应用混合搭配三次b样条方法求解广义非线性Klien-Gordon方程

文摘

广义非线性Klien-Gordon方程在量子力学和相关领域是很重要的。摘要semi-implicit方法提出了基于混合立方b样条的非线性Klien-Gordon方程的近似解。通常的有限差分方法用于离散化时间导数而混合应用三次b样条插值函数在空间维度。应用程序几个测试问题的结果显示良好的协议与已知的解决方案。

1。介绍

考虑一个广义非线性Klien-Gordon(公斤)方程的形式1] 初始条件和狄利克雷边界条件在哪里表示波位移的位置和时间,是一个非线性函数在吗,和是常数,,,,,已知函数。

在过去十年左右的时间中,样条函数是用来解微分方程。例如,卡等。2]介绍了三次b样条插值法来解决两点边值问题。有限差分获得的结果进行了比较,有限元,有限体积法。卡等。2]认为b样条插值是一种更好的方法来插入比其他任何光滑函数。哈米德et al。3)已经开发出一种立方三角b样条插值方法,同样的问题。他们发现三角b样条给更好的近似技术相比,用卡等。吴作栋et al。4)提出了一个比较三次b样条和扩展立方b样条搭配热方程求解方法。得出结论,扩展的三次b样条给出更好的结果。通过使用相同的方法,阿巴斯et al。5)解决了耦合反应扩散系统。他们发现b样条函数接近系统很好,结果是在良好的协议与已知的解决方案。

伟大的交易解决公斤方程进行了研究,结果发现在6- - - - - -13]。Dehghan和负责人14)近似的数值解非线性公斤方程利用薄板样条函数(TPS)径向基函数。声称的实现方法是简单的有限差分法和数值结果在文学比其他人更准确。Khuri和Sayfy1)解决了广义非线性公斤方程用有限元搭配方法基于第三度多项式b样条。六非线性公斤方程的例子包括Sine-Gordon方程进行了分析。该方法给出了兼容的结果和更好的近似Dehghan和负责人的方法相比14]。Rashidinia et al。15)提出了一种三次b样条配置方法求解线性方程公斤。结果表明该方案是有效和准确的。

在本文中,一种新方法通过结合混合三次b样条函数和中央有限差分方程提出了解决公斤。有限差分方法用于时间导数和混合立方搭配方法应用于插入解决方案空间维度。该计划获得由冯诺依曼稳定性分析进行了分析。显示该方法的可行性和准确性,三个问题。数值解,绝对错误,最大误差,计算收敛和秩序。

2。时间离散化

考虑一个均匀的网格与网格点离散化网格区域与和,在那里和。的值和分别表示网格空间大小和时间步长。Klien-Gordon方程的近似时间水平如下(16]: 在哪里,下标和连续时间的水平。中心差分方法被用来使离散时间导数。为了产生Crank-Nicolson计划,选为0.5。因此,该计划在,有任期,以外的领域。因此,初始条件(2 b)是由以下中心差分近似方法。因此, 整个方案是解决数值用混合三次b样条函数的下一节中讨论在每一次级别。

3所示。混合搭配立方b样条方法

在本节中,混合立方b样条(HCuBS)是用于解决非线性公斤方程。近似解,解析解,,被认为是在哪里确定时间未知,混合4立方b样条基函数的顺序是在哪里三次b样条基函数作为吗和是立方三角b样条基函数(18,19]给出与,,。的价值扮演着一个重要的角色在混合立方基函数。如果基函数等于立方三角b样条基函数,如果基函数等于立方b样条基函数。因此,这项工作就认为的价值。

由于当地支持b样条基函数的性质,只有三个非零基础功能;也就是说,,,包含在子区间。因此,对近似解及其衍生物在是在哪里与在哪里这些近似代替成(4)产生的矩阵系统订单与未知的。为了产生一个独特的解决方案,系统中需要两个额外的方程。因此,边界条件(2摄氏度)和(二维)近似如下: 因此,由此产生的系统可以写成在哪里与,,。

