数和 为格拉姆函数。当维是一个特殊的情况下， ;然后,被选为

如果我们将 那然后 ．但这种全局自适应选择最优缩放参数的过程会增加无迹卡尔曼滤波算法的计算复杂度。这种缩放参数的自适应调整可以应用于所有的时间瞬间，而不是局限于非线性函数的状态估计 ．对于线性函数的特殊情况 那该缩放参数没有给出的UT变换的任何性能改进，但计算复杂度大大降低。通常，用于在无迹卡尔曼滤波器算法缩放参数的调整被配制如下，其中最大似然准则在这里使用：第1步（初始化）：设置和计算从方程(20.）;定义非线性测量阈值为以及初始时刻 ．定义初始条件下的均值矩阵和协方差矩阵为 步骤2(调整):定义缩放参数如下: 步骤3(滤波):在unscented卡尔曼滤波算法中实现滤波步骤，代入最优缩放参数进入第二步。步骤4 (prediction):在unscented卡尔曼滤波算法中实现预测步骤，代入最优缩放参数进入第二步。

然后，集 那继续上述步骤，然后转到步骤2。

5.一种改进的无迹卡尔曼滤波器

要扩展上述的Uncented Kalman滤波器，我们发现只能使用一个模型来描述仅在一个简单的过滤器中描述状态估计。在本节中，将应用于不同的滤波器中的不同模型，并且基于迭代多模型研究了一个改进的无名卡尔曼滤波器。首先解释多种模型的基本思想。目标的可能运动模式映射到一个模型集;然后，此模型集中的每个模型表示不同的模式。通过一些基于不同模式并行的多个滤波器，将选择输出的最终状态估计作为融合结果，对应于每个滤波器的局部状态估计。每个过滤器对应于其自己的状态空间模型，而不同的状态空间模型描述了不同的运动模式，因此来自每个过滤器的状态估计也不同。粗略地说，迭代多模型算法将不同的权重分配给不同的估计，并且这些不同的权重由概率级别确定。改进的uncented卡尔曼滤波器绘制在图中5.．该递归算法包括初始化、条件滤波、概率更新和组合输出四个步骤。

让表示在有效事件模型的采样周期 ;然后,为有效事件在模型的采样周期 ．案件模型，基于迭代多模型的改进无迹卡尔曼滤波算法公式为:（1）应用估计模型和协方差矩阵计算混合初始化，与模型匹配 ．假设所考虑的模型满足马尔科夫性质，则 在哪里模型的概率级别是多少 那 是一个常数，并且从模型转移的概率是多少模型 ．（2）对每个模型进行无迹卡尔曼滤波:在模型中采用无迹卡尔曼滤波和对所有模型 ．在不失一般性的前提下，本文也采用了上述缩放参数的调整方法。(一)初始化:和解决了许多个sigma点和权重 ．(b)σ点:使用每个状态模型来预测状态估计和σ点然后计算一些预测值和 ．协方差矩阵：申请 那 那和来计算协方差矩阵 那交叉协方差矩阵 那信息协方差矩阵 ．(c)更新策略:滤波增益如下: （3）模型概率更新为 在哪里是似然函数的过滤器，和 （4）状态估计融合为

更新后的状态如下：更新后的协方差矩阵如下:

在无迹卡尔曼滤波算法中引入尺度参数的自适应调整过程，可以获得比经典卡尔曼滤波更好的跟踪性能。改进的迭代多模型无迹卡尔曼滤波器的任务是扩展多目标跟踪问题。

6.仿真例子

本节给出了两个仿真实例，分别验证了该无迹卡尔曼滤波器对地面目标跟踪和锂离子电池SOC估计的有效性。

6．1.首先模拟例子

在第一个仿真例子中，我们的目标是跟踪一个带有白噪声的连续时间加速度运动模型。该地面目标的状态定义如下: 当上述目标状态包含在位置和速度方向和方向分别为，尺寸为 ．运动方程为 在哪里为采样区间，是高斯零均值状态噪声，其协方差矩阵是 那也就是说,

利用雷达探测器对地面目标进行观测，并对观测结果进行分析在时间瞬间从雷达探测角度是指地面目标与雷达探测之间的夹角。当雷达探测器打开时 在时间瞬间 那然后观察在时间瞬间如下:

This ground target is 10 km away from the radar detector with angle等速15米/秒。定义地面目标初始位置为[7,7]，雷达探测器初始位置为原点[0,0]。在整个尺度参数可调的无迹卡尔曼滤波算法中，选取滤波器的初始概率密度为

速度的概率密度是

最大缩放参数设置为 那然后我们得到这个 ．用于覆盖整个间隔的网格数为 ．然后，对应于我们深思熟虑滤波器的性能被一个均方误差根，其定义如下测定：

为了显示均方误差根与不同信噪比之间的紧密关系，我们对模型(39） 和 （41)，我们取以下三种情况:低信噪比 ;均值信噪比 ;信噪比高 ．unscented卡尔曼滤波算法中目标状态估计的性能与阈值的关系如图所示6.，其中三条曲线表示为上述三种情况。从图6.，我们可以看到缩放参数的自适应调整对高信噪比没有任何改善，而对中、低信噪比有很大的改善。

