标志”src=

数学问题在工程
PDF
数学问题在工程/<一个cl作为s="sc-htpNat bUhGXt link sc-nrwXf kCVAWK breadCrumb" href="//www.newsama.com/journals/mpe/contents/year/2011/" aria-label="2011">2011年/文章
特殊的问题

耦合的数值方法在工程分析

把这个特殊的问题

研究文章|开放获取

体积 2011年 |文章的ID 702082年 | https://doi.org/10.1155/2011/702082

Jaroon Rungamornrat, Sakravee Sripirom, ”应力分析的三维媒体包含局部区域FEM-SGBEM耦合”,数学问题在工程, 卷。2011年, 文章的ID702082年, 27 页面, 2011年。 https://doi.org/10.1155/2011/702082

应力分析的三维媒体包含局部区域FEM-SGBEM耦合

Jaroon Rungamornrat1和 Sakravee Sripirom1

1工学院土木工程系,朱拉隆功大学,10330年曼谷,泰国

学术编辑器:巴西苏亚雷斯
收到了 2011年5月24日
接受 05年8月2011年
发表 2011年12月27日

文摘

本文提出了一种有效的三维应力分析的数值技术无限媒体包含裂缝和局部复杂地区。提高边界元方法的计算效率通常发现低效处理非线性和非齐次数据域和有限元法(FEM)可能会要求大量的计算成本建模的无限介质含有裂缝,耦合过程利用积极的特征有限元法和对称的伽辽金边界元法(SGBEM)提出。前者是利用模型有限域的一小部分包含一个复杂的地区,而后者是用来把剩余的部分可能包含裂缝。利用边界积分方程形式的关键控制方程无界区域提供必要的好处包括减少空间维度和相应的离散化的努力没有域截断。此外,所有涉及到的边界积分方程只包含弱奇异内核从而允许连续插值函数的逼近,也缓解了数值积分。非线性和局部区域内的其他复杂的行为是有效地建模,利用有限元法的特点。据报道一组选定的结果然后展示这项技术的精度和能力。

1。介绍

三维固体介质的物理建模一个理想化的数学领域,占据了整个空间标准和广泛使用,当输入和响应的兴趣只是局部区域的长度比身体的规模要小得多。远程域的边界对这样的回答通常是无关紧要的这种特殊情况下,可以,因此,被丢弃在建模精确度损失预测的解决方案。这种情况出现在各种工程应用,如裂纹扩展的模拟水力压裂过程中裂缝通常是作为一个孤立的裂纹在无限介质,使用寿命的评价和评估的大尺度结构嵌入初始缺陷的影响可以以小预先存在的缺陷,并确定有效的材料具有微结构的性质如裂缝、孔洞、夹杂物,局部非弹性区。与线性弹性的应力分析问题,复杂的数学模型可以大大增加当无限的身体包含另外的奇点和/或局部非线性区域。前的情况出现时自然表面的位移不连续(例如,裂缝和混乱)存在而后者可能导致应用程序的高强度负荷,复杂的本构规律,遏制小缺陷和尺度,局部无机械(如温度变化)的影响。除了各种实际应用,目前呈现复杂性建模本身理论上和计算等挑战。

各种分析技术(例如,积分变换方法,方法基于应力和位移表示,潜在的相关技术理论,等等)已经提出并广泛用于固体的应力分析媒体(例如,<一个href="#B1">1- - - - - -<一个href="#B5">5])。然而,他们的应用程序是非常有限的二维边值问题,包括简单的数据或三维问题非常理想化的设置。这种限制变得更加明显涉及物理现象的复杂性增加时(例如,材料非线性,引入的复杂性、非均质性和嵌入奇异点)。对于那些特殊的情况,一般需要更复杂的数学模型来准确预测反应的兴趣,,作为一个主要的结果,分析或相应的封闭解边值问题不可能轻易地获得和数值技术解决方案过程中提供更好的选择。

有限元法(FEM)和边界元法(BEM)两个健壮的数值技术广泛应用于各种领域的建模问题。这两种技术有广泛的应用,在各种情况下,支持FEM / BEM和亦然。有限元法已被证明是一种有效和强大的建模方法广泛的阶级结构和固体力学的问题(例如,<一个href="#B6">6- - - - - -<一个href="#B8">8])。原则上,有限元法的基础是足够一般允许非线性和尺度域内被对待。此外,最后这种方法产生的离散代数方程组具有,一般来说,理想的属性(例如,对称、稀疏、积极的系数矩阵的明确性,等等)。然而,传统的有限元法仍有一些重大的缺点和需要重要的治疗时应用于某些类型的问题。例如,一个标准的离散化程序不能直接适用于涉及无限域的边值问题。截断域由一组远程边界条件通常被用来建立一个近似域的有限维离散化之前。应该注意的是,定义合适的截断面和相应的边界条件等仍是关键问题,它可以显著影响近似解的质量。另一个方法的有限能力达到充分准确的结果与计算成本相当便宜的明显当它应用于解决断裂问题。在分析,它通常需要大幅细网格区域周围的裂纹前缘为了准确地捕捉复杂(单数)字段和提取必要的当地裂缝的应力强度因素等信息(例如,<一个href="#B9">9- - - - - -<一个href="#B11">11])。

