全球稳定的变异流行病传播模型在复杂网络

文摘

流行病传播网络成为非线性系统的一个热点问题,近年来吸引了很多研究人员的关注。小说流行病传播模型与变异因素提出了复杂网络和调查。该模型的主要特点之一是病毒变异研究流行病动力学的过程中蔓延。这个模型包括一个流行的全球动态平衡和无病平衡点,分别进行了讨论。给出了一些充分条件存在的特有的平衡。此外,无病平衡点全局渐近稳定的问题应用地方病平衡点也调查劳斯-霍尔维茨方法和稳定性判据和李雅普诺夫稳定性判据。和新系统的一致持久性条件进行了研究。最后,提供了数值模拟说明了理论结果。

1。介绍

传染病的研究一直是一个热点问题的非线性系统和应用程序。流行的动态复杂网络上流行蔓延,它描述了如何感染传遍网络(1]。近年来,许多研究工作已经完成关于病毒性流行病传播动力学(2,3]。这些结果有助于防治大多数新兴传染病如非典,艾滋病毒/艾滋病、H5N1病毒和甲型H1N1流感。他们也有意义为研究提供重要的信息领域的谣言传播(4- - - - - -7)、交通动力学(8- - - - - -10),计算机病毒(11,12)、生物学机制(13),和医学发展(14- - - - - -16]。

在现实世界中,人口规模足够大,这样的人可以被认为是均匀的。社会和生物系统可以正确地描述为复杂网络节点代表个人和模仿的交互链接(17,18]。合适的传染病传播的数学模型在复杂均匀网络的实用价值分析详细的传播过程。因为流行病传播通常对社会带来极大的危害,是非常迫切需要建立准确的传播模型考虑到感染扩散的问题。在过去的几十年,复杂流行病学模型从不同的角度制定(19,20.]。在这些模型中,,,分别表示,个人容易受到疾病,感染个体的数量,和人的数量从被感染。流行病传播的过程可以进一步与微分方程建模,例如,,模型(21- - - - - -26]。在这些研究工作网络拓扑结构简化自动定期网络或网络充分混合均匀,在网络结构和流行病传播之间的关系进行了探讨。Kephart et al。27)建立了一个基于均匀网络病毒传播模型通过描述网络平均度指标和获得了病毒的传播阈值,而Pastor-Satorras [28- - - - - -31日]研究了复杂的异构网络暴发流行,而选择度和平均度作为网络指标和获得艾滋病疫情的蔓延,阈值。摩尔和纽曼(32]应用渗流理论分析疫情传播行为在小世界网络和小世界网络之间的传播行为的差异和规律的网络。这些研究结果说明,不同的网络拓扑结构可以影响疫情蔓延。

除了网络拓扑结构,其中最重要的流行病传播模型的特点是动力稳定可以反映传染病的传播行为的发展。因此,这些流行病模型的稳定性问题需要调查。Kuniya [21)应用离散化方法证明的全局渐近稳定性与年龄结构模型。张,冯22)应对全球动力学模型的分析描述肺结核的传播与隔离和不完整的治疗。Lahrouz et al。23研究一个非线性与饱和的出生率和死亡率模型,模型的全局渐近稳定。徐et al。24]分析了时滞与临时免疫模型,一些条件的全局渐近稳定性的无病平衡点和地方病平衡点。此外,时滞传染病模型康和傅25提出了一个新的模型与一个感染性向量在无标度网络和全球平衡的稳定性证明。治疗和疫苗接种工作动态的影响孵化延迟和复发的疾病模型研究和局部稳定性的充分条件平衡推导(26]。