在图6.，在信噪比高的情况下，标度参数对状态估计的影响较小。这就是缩放参数对高信噪比没有任何改善的原因。相反，对于中低信噪比，标度参数是影响估计精度的重要因素。

6.2。第二次模拟例子

第二个仿真例子是锂离子电池的SOC估计。在这里，我们还没有实验平台，所以第二个模拟示例是基于开放引用中的引用。为了从电池中获取电流、电压、温度等实验数据，建立了电池试验台。电池试验台的结构如图所示3.．

基于实验平台，所述电池的开路电压具有与SOC的单调关系。开路电压和SOC之间的关系是通过在所考虑的锂离子电池的运行试验建立。让所有的电池被完全充电，并静置3小时后，使得内部的化学反应获得期望的平衡状态。更多的over, the discharge test includes a sequence of pulse current of 1 C with 6-min discharge and 10-min rest; then, the discharge test can make the battery to return back to its expected equilibrium state before running the next cycle. As three parameters are incorporated into the state variables simultaneously using the extended dimension method, so first we analyse the sensitivity analysis for the model parameter 那如图7.．测试范围必须考虑异常的范围条件。考虑到极端条件的存在和各种类型的噪声，有必要增加到20%。在对目标样本进行完整的SOC估计后，计算绝对误差的平均值。一个完整的SOC估计过程被记录为一个步长，用步长记录 ．灵敏度分析过程和和的相似吗 ．的灵敏度分析和如图所示8.和9.，这表明，灵敏度和和依次降低。从这三幅图中，我们还可以看出，所考虑的状态空间系统的响应更多地依赖于两个参数和 那灵敏度曲线随时间或迭代步长而增大。

被改写成下面的多项式形式 ．为了识别这种多项式形式的未知参数，采用最小二乘法来实现这一目标。然后，这种多项式形式的识别结果如图所示10，这示出了真实数据点与其识别的多项式形式之间的关系。

在整个仿真过程中，真正的参数可以通过使用一些系统识别策略，例如来鉴定，最小二乘法，工具变量方法，和最大似然方法。然后，识别的参数被获得如下：

然后，得到这三个矩阵如下:

为了证明上述辨识参数的辨识精度，我们利用Matlab仿真工具对该状态空间系统的波德图输出响应进行了仿真，同时得到了相位图和幅值图。为了验证所识别模式的有效性，并确保所识别的模型可以用来替代真模型，我们分别比较了真模型和其识别模型的Bode响应，如图所示11，红色曲线表示真实响应，黑色曲线表示识别的响应。更具体地说，真实的响应是用真实的矩阵或参数来模拟的，黑色曲线是用我们确定的矩阵或参数给出的。从图11，我们看到黑色曲线与红色曲线重合;这意味着这两条波德响应曲线重合，模型误差将随着时间的增加而收敛到零。

针对无迹变换中尺度参数的选择依赖于一个估计准则函数的问题，提出了最大似然准则来获得一个合适的尺度参数。采用最大似然准则设计最优尺度参数，并采用4个步骤对最优尺度参数进行调整。调整结果如图所示12，比较每个时刻的最优缩放参数及其对应的估计缩放参数。从图12我们看到，在每一个时刻，这两种比例参数彼此一致。

在图12，两种尺度参数重合的原因是估计的尺度参数是通过求解一个极大似然估计问题得到的。由于所构造的极大似然准则是一个全局凸函数，其最小值是唯一的;即估计值为最优值。

现在，我们开始使用我们考虑的改进的无迹卡尔曼滤波算法，如图所示4.来估计SOC。根据初始化、条件滤波、概率更新和组合输出四个步骤。SOC估计结果如图所示13，其中黑色曲线为估计输出，蓝色曲线为整个状态空间系统的期望输出。从图13中，可以看出，SOC推定的使用所提出的改进的无迹卡尔曼滤波器算法的结果接近所需的值。我们的改进的无迹卡尔曼滤波器算法的优点是在将一个调整缩放参数。这种缩放参数总是时刻增加变化，但不会是恒定的。更具体地说，在大的估计误差的情况下，缩放参数调整自适应拉接近其真实价值的估计值。使用红色曲线，这也被放大显示在图SOC估计误差14．SOC估计误差定义为 ．从SOC估计误差曲线趋近于零的事实可以看出，SOC估计可以用来代替真实的SOC值;即改进的无迹卡尔曼滤波算法得到的SOC估计对以后的控制或其他领域都有帮助。

7.结论

在本文中，在使用等效电路模型来描述电池充电和放电特性之后，构建一个状态空间方程以将SOC视为一个状态变量。基于关于SOC的这种状态空间模型，提出了无编号的卡尔曼滤波算法来实现SOC估计的目标，并建议对该无创的卡尔曼滤波算法自适应地进行缩放参数的一个调整策略。此外，为了将单个SOC估计扩展到多个模块，基于迭代多模型研究了一个改进的无名卡尔曼滤波器算法。基于我们改进的算法，模型参数的灵敏度降低，SOC估计误差会聚到零。

数据可用性

用于支持本研究结果的数据可根据要求可从相应的作者获得。

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。