边界元方法(BEM)已经发现对建模计算效率和吸引力某些类线性边值问题,因为一个均匀域是免费的分布式资源,重点控制方程只涉及积分域的边界(例如,<一个href="#B12">12- - - - - -<一个href="#B23">23])。作为一个直接后果,离散化的努力和成本显著降低,与有限元法相比,由于减少空间维度的控制方程。该方法的另一个明显的优势是与它的简单的建模无限媒体。在这种特殊情况下,远程域的边界可以被丢弃而不损失通过适当的远程治疗条件(例如,(<一个href="#B14">14,<一个href="#B17">17,<一个href="#B19">19,<一个href="#B23">23])。在各种策略利用形成本、弱奇异对称的伽辽金边界元法(SGBEM)已成为一个完善的和众所周知的技术,在过去的20年,被证明是强大的三维分析的线性弹性问题(例如,<一个href="#B15">15,<一个href="#B16">16]),线性弹性无限媒体包含孤立的裂缝(例如,<一个href="#B14">14,<一个href="#B19">19,<一个href="#B23">23]),裂缝在有限的身体(例如,<一个href="#B16">16,<一个href="#B18">18,<一个href="#B20">20.,<一个href="#B21">21,<一个href="#B23">23])。优越的特性,这种技术超过其他类型的本中出现的主要是由于所有内核管理只有弱奇异积分方程 ( 1 / ) 这最后一个线性代数方程组离散化产生的具有对称系数矩阵。弱奇异性质不仅使所有参与积分一个普通意义上的解释和评估数值使用标准正交,但也允许标准 0 插值函数来逼近过程中的使用。它也已经证明了弱奇异SGBEM连同适当的浓缩裂纹前缘附近的一个近似字段收益率高度准确的裂缝数据(例如,应力强度因子的代码),相对粗网格用于离散化(例如,<一个href="#B18">18,<一个href="#B21">21,<一个href="#B23">23])。而弱奇异SGBEM获得显著成功的分析线性弹性和断裂问题,该方法仍然包含某些不利的特性导致其有限的能力来解决各种重要的类的边值问题。例如,方法成为计算效率低下或经验数学困难当应用到解决问题涉及非线性和非齐次媒体。的几何域变得越来越复杂,它的大小和表面与体积比相对较大(需要大量的元素能够合理地代表整个域的边界),这种方法往往会消耗大量的计算资源与标准有限元相比。虽然SGBEM收益率对称线性方程组,系数矩阵完全致密和它的每个条目必须通过计算双表面集成。

在过去的二十年里,各种调查人员认真地试图去研发高效、精确的数值分析程序弹性和断裂问题利用BEM和有限元的积极特征。基本思想是将整个域分解成两个区域,然后应用本模型与小团和线性弹性的地区可能包含位移不连续(例如,裂缝和混乱)和有限元模型剩下的大多数域可能表现出复杂的行为(例如,材料非线性和非齐次数据)。之间的主要目标是妥协的要求计算资源和预测结果的准确性。线性弹性的上下文中,有几个调查针对常规边界元的耦合和标准有限元(例如,<一个href="#B24">24- - - - - -<一个href="#B26">26])和强耦合的奇异SGBEM和标准有限元(例如,<一个href="#B27">27- - - - - -<一个href="#B30">30.])。应该强调,前者一般类型的耦合过程破坏整个系统的理想的对称特性的线性代数方程而后者类型需要特别强烈和超奇异积分的数值处理(例如,<一个href="#B31">31日,<一个href="#B32">32])。广泛的审查各类之间的耦合边界积分方程方法和有限元技术可以在[<一个href="#B33">33]。在这些现有技术,特殊的对称耦合策略之间的弱奇异SGBEM和标准有限元计算效率和发现最近已经成为一个有吸引力的替代执行综合应力和断裂分析。这是由于主要(i)的对称特征SGBEM导致对称耦合配方和(2)所涉及的所有自然弱奇异边界积分要求简单的理论和数值处理相比,强奇异和超奇异积分。肖(<一个href="#B16">16)第一次看到这样的耦合形成裂缝各向同性、线性弹性有限的身体;更准确地说,一副弱奇异,弱式位移和牵引积分方程是利用虚功原理和适当的执行界面连续性条件的制定建立对称耦合。后,Frangi Novati [<一个href="#B34">34成功实现小的配方分析裂缝的身体受到纯动力边界条件。除了它的准确性和鲁棒性,该技术仍局限于符合离散化这两个地区之间的接口。Springhetti et al。<一个href="#B35">35]放松这样的限制,允许执行不力整个界面的连续性和广义技术治疗潜力和elastostatic问题。然而,他们的主要重点是无裂缝的身体由线性各向同性材料。最近,Rungamornrat和边界<一个href="#B36">36肖)扩展的工作(<一个href="#B16">16),使两种材料各向异性的治疗和nonmatching接口。而这个特殊的耦合方案已经完善了几十年,一个广泛的文献调查的基础上,应用这种技术包含孤立模型问题的无限空间裂缝和局部复杂区域没有被认可。

本文基于对称数值过程之间的耦合弱奇异SGBEM和标准执行的三维应力分析有限元实现无限介质包含位移不连续和局部复杂的区域。巨大的有限元法的特点是利用允许非常普遍的治疗局部区域,例如,那些表现出材料非线性,材料不均匀性,和其他类型的复杂性。弱奇异SGBEM容易和有效利用模型剩下的无界区域。一对Rungamornrat提出的弱奇异边界积分方程和边界<一个href="#B22">22)是作为SGBEM发展的基础工作,这,因此,允许无界区域的处理是由一个线性各向异性弹性材料,包含裂缝。值得强调的是,虽然现在的研究密切相关的工作Frangi和Novati<一个href="#B34">34),Springhetti et al。<一个href="#B35">35],Rungamornrat和边界<一个href="#B36">36),该技术提供额外的关键功能处理无限域,在局部区域材料非线性,一般材料的各向异性。下面本文的基本方程和耦合公式,数值基本组件实现,数值结果和讨论,以及结论和有用。