这个三对角矩阵系统可以解决使用托马斯算法反复。

4所示。初始状态,

初始向量,从初始条件(2衍生品的)和边界值的初始条件如下2,16]:(我) 为,(2) 为,(3) 为。

这个操作的收益率矩阵系统: 三对角系统的解决方案是通过使用托马斯算法(20.]。

5。冯·诺依曼稳定性分析

单傅里叶模式误差的增长被认为是在哪里和是模式的数字。众所周知,这种方法适用于线性方案。因此,(1)是由假设所有线性化非线性项等于零(15]。替换后得到以下方程(10)线性方案: 在哪里用(18)(19),生成特征方程如下: 在哪里,。基于Routh-Hurwitz判据,转换,,应用于特征方程15,21]。然后,方程必要和充分条件是,和。因此,以下条款已证明: 因此,这个方案的结论是无条件稳定的。

6。数值结果和讨论

在本节中,两个问题涉及公斤方程的初始条件和狄利克雷边界条件测试。为了测量的准确性的方法,绝对误差和最大误差计算使用(22] 在哪里和分别分析解和近似解。收敛的流水号,通过使用(1] 在哪里和是在分区数量和,分别。

问题1。考虑下面的非线性Klien-Gordon方程(1,14] 初始条件和边界条件给出了解析解。图1展示了该解析解的时空图。

最初,这个问题是通过测试和。这个问题的数值解表中列出1。这个问题的绝对误差在同一点列在下表中2。绝对错误的与,,图中也描述了吗2。可以看出HCuBS的数值和图形能够给出更好的结果。这一观点建立了通过比较获得的最大误差和最大误差得到Khuri和Sayfy1),Dehghan和负责人14寻,垫等。17]。表3汇总的比较值最大误差在不同时间的水平。


	分析解决方案	HCuBS(γ= 0.1)	HCuBS(γ= 0.5)	HCuBS(γ= 0.9)

0.2	0.0567	0.0567	0.0567	0.0567
0.4	0.1135	0.1134	0.1134	0.1135
0.6	0.1702	0.1702	0.1702	0.1702
0.8	0.2269	0.2269	0.2269	0.2269
1.0	0.2837	0.2837	0.2837	0.2837


	寻垫等。17]	HCuBS(γ= 0.1)	HCuBS(γ= 0.5)	HCuBS(γ= 0.9)

0.2	2.473×10⁻⁵	2.227×10⁻⁵	1.242×10⁻⁵	2.571×10⁻⁶
0.4	3.810×10⁻⁵	3.432×10⁻⁵	1.916×10⁻⁵	3.969×10⁻⁶
0.6	3.559×10⁻⁵	3.206×10⁻⁵	1.791×10⁻⁵	3.714×10⁻⁶
0.8	2.152×10⁻⁵	1.938×10⁻⁵	1.082×10⁻⁵	2.243×10⁻⁶


	1	2	3	4	5

(= 0.02,= 0.0001)
Dehghan和负责人14]	1.254×10⁻⁵	- - - - - -	1.555×10⁻⁵	- - - - - -	3.379×10⁻⁵
(= 0.1,= 0.005)
Khuri和Sayfy1]	2.838×10⁻⁴	3.299×10⁻⁴	7.055×10⁻⁵	3.018×10⁻⁴	3.249×10⁻⁴
寻垫等。17]	4.552×10⁻⁵	4.358×10⁻⁵	1.359×10⁻⁵	5.353×10⁻⁵	3.868×10⁻⁵
HCuBS(γ= 0.1)	4.100×10⁻⁵	3.925×10⁻⁵	1.224×10⁻⁵	4.821×10⁻⁵	3.484×10⁻⁵
HCuBS(γ= 0.5)	2.288×10⁻⁵	2.190×10⁻⁵	6.826×10⁻⁶	2.691×10⁻⁵	1.946×10⁻⁵
HCuBS(γ= 0.9)	4.739×10⁻⁶	4.536×10⁻⁶	1.414×10⁻⁶	5.575×10⁻⁶	4.033×10⁻⁶

然后,这个问题是考验和。表4和5说明这个问题的数值解和绝对的错误,分别。图形,这个问题的绝对误差与,,绘制在图3。从目前获得的最大误差方法的对比与Khuri Sayfy [1),Dehghan和负责人14寻,垫等。17)方法如表所示6。从表和数据,显然HCuBS接近这个问题很好Khuri和Sayfy相比1),Dehghan和负责人14寻,垫等。17]。


	分析解决方案	HCuBS(γ= 0.1)	HCuBS(γ= 0.5)	HCuBS(γ= 0.9)

