偏心旋转圆盘振动产生的非定常流动

摘要

当圆盘开始偏心旋转时，研究了圆盘在各自平面内和相反方向振荡引起的非定常流动。对小次数和大次数都给出了问题的解析解，从而确定了每个时间值的速度场。流上所有参数的变化都是通过图形表示的方式来检查的。特别地，分析了振动频率与圆盘角速度之比的影响。两者振荡的相关性- - --流向被检查。研究了雷诺数的影响。

1.介绍

由两个平行圆盘围绕非重合轴以相同角速度旋转而成的正交流变仪最初由Maxwell和Chartoff研制[1］．雅培及华德士[2得到了牛顿流体流动的精确解。他们还通过对粘弹性流体的摄动分析找到了一个解。后,伯克(3.证明了偏心旋转盘间Navier-Stokes方程存在无穷多个非平凡解。Rajagopal [4表明这种运动是一种持续不断的运动。我们向读者推荐Rajagopal的文章[5]和Ersoy [6，7查阅有关偏心旋转盘之间流动的详细参考清单。

偏心旋转盘之间随时间变化的流动也引起了研究人员的注意[8- - - - - -13］．在这些研究中，非定常流是由以相同角速度旋转的圆盘的突然运动而产生的，圆盘没有受到振动的影响。Erdoğ一个(14，15是第一个研究振荡引起的非定常运动的。他(14研究了圆盘开始偏心旋转，当圆盘开始绕同一轴旋转时，下圆盘产生振动的流动。他(15研究了圆盘开始偏心旋转时，当圆盘开始绕同一轴旋转时，两个圆盘沿同一方向振荡的流动。很明显，这些流动不是对称的，如Erdoğan [14，15］．

此外，读者可参考参考资料[16- - - - - -24]，得到了在各种作用下，振动盘和流体在无穷远处偏心旋转所引起的非定常流场的解析解。

在本文中，圆盘最初是绕非重合轴旋转的。因此，初始条件为由Abbott和Walters得到的解[2］．圆盘开始在它们自己的平面和相反的方向上振荡，因此对称条件始终满足。为了得到一个更一般的解，振荡盘的速度有两个分量。该问题在小时间和大时间都得到了解决，并在特定的时间值下匹配两个解。换句话说，速度场是所有时间的。通过图形说明了各参数对流动的影响。

2.基本方程

该问题的流场是由位于和．开始时，顶部和底部的圆盘围绕着- - --轴具有相同的角速度,分别。旋转轴之间的距离如图所示方向的圆盘之间的区域被不可压缩的牛顿流体所占据。在圆盘开始在它们自己的平面和相反方向上进行振荡之后，流体的运动被检查。上下盘随速度在各自的平面内振荡和分别在哪里和为振荡的频率。应该强调的是，在运动过程中，旋转轴之间的距离是固定的。此外，圆盘振动的物理现实要求本文的正弦振动比余弦振动更合理。这个问题的几何结构如图所示1．

因此，初始条件和边界条件可以写成: 在哪里和表示的速度分量- - -分别的方向。的函数和由雅培及华德士取得[2表示牛顿流体的偏心对称旋转，为 在哪里，,为流体的运动粘度。方程(2.1摄氏度)反映对称条件。

所考虑流动的速度场为 我们应该注意到，这个流并没有带来速度分量方向。用(2.3.)代入Navier-Stokes方程，得到 使用(2.1)- (2.1 d)和(2.3.),我们得到 介绍和使用(2.4),我们有 对称条件给出，这意味着不存在泊肃叶型压力梯度。(的条件2.6)成为

3.小时代的解决方案

把， (2.6)以形式 与条件 拉普拉斯变换是由方程定义的 作拉普拉斯变换3.1)附带条件(3.2),我们有 质数表示对的微分．适用条件(3.5)，解决(3.4)是 让， (3.6)可以写成: 众所周知，这个系列收敛于为．利用这个二项式级数，可以用很短的时间得到解。方程(3.7)可以下列形式书写: 的拉普拉斯逆变换3.8)给 或 在哪里 表征某一函数的特性定义由Ersoy [25］．表示的级数解(3.10在小的时候收敛得快，在小的时候收敛得慢增加。这些解决方案不能在很长时间内使用。因此，有必要大量引入不同的方法。

4.大时间解决方案

对于大量时间，我们建议一种形式的解决方案 在哪里符合……的情况．用(4.1) (2.6),我们得到 的边界条件4.2)- (4.2摄氏度) 从(的解4.2)- (4.2摄氏度)根据条件(4.3.),我们有 或 在哪里 的解决方案是 在哪里 (4.5)和(4.7)不适用于小时间。表格1比较两种不同的解决方案当时间变化时，给定的特定值。

5.结果与讨论

本文研究了初始非同轴旋转时，在各自平面内和相反方向振荡的圆盘之间的流体运动。没有垂直于圆盘的气流，因为圆盘在任何时候都以相同的角速度旋转。平面上的流体层像刚体一样旋转-轴，这意味着对称条件满足，因为圆盘在相反的方向振荡。所有的参数作用于流的影响被揭示的手段2，3.，4，5，6,7．数据2- - - - - -4显示振荡频率的效果。圆盘的振荡方向对流动的影响如图所示5和6．数字7显示了流动如何依赖于雷诺数。下面指出本分析的主要结果。(我)无论是小次数还是大次数，都得到了问题的解。在某一特定时间，证明了小时间解与大时间解的一致性。因此，速度场始终是确定的。(2)结果表明，当振荡频率增加时，速度增加相同的小倍。随着频率的降低，周期运动发生的较晚。(3)当振荡沿偏心方向发生时，-分量受到很大的影响，但-成分几乎是难以察觉的。另一方面，当圆盘被迫振荡时，会观察到相反的效应方向。在这种情况下-分量的变化是明显的，但在分是无关紧要的。(iv)增大雷诺数有减小边界层厚度的作用。(v)观察到解中假定的大时间周期运动的存在。(vi)如预期的那样，当周期运动发生时，流体速度与圆盘振动之间存在相位滞后。(七)结果表明，当圆盘的角速度等于振动频率时，也能得到解。

致谢

对各位审稿人提出的宝贵意见和建议，笔者表示衷心的感谢。

参考文献

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