2。配方

考虑三维无限介质,用 Ω ,包含一个裂缝和局部复杂区示意图如图所示<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/fig1/" target="_blank">1(一)。裂缝是由两个几何重合的表面 + 和 − 与外单位正常用 + 和 − 分别和本地化复杂区用 Ω 。在目前的研究中,媒介被认为是自由的身体力量和加载远程边界,和表面的裂纹都受到规定self-equilibrated牵引所定义的 = + = − − 。现在,让我们介绍一个虚构的表面 分解身体 Ω 成两个子域,一个无界的用“BEM-region” Ω 和一个有限的“FEM-region”用 Ω 显示在图<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/fig1/" target="_blank">1 (b)。表面 选择这样的局部复杂区和裂缝完全嵌入在FEM-region BEM-region,分别(例如, + ∪ − ⊂ Ω 和 Ω ⊂ Ω ),此外,BEM-region必须是线性弹性的。清楚地展示两个亚区之间的界面的作用在下面展示的制定,我们定义 { , , } 和 { , , } 接口,未知的牵引,未知位移BEM-region的接口 Ω 和FEM-region Ω ,分别。重要的是要强调接口 和 虚构的表面实际上是相同的 。而制定,为简洁起见,只对一个域包含一个裂缝,一个本地化的复杂区域,它可以轻易地扩展到治疗多个裂缝和多个复杂的区域;在这种特殊情况下,多个FEM-regions容许。

(一)”n一个me=
(一)
(b)”n一个me=
(b)
图1
Ω Ω (a)的示意图三维无限介质含有裂纹和局部复杂区和(b) BEM-region的示意图和FEM-region。
2.1。控制方程为 Ω

总BEM-region的边界 Ω ,用 ,包括减少裂纹表面 ≡ + 牵引是完全的规定和界面 牵引和位移是已知的先验。请再次注意,下标” “添加只强调那些表面与BEM-region相关联。形成一套管理积分方程对这个地区,一双弱奇异,弱式位移和牵引Rungamornrat开发的边界积分方程和边界<一个href="#B22">22是就业。这两个积分方程来源于标准边界积分位移和压力的关系以及系统的正则化技术。完全正规化积分方程的最终形式是适合建立对称弱奇异SGBEM配方。这样对积分方程给出,在进一步的参考,为了方便 1 2 ̃ ( ) ( ) ( ) = ̃ ( ) ( − ) ( + ) ( ) ( ) ̃ ( ) ( − ) − ( ) ( ) ( ) ̃ ( ) ( ) ( − ) − ( ) ( ) ( ) , ( 2 。 1 ) ̃ ( ) ( ) ( ) ( ) = ̃ ( ) ( − ) + ( ) ( ) ( ) ̃ ( ) ( − ) + ( ) ( ) ( ) ̃ ( ) ( ) ( − ) ( ) ( ) ( ) , ( 2 。 2 ) 在哪里 ̃ 和 ̃ 足够光滑的测试函数; ( ⋅ ) = ( ⋅ ) / 是一个表面微分算子 表示一个标准的交流符号; ( ) = ( ) 为 ∈ 和 Δ ( ) 为 ∈ 与 Δ ( ) = + ( ) − − ( ) 表示跳在裂纹表面位移;geometry-dependent常数 ( ) 被定义为 ( ) = 1 / 2 为 ∈ 和1 ∈ 。所有涉及到的内核, ( − ) , ( − ) , ( − ) , ( − ) ,给出了一般各向异性材料, ( − ) = − − 4 3 , ( 2 。 3 ) ( − ) = ( − ) , ( 2 。 4 ) ( − ) = ( − ) , ( 2 。 5 ) ( − ) = ( − ) , ( 2 。 6 ) 在哪里 是一个标准的克罗内克符号象征; 弹性模; 和 ( − ) 是由 = − 1 3 , ( 2 。 7 ) 1 ( − ) = 8 2 ⋅ = 0 ( , ) − 1 ( ) , ( 2 。 8 )

在这 = − , = 为 为 , ( , ) = 封闭的围道积分是计算单位圆 为 为 = 1在飞机上定义的 ⋅ = 0 。很明显,内核 ( − ) 给出一个显式的形式独立的物质属性和内核 ( ) ( − ) , ( ) ( − ) , ( − ) , ( − ) , ( − ) 只是单一的在 = 的 ( 1 / ) (见细节在肖<一个href="#B16">16]讨论的奇异行为的内核 ( − ) )。应该说,对于各向同性材料,内核 ( − ) , ( − ) , ( − ) 拥有一个显式形式的基本功能(见[<一个href="#B18">18,<一个href="#B22">22])。

对获得BEM-region管理积分方程组 Ω 牵引,弱式边界积分方程(<一个href="#EEq1">2。2)是直接用于裂纹表面 (测试函数被选中,这样 ̃ = 0 在 )和接口 (测试函数被选中,这样 ̃ = 0 在 ),弱式位移边界积分方程(<一个href="#EEq1">2。1)是仅适用于接口 。最后一组三个积分方程给出简明 ( ̃ , Δ ) + ℬ , ̃ + ̃ , = − 2 ̃ , , ℬ ̃ , Δ + ̃ , + ̃ , = 0 , ̃ , Δ + , ̃ + ̃ , = − 2 ̃ , , ( 2 。 9 )