但是,很少有论文在文献中考虑不同因素在艾滋病疫情的蔓延,从一个系统的框架。在现实世界中,某些变异存在于传染病传播,造成一些环境因素包括基因突变和细胞分裂。病毒发展迅速,因为他们有很强的能力倾向的遗传变异和生成时间短,导致逃避人体免疫反应和获得耐药性。例如,流感病毒可分为三种主要类型(A、B和C)。有许多不同的病毒形式因为突变;类型感染许多动物物种包括人类,而B型和C型病毒主要是人类病原体。如果个人受到病毒的影响,并非所有的感染者都可以恢复。他们中的一些人可能患有其他疾病,因为病毒变异或变异的传染性个人联系。事实上,一些传染病人,谁可能会感染一些疾病,会有一定的概率成为变种另一组的成员。有必要提出一种新的模型考虑这种情况。如何构建流行病传播模型与变异因素成为一个挑战。 Therefore, the paper presents a novel流行病传播模型考虑变异因素,代表敏感和,,站传染性的变种,分别和恢复。

的机制模型在均匀网络中,这只是最初由空节点,整个人口可分为四组所描述的的象征,,,,分别。他们表示四个流行病学状态:易感,感染,变异和恢复。所有新的个人应该是空节点在复杂网络。当其他易感个体接触被感染的个体,这个人可能会感染有一定概率。传染病人就只有三个州包括传染病、变种和恢复。传染性个人将成为变异有一定概率受一些因素如基因突变和细胞分裂的不确定性。同样,传染病人可能成为一个变种与某些变异概率后联系。通常,可以保护人体免疫系统。一些传染性患者恢复概率可能会恢复,而其他人将感染状态。我们假设四组死亡率相同。

在这篇文章中,一本小说流行病传播模型与病毒变异在复杂均匀网络提出和研究。本文的其余部分组织如下。节2的传播机制提出了复杂网络模型,平均场方程用来描述流行病传播的动力学模型与病毒变异。地方病平衡点的存在。部分3致力于讨论无病平衡点的全局稳定性,这是接着讨论部分的系统统一的持久性4。地方病平衡点的全局稳定性的证明了5。节6,数值模拟说明了理论结果。最后,给出了结论部分7。

2。流行病传播模型及其属性

2.1。SIVRS模型

如上所述,在报纸上一个新的模型建立。模型包括一个新变型集团是由传染性变化引起的。假设节点的数量在一个封闭的复杂网络,其中包括四个状态敏感、传染病,变体,恢复以及一些初始空节点。所有新节点产生空白节点是敏感的。

流行病传播的流程图如图1。

假设在均匀网络中只由空节点最初易感个体产生的空节点;概率特征。其他人来自康复组与概率。易感个体将成为传染的概率如果他/她接触受感染的个人。然后感染个体也许当他/她成为一个变体与变异的紧密关系或受到其他因素的影响。我们假设变异概率当接触的变体。传染性流行病传播的过程中,个人不得成为内部的变异概率。一些传染性患者恢复概率可能和其他人将感染状态中恢复过来。摘要四组应该有相同的死亡率。然后流行病传播规则可以概括如下。(1)除了四组在一个封闭的网络,有空白节点存在于最初的网络。空白节点的概率可能会变得敏感,即原油出生率。(2)易感个体成为传染的概率当接触有传染性,即感染率。(3)个人可以恢复概率传染病,即回收率。(4)变异来自一些传染性节点以变化的速度(内部变异率)可以反映出变化的因素。当一个传染性个人接触的变体,个人不得成为变异概率(接触变异率)。(5)恢复节点的概率变成敏感一段时间后由于失去免疫力。四组的网络,所有人都将成为空白的概率,即自然死亡率。

一个封闭的和均匀的网络组成的个人了。个人可以代表网络中节点和不同个体之间的联系可以用边缘。然后网络可以被描述为一个无向图,在那里和分别表示节点和边的集合。因此,一个微分方程模型推导出基于上述规则和基本假设: 在哪里表示网络的平均度。