0.2	0.0567	0.0567	0.0567	0.0567
0.4	0.1135	0.1135	0.1135	0.1135
0.6	0.1702	0.1702	0.1702	0.1702
0.8	0.2269	0.2269	0.2269	0.2269
1.0	0.2837	0.2837	0.2837	0.2837


	寻垫等。17]	HCuBS(γ= 0.1)	HCuBS(γ= 0.5)	HCuBS(γ= 0.9)

0.2	4.404×10⁻⁶	3.964×10⁻⁶	2.205×10⁻⁶	4.450×10⁻⁷
0.4	6.172×10⁻⁶	5.556×10⁻⁶	3.090×10⁻⁶	6.237×10⁻⁷
0.6	5.745×10⁻⁶	5.171×10⁻⁶	2.876×10⁻⁶	5.805×10⁻⁷
0.8	3.524×10⁻⁶	3.172×10⁻⁶	1.764×10⁻⁶	5.560×10⁻⁷


	1	2	3	4	5

(= 0.02,= 0.0001)
Dehghan和负责人14]	1.254×10⁻⁵	- - - - - -	1.555×10⁻⁵	- - - - - -	3.379×10⁻⁵
(= 0.04,= 0.001)
Khuri和Sayfy1]	4.599×10⁻⁵	8.053×10⁻⁵	1.276×10⁻⁵	7.292×10⁻⁵	5.128×10⁻⁵
寻垫等。17]	7.316×10⁻⁶	6.986×10⁻⁶	2.089×10⁻⁶	8.596×10⁻⁶	6.245×10⁻⁶
HCuBS(γ= 0.1)	6.585×10⁻⁶	6.288×10⁻⁶	1.880×10⁻⁶	7.738×10⁻⁶	5.622×10⁻⁶
HCuBS(γ= 0.5)	3.662×10⁻⁶	3.497×10⁻⁶	1.046×10⁻⁶	4.304×10⁻⁶	3.127×10⁻⁶
HCuBS(γ= 0.9)	7.390×10⁻⁷	7.057×10⁻⁷	2.110×10⁻⁷	8.645×10⁻⁷	6.311×10⁻⁷

目前问题的收敛性的顺序是列在下表中7。这个表的检查显示,有将近二阶收敛的方法。


= 0.005			= 0.001


5	1.538×10⁻⁵	- - - - - -	25	6.311×10⁻⁷	- - - - - -
10	4.033×10⁻⁶	1.932	50	1.633×10⁻⁷	1.886
20.	1.116×10⁻⁷	1.853	One hundred.	4.603×10⁻⁸	1.827

问题2。非线性Klien-Gordon方程是(14] 初始和边界条件在哪里,,。解析解是已知的。时空图解析解如图4。

这个问题是数值求解使用和。表8和9近似解和绝对错误列表,分别。绝对错误的图形绘制有三个不同的值如图5。这个问题的最大误差是相比Dehghan和负责人14)工作表中列出10。表表明HCuBS给这个问题更好的结果。


	分析解决方案	HCuBS(γ= 0.1)	HCuBS(γ= 0.5)	HCuBS(γ= 0.9)

0.1	1.2439	1.2440	1.2440	1.2440
0.2	1.3818	1.3819	1.3819	1.3819
0.3	1.5435	1.5438	1.5438	1.5438
0.4	1.7369	1.7373	1.7373	1.7373
0.5	1.9735	1.9739	1.9739	1.9739
0.6	2.2710	2.2715	2.2715	2.2715
0.7	2.6583	2.6588	2.6588	2.6588
0.8	3.1862	3.1867	3.1868	3.1868
0.9	3.9523	3.9527	3.9528	3.9528
1.0	5.1718	5.1718	5.1718	5.1718


	HCuBS(γ= 0.1)	HCuBS(γ= 0.5)	HCuBS(γ= 0.9)