在哪里 { ̃ , ̃ } 测试函数上定义的接口吗 所有涉及到的双线性积分算子的定义,下标 , ∈ { , } 被介绍给标明表面集成 ( , ) = ( ) ( − ) ( ) ( ) ( ) , ( 2 。 1 0 ) ( , ) = ( ) ( − ) − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( − ) ( ) ( ) ( ) , ( 2 。 1 1 ) ( , ) = ( ) ( − ) ( ) ( ) ( ) , ( 2 。 1 2 ) 1 ( , ) = 2 ( ) ( ) ( ) , ( 2 。 1 3 ) ( , ) = ( , ) − ( , ) 。 ( 2 。 1 4 )

应该指出的是,线性算子 ( , ) 以对称的形式满足条件 ( , ) = ( , ) ,因此,它使左边的系统(<一个href="#EEq9">2。9以对称的形式)。尽管这样的对称的配方可以很容易的获得,右边的<一个href="#EEq9">2。9)仍然包含接口上的未知的牵引 。一个术语的治疗 ℱ ( ̃ , ) 将解决一旦FEM-region配方吗 Ω 建立了。

2.2。控制方程为 Ω

让我们考虑,接下来,FEM-region Ω 。普遍性,整个这一特定区域的边界可以分解成两个表面:接口 的牵引 和位移 未知先验和表面吗 的牵引 完全是规定的。表面的存在 是明显的情况下,FEM-region包含嵌入洞或空洞。同样重要的是要强调,发展的一个关键控制方程 Ω 的牵引 治疗,在时尚BEM-region不同,作为未知数据,而不是主要的未知变量。此外,为了能够建模复杂的局部区域嵌入到FEM-region,控制材料的本构模型的行为在目前的研究中被认为是充分利用一般允许材料非线性的处理,各向异性和不均匀性。治疗这些复杂的材料模型的上下文中进行了广泛的调查,建立了非线性有限元方法(例如,<一个href="#B6">6,<一个href="#B37">37,<一个href="#B38">38]),这些标准程序也适用于当前的实现,不会提出了简洁。在这里,我们只有轮廓的关键控制方程FEM-region和某些未知BEM-region和必要的数据连接。

有限元技术的标准制定后,弱式管理FEM-region方程可以很容易地获得通过虚功原理(<一个href="#B6">6- - - - - -<一个href="#B8">8),最后方程可以表达简洁的形式 ( ̃ , ) = 2 ̃ , + 2 ̃ , , ( 2 。 1 5 ) 在哪里 是一个应力张量; ̃ 是一个适当的行为端正的测试函数定义的域 Ω ; ̃ 和 ̃ 的限制 ̃ 界面上的 和边界 分别;运营商积分定义,下标 ∈ { , } ,通过 ( ̃ , ) = Ω ̃ ( ) ( ) ( ) , ( 2 。 1 6 ) 1 ( , ) = 2 ( ) ( ) ( ) , ( 2 。 1 7 )

在这 ̃ ( ) 表示定义的虚拟应变张量 ̃ ( ) = ( ̃ / + ̃ / ) / 2 。请再次注意,一个函数形式的应力张量的主未知主要取决于采用的本构模型。的一个特例FEM-region被均匀的线性弹性材料,应力张量可以表示直接和明确的弹性常数 和应变张量 (例如, = 的上下文中),一个无限小变形理论(例如, ( ) = ( / + / ) / 2 ),积分算子 可以直接表达的位移 作为 ( ̃ , ) = Ω ̃ , ( ) , ( ) ( ) 。 ( 2 。 1 8 )

应该说,一半的因素的定义(<一个href="#EEq16">2.17)介绍了为了方便把这学期的形式类似于 由(<一个href="#EEq10">2.13),这一点,因此,导致两个出现在右边的因素(<一个href="#EEq15">2.15)。同样值得注意的是,右边第一项(<一个href="#EEq15">2.15)仍然包含接口上的未知的牵引 。

2.3。控制方程为 Ω

一组控制方程的整个领域 Ω 可以直接获得通过结合一组弱奇异,弱式边界积分方程(<一个href="#EEq9">2。9)和虚功方程(<一个href="#EEq15">2.15)。特别是最后一个方程(<一个href="#EEq9">2。9)和(<一个href="#EEq15">2.15)适当结合,这最终导致 ( ̃ , Δ ) + , ̃ + ̃ , = − 2 ̃ , , ̃ , Δ + ̃ , + ̃ , = 0 , ̃ , Δ + , ̃ + ̃ , − ( ̃ , ) = ℰ − 2 ̃ , , ( 2 。 1 9 ) 在哪里 ℰ 是由 ℰ = − 2 ̃ , + ̃ , 。 ( 2 。 2 0 )

从牵引和位移的连续性在BEM-region的接口和FEM-region(例如, ( ) + ( ) = 和 ( ) = ( ) 对所有 ∈ = = ),测试函数 ̃ 和 ̃ 选择这样 ̃ ̃ ( ) = ( ) 对所有 ∈ = = 作为一个直接后果, ℰ 相同的就消失了。因此,明显的右边(<一个href="#EEq19">2.19)规定只涉及边界数据,此外,如果积分算子 具有对称形式,(<一个href="#EEq19">2.19)构成对称配方的边值问题目前治疗。