人口总数满足,得到以下方程: 这是派生通过添加四个方程(1)。

在(2)最终会倾向于指数衰减。因此,假设。关闭和积极不变集(1)是,在那里表示的非负锥以其低维的面孔。使用和表示的边界和内部在,分别。

2.2。均衡的存在

系统(1)有一个无病平衡点(DFE),在那里

表示基本的繁殖数量参数 下面的定理总结了参数限制平衡的存在。

定理1。如果和不平等 是满意,有两种流行的平衡系统(1)。

证明。假设是一个流行的平衡(EE)系统(1)。根据系统(1),我们有 (6)会导致一个简单的计算 从(7),这意味着 组件是一个积极的解决方案 在哪里 因此,考虑以下:(1)如果,我们有;(9)只有一个正解。(2)如果,我们有;(9)只有一个正解。(3)如果,我们有:(我)如果积极的解决方案(9)不存在;(2)如果和的解决方案(9)不存在;(3)如果和,(9)只有一个正解;(iv)如果和,(9)有两个正解。因此,如果的解决方案(9只有当存在)。
根据不平等,,假设,选择,,然后 如果不平等很满意,我们有吗 然后得到以下方程: 这意味着系统(1)有两个流行的平衡。
当, 它可以转移到不平等吗。
如果,我们有。然后不平等(12)是满意的。

备注2。根据这个定理,如果上面的繁殖数量参数阈值,然后地方病平衡点是全局渐近稳定,将在部分进一步讨论5。

3所示。无病平衡点的全局稳定性

定义3。如果平衡李雅普诺夫意义下稳定和,有实数这使得初始值吗不平等的,,满足如下不等式: 平衡是渐近稳定的。

无病平衡点的雅可比矩阵的系统(1)是

显然,如果,矩阵的所有特征值(16)是负的。然后无病平衡点局部渐近稳定在吗。此外,如果,有一个积极的特征值是不稳定的。

定理4。如果无病平衡点(DFE)全局渐近稳定在吗如果无病平衡点(DFE)是不稳定的。

证明。让李雅普诺夫函数;然后。当 是正定是负的。因此,无病平衡(DFE)全局渐近稳定在吗;可以给下面的结果。

4所示。统一的持久性

在本节中,统一持久性系统(1)将讨论基本的繁殖数量。

定义5(见[33])。系统(1)据说是均匀持久,如果存在一个常数,这使得任何解决方案与满足

让是一个局部紧度量空间度量,让是一个封闭的非空的子集与边界和内部。很明显,是一个封闭的子集。让是一个动力系统上定义的。一组在据说是不变的如果。定义。

引理6(见[34])。假设如下:(H1) 有一个全局吸引子。(H2)存在一个的两两不相交、紧凑和孤立不变集这样(一) ;(b)没有的子集形成一个周期;(c)每一个也在孤立;(d) 为每一个,在那里的稳定流形是吗。然后均匀持久的对吗。

根据引理6,得到以下结果。

定理7。当系统(1)是均匀持久。

证明。让 很明显,。
选择,对所有。在系统(1)减少,在这作为。得出,对所有,这表明假设(a)和(b)。当,无病平衡根据定理是不稳定4 。假设(c)和(d)是那么满足。由于最终有界性的解决方案的系统(1),是一个全球性的吸引子,(H1)真的。

5。全球流行的动态平衡

从前面分析,疾病死亡时;那么疾病变得流行。在本节中,李雅普诺夫渐近稳定性定理是用来调查地方病平衡点的全局渐近稳定性当。

定理8。特有的平衡全局渐近稳定在吗,每当。

证明。考虑下面的功能: 的导数的解决方案(1)是由 从(2),所有的解决方案(6)满足平等 和,在那里的价值吗满意。
因此;然后 当且仅当,和感到满意。
是正定是负的。因此,函数是系统的李雅普诺夫函数1)和特有的平衡由李雅普诺夫渐近稳定性定理(全局渐近稳定35]。完成证明。