0.1	8.706×10⁻⁵	8.825×10⁻⁵	8.944×10⁻⁵
0.2	1.699×10⁻⁴	1.721×10⁻⁴	1.744×10⁻⁴
0.3	2.501×10⁻⁴	2.533×10⁻⁴	2.564×10⁻⁴
0.4	3.289×10⁻⁴	3.328×10⁻⁴	3.368×10⁻⁴
0.5	4.065×10⁻⁴	4.112×10⁻⁴	4.158×10⁻⁴
0.6	4.810×10⁻⁴	4.861×10⁻⁴	4.913×10⁻⁴
0.7	5.439×10⁻⁴	5.493×10⁻⁴	5.547×10⁻⁴
0.8	5.695×10⁻⁴	5.746×10⁻⁴	5.798×10⁻⁴
0.9	4.783×10⁻⁴	4.822×10⁻⁴	4.861×10⁻⁴


	1	2	3	4

Dehghan和负责人14]	5.996×10⁻⁶	2.197×10⁻⁵	9.089×10⁻⁵	8.295×10⁻⁴
HCuBS(γ= 0.1)	4.878×10⁻⁶	1.871×10⁻⁵	7.613×10⁻⁵	5.701×10⁻⁴
HCuBS(γ= 0.5)	5.189×10⁻⁶	1.947×10⁻⁵	7.775×10⁻⁵	5.753×10⁻⁴
HCuBS(γ= 0.9)	5.500×10⁻⁶	2.024×10⁻⁵	7.938×10⁻⁵	5.805×10⁻⁴

问题3。让非线性Klien-Gordon方程被认为是(1] 这个方程也称为Sine-Gordon方程。初始和边界条件给出这个问题的解析解。图6介绍了时空图的分析解决方案。

HCuBS搭配方法用于解决这个问题和参数数值和。表11汇总这个问题的近似解和表12汇总的绝对错误这个问题还在。绝对错误的图形比较具有不同的价值在描绘在图7。的最大错误这个问题比较与Khuri Sayfy [1和寻垫等。17)工作(表13)。寻表显示垫等人产生更好的结果的错误就略优于HCuBS。


分析解决方案	HCuBS(γ= 0.1)	HCuBS(γ= 0.5)	HCuBS(γ= 0.9)

3.1224	3.1221	3.1220	3.1219
3.0657	3.0653	3.0650	3.0650
2.9736	2.9732	2.9731	2.9729
2.8497	2.8495	2.8494	2.8493
2.6690	2.6690	2.6690	2.6990


寻垫等。17]	HCuBS(γ= 0.1)	HCuBS(γ= 0.5)	HCuBS(γ= 0.9)

2.686×10⁻⁴	2.950×10⁻⁴	4.006×10⁻⁴	5.064×10⁻⁴
3.534×10⁻⁴	3.929×10⁻⁴	5.511×10⁻⁴	7.097×10⁻⁴
3.072×10⁻⁴	3.453×10⁻⁴	4.980×10⁻⁴	6.509×10⁻⁴
1.942×10⁻⁴	2.179×10⁻⁴	3.125×10⁻⁴	4.072×10⁻⁴


	0.01	0.02	0.10	0.50	1.00

Khuri和Sayfy1]	1.3×10⁻⁶	6.6×10⁻⁶	3.8×10⁻⁴	4.8×10⁻³	2.2×10⁻³
寻垫等。17]	5.566×10⁻⁷	1.618×10⁻⁶	9.851×10⁻⁵	1.323×10⁻³	3.534×10⁻⁴
HCuBS(γ= 0.1)	5.565×10⁻⁷	1.621×10⁻⁶	9.876×10⁻⁵	1.323×10⁻³	3.929×10⁻⁴
HCuBS(γ= 0.5)	5.560×10⁻⁷	1.632×10⁻⁶	9.978×10⁻⁵	1.422×10⁻³	5.511×10⁻⁴
HCuBS(γ= 0.9)	5.554×10⁻⁷	1.644×10⁻⁶	1.008×10⁻⁴	1.464×10⁻³	7.097×10⁻⁴

7所示。结论

在这部作品中,广义Klien-Gordon方程使用HCuBS搭配方法成功地解决了。具体来说,中心差分方法已经应用于离散化的时间导数和混合三次b样条函数被用于插入解决方案在空间维度。三个问题已经使用该方法进行了测试,获得的解决方案是在良好的协议与解析解。通过这种方法,一个精确的解决方案在一个中间点可以很容易地计算。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

承认

作者承认金融支持基础研究资助计划(德意志联邦共和国)没有。203 / PMATHS / 6711324来自数学科学学院,马来西亚理科大学(),马来西亚槟城,。

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