3所示。数值实现

本节简要总结了数值程序采用构造近似解的一组控制方程(<一个href="#EEq19">2.19)和后处理一定数量的兴趣。的离散化BEM-region FEM-region是第一次讨论。然后,组件的基本数值评价弱奇异和近奇异双面积分,内核的评估,确定一般复杂应力强度因素是解决。最后,建立内部之间的耦合的关键策略弱奇异SGBEM代码和可靠的商业有限元软件包进行了探讨。

3.1。离散化

标准采用伽辽金策略建立一个控制方程的近似解(<一个href="#EEq19">2.19)。为BEM-region Ω ,只有裂纹表面 和界面 需要离散。在这种离散化,标准等参的 0 元素(例如,8-node四边形和6-node三角元素)受聘在沿裂纹前缘,除了特殊9-node有关元素是用来精确地捕捉奇点附近的渐近场区域。这些特殊元素的形状函数由平方根函数,适当丰富,此外,介绍了多自由度沿元素边界相邻裂纹前缘直接代表的梯度相对crack-face位移(<一个href="#B18">18,<一个href="#B21">21,<一个href="#B23">23]。这些积极的特性也使复杂的计算应力强度因素(即。,mode-I, mode-II, and mode-III stress intensity factors) in an accurate and efficient manner with use of reasonably coarse meshes. For the FEM-region Ω 、标准三维等参的 0 元素(例如,ten-node四面体元素,fifteen-node棱镜元素,和twenty-node砖元素)中利用整个域离散化。

重要的是要注意,BEM-region和FEM-region离散网格在两个地区的接口(即保持一致。,这两个离散几何上接口是相同的)。简单的方法来生成符合接口是网状FEM-region第一,然后使用它的表面网格作为接口BEM-region的网格。这个策略,所有节点点离散接口基本上是重合的。使用符合网格的关键优势在于强大的位移的连续性,牵引,和整个界面测试函数可以执行到底,结果,条件 ℰ = 0 离散化水平也满意。也应该强调节点的接口BEM-region包含六个自由度(即。,three displacement degrees of freedom and three traction degrees of freedom) while nodes on the FEM-region contain only three displacement degrees of freedom.

3.2。数值积分

FEM-region,所有积分引起的弱式的离散化方程只包含定期被积函数,和,因此,他们可以有效地、准确地综合标准高斯求积。相反,数值积分评价起源于BEM-region的离散化是重要的,因为它涉及治疗三种双曲面积分(即。常规的积分,弱奇异积分,几乎奇异积分)。常规双曲面积分时当它涉及一对远程(即外部和内部元素。,the distance between any source and field points is relatively large when compared to the size of the two elements). This renders its integrand nonsingular and well-behaved and, as a result, allows the integral to be accurately and efficiently integrated by standard Gaussian quadrature.

弱奇异双曲面积分出现当集成的外表面是一样的内表面。对于这个特殊的情况下,源和场点可以是相同的,这使得被积函数奇异的秩序 1 / 。虽然这种类型的积分存在于一个普通的意义上,它指出了肖(<一个href="#B16">16),高斯求积的数值积分计算效率低下和这种不准确的评估可以显著污染近似解的质量。为了规避这种情况,一系列的转换,比如著名的三角极坐标变换和对数变换应用首先删除奇点和规范被积函数的快速变化。最后的积分包含一个非奇异的被积函数适合被高斯求积集成。这个数值求积的细节可以在找到<一个href="#B16">16,<一个href="#B39">39,<一个href="#B40">40]。

最具挑战性的任务是计算涉及相对较近的几乎奇异积分或相邻的内部和外部元素。虽然被积函数不是单数,它展示区域源和领域的快速变化点是几乎相同的。此类复杂行为的被积函数被发现非常困难和低效的治疗标准高斯求积(<一个href="#B16">16]。改善这种正交的准确性,应用三角极坐标变换,然后一系列的对数转换采用径向和角方向,进一步规范被积函数的快速变化。由此产生的积分被发现适合于集成的标准高斯求积(<一个href="#B16">16,<一个href="#B40">40- - - - - -<一个href="#B42">42]。

3.3。内核评估

进一步降低计算成本需要形成BEM-region的系数矩阵的贡献,所有涉及到的内核 ( ) ( − ) , ( ) ( − ) , ( − ) , ( − ) , ( − ) 必须以有效的方式评估任何一对源和场点 { , } 。第一两个内核 ( ) ( − ) 和 ( ) ( − ) ,他们只涉及到一个单位法向量的计算 和初等函数 。因此,这个任务可以很容易地实现通过一个标准的过程。在过去的三个内核,计算成本是各向同性和各向异性材料明显不同。对各向同性材料,这样内核只涉及初等函数,因此可以以一个简单的方式评估。相反,内核 ( − ) , ( − ) , ( − ) 一般各向异性表达的线积分超过一个单位圆(见(<一个href="#EEq3">2。4)- (<一个href="#EEq3">2。6)和(<一个href="#EEq7">2。8))。直接评估每一对点的线积分 ( , ) 由数值积分显然是计算昂贵。为了避免这种大规模的计算,一个著名的插值技术(例如,<一个href="#B21">21,<一个href="#B23">23,<一个href="#B36">36)采用近似的价值内核。具体来说,每个内核的interpolant形成基于一个二维网格使用标准的二次形函数。内核在所有网格点的值执行的直接数值积分得到的线积分(<一个href="#EEq7">2。8通过高斯求积,然后利用关系()<一个href="#EEq3">2。4)- (<一个href="#EEq3">2。6)。这种近似的精度可以控制细化网格插值。