6。数值模拟

为了证明本文的理论结果,将讨论一些数值模拟。在本文中,假设的初始值(IV)和参数值将得到如下。

考虑的初始值是设置为,,,分别。(1)无病平衡点:集,,,,,,,。和无病平衡点从上面的参数值通过计算。根据定理4,无病平衡的系统(1)是全局渐近稳定的在这种情况下。仿真结果如图2(一个)和2 (b)。(2)地方病平衡点:集,,,,,,,。通过直接计算,和地方病平衡点可以从上面的参数值。根据定理4,积极的地方病平衡点的系统(1)是全局渐近稳定的。仿真结果如图3(一个)和3 (b)。

图2显示,如果,所有的解决方案会被吸引到无病平衡点无论系统的初始值(1),这说明了定理的有效性4。同样,从图可以看出3所有的解决方案会吸引地方病平衡无论系统的初始值(1)如果和定理的条件8满意,这显然是定理的内容吗4。此外,可以验证的值之间的关系平衡中所示(24),与理论结果相一致:

7所示。结论

的稳定性流行病传播模型在复杂网络中病毒变异了。模型包括一个新变型集团是由传染性变化引起的。通过分析模型,无病平衡时被证明存在的基本复制号码吗小于1。分析结果表明,传染病死亡的时候不仅仅是1和它变得流行。地方病平衡点的现有条件相关的变异率和网络节点度。此外,全局渐近稳定性条件应用获得的无病平衡点是劳斯-霍尔维茨方法的稳定性判据和李雅普诺夫稳定性判据。和系统一致持久性的状况。地方病平衡点的稳定性的证明也说明。最后,数值模拟说明的正确性无病平衡点和地方病平衡点的结果。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突存在。

确认

这项研究部分由中国国家自然科学基金(批准号。61473319,61473319)的创新研究群体科学基金国家自然科学中国格兰特(61321003),和创造性的科学基金研究项目(2015 cx007)。