3.4。确定应力强度因子

应力强度因子发挥重要作用在线性弹性断裂力学裂纹增长预测的起始和传播方向和疲劳寿命评估。这裂缝的主导行为的数据提供了一个完整的衡量周围的局部区域的应力场裂纹前缘。获得高度准确的应力强度因子,我们供应发达耦合技术有两个关键组件,一个有关使用特殊的有关元素准确捕捉near-tip字段和其他相应的使用显式公式来提取断裂数据。后者的特性是一个直接后果的额外的自由度被引入沿裂纹前缘的梯度来表示相对crack-face位移。一旦解决了一个离散的代数方程组,沿裂纹前缘被提取,然后节点数量位获得的应力强度因子。

显式表达式的复杂应力强度因子沿裂纹前缘的节点数据,裂纹前缘的本地几何和材料属性可以找到工作的李et al。<一个href="#B18">18]裂缝各向同性媒体和Rungamornrat和边界<一个href="#B23">23,<一个href="#B36">36对媒体一般裂缝各向异性)。在目前的调查,这两个公式都实现的。

3.5。耦合SGBEM和商业有限元软件包

建模能力,进一步加强弱奇异SGBEM可以加上一个可靠的商业有限元代码支持用户定义的子程序。可用的关键目标是利用大量特性的铁包(如网格生成,用户定义的元素,强大的线性和非线性动力学,以及各种材料模型,等等)治疗复杂,局部FEM-region SGBEM内部代码和利用提供信息与大多数的相关域是强大和可能包含孤立的不连续性。

在耦合过程,首先对BEM-region控制方程离散成一个线性代数方程组。规定相应的系数矩阵和向量涉及数据构造使用内部代码,它们可以被视为一个刚度矩阵和荷载向量的“超级元素”包含所有BEM-region的自由度。这条信息然后导入到商业铁包通过一个用户定义的子程序通道,然后组装与离散FEM-region元素刚度矩阵的贡献。因为网格的两个接口(一个与BEM-region和其他相关对应FEM-region)符合,装配过程可以通过使用一个适当的编码策略。具体来说,节点的接口BEM-region命名相同节点的接口FEM-region(与相同的位移自由度)。重要的是要强调,所有接口节点的BEM-region具有六个自由度(即。,three displacement degrees of freedom and three traction degrees of freedom) but there are only three (displacement) degrees of freedom per interface node of the FEM-region. To overcome such situation, each interface node of the BEM-region is fictitiously treated as double nodes where the first node is chosen to represent the displacement degrees of freedom and is numbered in the same way as its coincident interface node of the FEM-region whereas the second node is chosen with different name to represent the traction degrees of freedom. With this particular scheme, the assembling procedure follows naturally that for a standard finite element technique.

耦合分析完成后,节点数量与BEM-region相关从生成的输出文件中提取铁包然后位数量的兴趣。例如,BEM-region内的位移和压力可以很容易地从标准计算位移和应力边界积分关系<一个href="#B17">17,<一个href="#B22">22),应力强度因子可以计算使用显式表达式提出了(<一个href="#B18">18,<一个href="#B23">23]。

4所示。数值结果与讨论

作为一种手段来验证公式和数值实现,我们首先进行数值实验边值问题的解析解存在。的分析,采用一系列网格以调查数值解的收敛性和精度。一旦测试方法,然后应用于解决更复杂边值问题以证明其能力和鲁棒性。简短的演讲中,一组选定的结果报道和讨论如下。

4.1。孤立球形孔隙压力均匀

考虑一个孤立球形孔隙半径 嵌入在一个三维无限介质示意图如图所示<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/fig2/" target="_blank">2(一个)。空虚是受统一的压力 0 。分析,两种本构模型研究:与一个各向同性、线性弹性材料的杨氏模量 和泊松比 = 0 。 3 和其他的选择代表了一种各向同性硬化材料服从 2 流式塑性理论(<一个href="#B43">43]。后者材料的单轴应力-应变关系是假定在一个双线性形式 1 和 2 表示弹性模量政权和硬化模量的区域,分别 和 表示初始屈服应力及其相应的应变,分别。

(一)”n一个me=
(一)
(b)”n一个me=
(b)
图2
(a)的示意图三维无限介质含有球形孔隙和(b) BEM-region和FEM-region的示意图。

测试耦合技术,我们首先身体分解成两个区域,一个虚构的球面的半径 5 和中心在原点的虚线图所示<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/fig2/" target="_blank">2 (b)。是很重要的话,这样一个表面必须选择相比相对较大的空白,确保非弹性区可能存在的(第二本构模型)是完全包含在FEM-region。在实验中,采用三种不同的网格如图<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/fig3/" target="_blank">3。虽然网格BEM-region没有显示,他们可以简单地获得FEM-region界面网格的。图中清楚地说明,mesh-1 mesh-2, mesh-3由12个,32岁,144年边界元素和24日,128年,1152年有限元素,分别。


图3
三个网格采用FEM-region分析;网格为BEM-region FEM-region界面网格的完全相同。
以下4.4.1。结果各向同性线性弹性材料

线性弹性,这个特殊的边值问题承认封闭形式的解决方案(例如,<一个href="#B44">44])。因为问题是球对称的,只有径向位移 和正常压力组件 { , , } 非零和他们有明确的(注意,这些量被称为标准的球面坐标系统 { , , } 与它的起源位于中心的空白) ( ) = 1 + 2 0 3 2 , ( 4 。 1 ) ( ) = − 2 ( ) = − 2 ( ) = − 0 3 。 ( 4 。 2 )

这个分析的解决方案是使用作为一种手段来验证提出的公式和数值实现。径向位移的数值解决方案从三个网格获得报告并与精确解图<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/fig4/" target="_blank">4。从这组结果明显,径向位移从mesh-2和mesh-3高度准确的获得只有细微差别的精确解,而从mesh-1是合理准确的获得除了在该地区很近表面的空白。解决方案中观察到的差异mesh-1是由于改进的水平太粗,准确地捕捉附近局部区域的几何形状和响应表面的空白。


图4
= 0 。 3
归一化径向位移与归一化径向坐标各向同性、线性弹性材料。

我们进一步研究应力数值解的质量。因为所有非零组件相关的压力(<一个href="#EEq21">4.2径向应力分量),只有结果报告。图<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/fig5/" target="_blank">5显示了归一化径向应力从三个网格和获得精确解和标准化的径向坐标。可以看出mesh-3收益率几乎与精确解的结果,而mesh-1 mesh-2给准确的结果相对较大 ,精度降低的水平距离 方法 。是通过指出,简并度的精度计算压力是常见的一种标准,基于有限元技术。


图5
= 0 。 3
归一化径向应力与归一化径向坐标各向同性、线性弹性材料。

演示SGBEM治疗的重要作用的无限域的一部分,而不是删除身体实际上受雇于有限元建模,我们执行另一个独自FEM-region没有耦合的有限元分析BEM-region但实施零位移条件的接口。径向位移和径向应力获得这种特殊情况下使用mesh-3报告以及精确解和那些从耦合技术在获得数据<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/fig6/" target="_blank">6和<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/fig7/" target="_blank">7,分别。从这些结果明显,从有限元法获得数值解与域截断策略偏离精确解接近截断表面,而该技术精确解收益率几乎相同的结果。域截断获得有限的身体的概念很简单,但它仍然是选择一个合适的截断面和边界条件对表面模仿原边值问题。这种耦合技术提供了一种替代方法来治疗整个领域没有任何治疗远程边界截断和困难。


图6
= 0 。 3
归一化径向位移与归一化径向坐标各向同性、线性弹性材料。结果获得mesh-3耦合技术和有限元与域截断。

图7
= 0 。 3
归一化径向应力与归一化径向坐标各向同性、线性弹性材料。结果获得mesh-3耦合技术和有限元与域截断。
4.1.2。各向同性硬化材料

对于这个特殊的案例中,我们集中注意力没有硬化模量的材料(例如, 2 = 0 )自对应的边值问题承认封闭形式的解决方案。应用压力足够高 0 一层接近空白的边界变得无弹性和非弹性区(衡量大小的半径 0 )变大 0 增加。通过合并 2 流式塑性理论和球面对称,径向位移和径向应力可以获得完全按照下面: ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ( ) = 1 − 2 2 l n − 0 + 1 − 3 0 2 , < 0 , ( 1 + ) 3 3 0 2 , ≥ 0 , ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ( ) = 2 l n − 0 , < 0 , − 2 3 0 3 , ≥ 0 , ( 4 。 3 )

的泊松比 是0.3吗 0 = ( ( 0 / 2 ) − ( 1 / 3 ) ) 是一个非弹性区半径。

在分析中,压力 0 = 1 。 6 2 5 选择以确保中包含一个非弹性区;事实上,这个选择应用对应的压力 0 = 1 。 6 1 5 。数值结果从当前技术报告以及精确解图<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/fig8/" target="_blank">8归一化径向位移和图<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/fig9/" target="_blank">9归一化径向应力。它可以从计算得出的解决方案,他们最终收敛于精确解的网格细化。特别是,结果从mesh-3都几乎无法分辨基准的解决方案。应该指出,相同级别的网格细化的结果比那些获得这种特殊情况下不太准确的线性弹性。这是由于构成的复杂性的存在一个非弹性区孔隙的表面附近,以便准确地捕捉这种行为,它需要足够的细网格。


图8
2 = 0
归一化径向位移和各向同性硬化材料的归一化径向坐标。

图9
2 = 0
归一化径向应力和各向同性硬化材料的归一化径向坐标。
4.2。孤立的扁平形裂纹在无限介质

考虑,接下来,扁平形裂纹半径 这是嵌入在一个线性弹性,无限介质示意图见图<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/fig10/" target="_blank">10(一个)。身体是由一个与泊松比各向同性材料 = 0 。 3 或锌和graphite-reinforced复合。最后两个轴的材料是横向各向同性材料对称指挥的 3 设在,其弹性常数给出了表<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/tab1/" target="_blank">1。裂纹是受到两种类型的牵引边界条件:均匀正常的牵引 0 (例如, 1 = 2 = 0 , 3 = 0 )如图<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/fig10/" target="_blank">10(b)和均匀剪切牵引 0 沿着 1 设在(例如, 1 = 0 , 2 = 3 = 0 )如图<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/fig10/" target="_blank">10(c)。
非零的弹性常数 (×106)ψ
锌 Graphite-reinforced复合
1 1 1 1 16.09 14.683
1 1 2 2 3.35 6.986
1 1 3 3 5.01 5.689
3 3 3 3 6.10 144.762
1 3 1 3 3.83 4.050
表1
非零的锌和graphite-reinforced复合弹性常数(材料的对称轴线在哪里采取直接沿 3 坐标方向)。