引用

1. r·艾伯特和A.-L。巴斯”统计力学的复杂网络,“现代物理学的评论,卷74,不。1,47 - 97、2002页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
2. m·e·j·纽曼,“复杂网络的结构和功能,暹罗审查,45卷,不。2、167 - 256年,2003页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
3. s . n . Dorogovtsev a . v . Goltsev和j·f·f·门德斯,“在复杂网络临界现象”,现代物理学的评论,卷80,不。4、1275 - 1335年,2008页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
4. l .赵w·谢·h·o·高,邱x, x,和美国,“谣言传播模型与可变遗忘率。”自然史一,卷392,不。23日,第6154 - 6146页,2013年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
5. f . Chierichetti s Lattanzi, a . Panconesi”在社交网络谣言传播,”理论计算机科学,卷412,不。24日,第2610 - 2602页,2011年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
6. p . Manshour和a . Montakhab”与当地确定性动态复杂网络上的扩散,”非线性科学与数值模拟通信,19卷,不。7,2414 - 2422年,2014页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
7. 刘和Z.-K。张“动态社会网络,信息传播”非线性科学与数值模拟通信,19卷,不。4、896 - 904年,2014页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
8. k .乔·赵和X.-M。么,“城市轨道交通网络的性能分析,交通运输系统工程与信息技术》杂志上,12卷,不。4、115 - 121年,2012页。视图:谷歌学术搜索
9. o . Lordan j . m . Sallan p输出极点,“航空公司航线网络的拓扑结构和鲁棒性的研究从复杂网络的方法:调查和研究议程,”交通地理杂志37卷,第120 - 112页,2014年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
10. 凌x, M.-B。胡,W.-B。杜,r .江,中州。吴,Q.-S。吴”,为交通系统的无标度网络带宽分配策略,”物理信,卷374,不。48岁,4825 - 4830年,2010页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
11. L.-X。杨和x。杨”,计算机病毒的传播在无标度网络,减少”自然史答:统计力学及其应用卷,396年,第184 - 173页,2014年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
12. c . Gan x, w·刘问:朱、张x,“流行病模型的计算机病毒与疫苗接种和广义非线性发生率,”应用数学和计算卷,222年,第274 - 265页,2013年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
13. r . Steuer”拓扑的计算方法,稳定和动态的代谢网络,”植物化学,卷68,不。16 - 2139 - 2151,2007页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
14. j . a . Li Li和y锅,“发现自然的社区网络,”自然史一,卷436,不。15日,第896 - 878页,2015年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
15. y Maeno”,发现传染病疫情背后的网络。”自然史一,卷389,不。21日,第4768 - 4755页,2010年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
16. r .因特网和g·伊万诺娃猎鹰或如何计算措施时间有效地动态演进的密集的复杂网络,”生物医学信息学杂志卷,47号2、62 - 70年,2014页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
17. 黄永发。李,X.-Y。邵,Y.-M。长,H.-P。朱,b . r . Schlessman“全局优化的基于社会关系网络,小世界优化算法”中南大学学报,19卷,不。8,2247 - 2265年,2012页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
18. X.-H。杨,王b, b .太阳”,一种新的加权演化网络模型基于集团重叠生长,”中南大学的技术杂志》上,17卷,不。4、830 - 835年,2010页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
19. 欧迪克曼和j·a·p·Heesterbeek数学传染病流行病学:模型建立、分析和解释卷。251年,约翰·威利& Sons奇切斯特,英国,2000年。
20. h·r·蒂米人口生物学数学4卷,普林斯顿大学出版社,2003年。
21. t . Kuniya,”全球稳定与一个非自治离散化方法分析多组先生流行病模型,”非线性分析:现实世界的应用,12卷,不。5,2640 - 2655年,2011页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
22. 张j . g .冯,“全球稳定的肺结核模型与隔离和不完整的治疗,”计算和应用数学,34卷,不。3、1237 - 1249年,2015页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
23. a . Lahrouz l·奥马里,d . Kiouach“全局分析的确定性和随机非线性SIRS传染病模型,”非线性分析:建模和控制,16卷,不。1,59 - 76年,2011页。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
24. r .徐、z Ma和z . Wang“延迟SIRS传染病模型的全局稳定性与饱和发生率和临时免疫力,”计算机和数学与应用程序卷,59号9日,第3221 - 3211页,2010年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
25. h·康和傅x”,流行蔓延和全球稳定的SIS模型与一个感染性向量在复杂网络,”非线性科学与数值模拟通讯,27卷,不。1 - 3,- 39,2015页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
26. p . Raja Sekhara饶和m·库马尔”传染病动力学模型:接种疫苗和治疗的作用,“混乱,孤波和分形卷。75年,34-49,2015页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
27. s . r . j . o . Kephart白、d . m .象棋“电脑和流行病学,”IEEE频谱,30卷,不。5,20-26,1993页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
28. y莫雷诺,r . Pastor-Satorras和a . Vespignani“复杂的异构网络暴发流行,”欧洲物理期刊B,26卷,不。4、521 - 529年,2002页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
29. r . Pastor-Satorras和a . Vespignani”在复杂网络流行动态和流行国家,”物理评论E文章ID 066117卷,63年,2001年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
30. r . Pastor-Satorras和a . Vespignani”在无标度网络流行蔓延,”物理评论快报,卷86,不。14日,第3203 - 3200页,2001年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
31. r . Pastor-Satorras和a . Vespignani流行病动力学在有限大小的无标度网络,”物理评论E,卷65,不。第三条ID 035108, 2002。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
32. c·摩尔和m·e·j·纽曼,“流行和渗透在小世界网络,”物理评论E,卷61,不。5,5678 - 5682年,2000页。视图:谷歌学术搜索
33. 巴特勒,弗里德曼h . i, p . Waltman“一致持久的系统,”美国数学学会学报》上,卷96,不。3、425 - 430年,1986页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
34. X.-Q。赵,种群生物学的动力系统,加拿大数学学会,施普林格,2003年。
35. a . m .李雅普诺夫一般运动的稳定性问题泰勒和弗朗西斯,伦敦,英国,1992年。

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