图10
0 0 (一)含扁平形裂纹的无限介质的示意图,(b)统一正常牵引下裂纹,(c)均匀剪切牵引下裂纹。

第一次加载条件产生纯opening-mode问题模式下我沿裂纹前缘应力强度因子不变和独立的材料属性,而第二个加载条件收益率非零mode-II和mode-III沿裂纹前缘应力强度因子有所不同。这两种情况下的解析解的作品中可以找到Fabrikant [<一个href="#B4">4]。作为一种手段来验证耦合制定和实施,我们选择FEM-region的多维数据集维度 2 × 2 × 2 集中在 ( 0 , 0 , 2 ) 如图<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/fig11/" target="_blank">(11日)。在分析中,我们为表面裂纹和生成三个网格FEM-region如图<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/fig11/" target="_blank">11 (b)。

(一)”n一个me=
(一)
(b)”n一个me=
(b)
图11
(a)的示意图选择FEM-region剩下BEM-region和(b)三个网格采用的分析。

第一加载条件下,数值解i型应力强度因子归一化表的精确解<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/tab2/" target="_blank">2为所有三个材料。显然从这些结果,当前技术收益率高度准确的应力强度因子与误差不到1.6%,0.6%,和0.1%,mesh-1 mesh-2和mesh-3分别。数值解的弱依赖网格细化的程度主要是由于特殊的使用有关的元素模型near-tip字段和直接捕获的梯度相对crack-face位移沿裂纹前缘。相对粗网格因此可以用于分析获得足够准确的应力强度因子。
网 各向同性材料, 1 / 1 , e x 一个 c t 横向各向同性材料, 1 / 1 , e x 一个 c t
锌 Graphite-reinforced复合
∘ = 0 ∘ = 9 0 ∘ = 0 ∘ = 9 0 ∘ = 0 ∘ = 9 0
1 0.9919 0.9920 0.9890 0.9890 0.9841 0.9841
2 1.0008 1.0008 1.0001 1.0001 1.0053 1.0053
3 1.0002 1.0002 1.0004 1.0004 1.0006 1.0001
表2
规范化的i型应力强度因子为孤立的扁平形裂纹受到统一的正常牵引。

第二个加载条件、规范化mode-II和mode-III应力强度因素( 2 和 3 )如图<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/fig12/" target="_blank">12对于各向同性材料,锌和graphite-reinforced复合。根据这些结果,可以得出结论,从三个网格获得数值解与精确解的协议;特别是,粗网格也收益率精度高的结果。还应该说,对于这个特殊的加载条件下,材料的各向异性值的混合模式中起着重要作用应力强度因子。


图12
= 0 。 3 规范化mode-II和mode-III孤立的扁平形裂纹应力强度因子受到剪切牵引。结果报告为各向同性材料、锌和graphite-reinforced复合。
4.3。无限介质包含扁平形裂纹和球形空白

最后一个例子是,我们选择测试技术提出的解决更复杂边值问题以证明其能力。让我们考虑一个无限介质含有球形孔隙半径 和扁平形裂纹半径相同的示意图如图所示<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/fig13/" target="_blank">13。中受到统一的压力 0 表面的空隙,而整个表面的裂纹是traction-free。分析,两种本构模型研究:与一个各向同性、线性弹性材料的杨氏模量 和泊松比 = 0 。 3 ,另一个对应于一个与双线性各向同性硬化材料类似于部分采用单轴应力-应变关系<一个href="#sec4.1">4.1。主量是寻求模式下我沿裂纹前缘应力强度因子诱导的应用压力的空白。此外,影响的非弹性区等裂缝诱导high-load-intensity地区数据也是感兴趣的。


图13
无限介质含有球形孔隙半径的示意图和扁平形裂纹半径并受均匀表面压力的空白。

在建模时,我们首先分解介质FEM-region和BEM-region使用一个虚构的球面的半径 4 集中在同一位置如图的空白<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/fig14/" target="_blank">(14日)。采用三个网格数值实验,如图<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/fig14/" target="_blank">14 (b)。特别是FEM-region、接口和裂纹表面组成 { 2 4 , 1 2 , 8 } , { 1 2 8 , 3 2 , 1 6 } , { 1 0 2 4 , 1 2 8 , 6 4 } 元素mesh-1、mesh-2 mesh-3分别。还应该注意,mesh-1显然是很粗;特别是,只有8个元素是利用离散化整个裂缝表面,只有四个相对较大的有关元素沿裂纹前缘。

(一)”n一个me=
(一)
(b)”n一个me=
(b)
图14
4
(一)域分解成BEM-region和FEM-region虚构的球面的半径和(b)三个网格采用分析。

首先,分析是进行弹性材料的泊松比 = 0 。 3 ,计算i型应力强度因子归一化,然后报告作为沿裂纹前缘角位置的函数为所有三个网格图<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/fig15/" target="_blank">15。这组结果意味着获得数值解具有良好的收敛;特别是,结果从mesh-2 mesh-3质量比较,结果从mesh-1仍然偏离融合的解决方案。证实了这种融合研究中,只有mesh-3用于生成其他的有用的结果集。


图15
= 0 。 3
规范化模式下我扁平形裂纹的应力强度因子嵌入在无限介质含有球形孔隙压力均匀。结果是各向同性的线性弹性材料的报道。

接下来,我们考虑一个媒介的一种各向同性硬化材料。在分析中,我们选择模量 1 = 和泊松比 = 0 。 3 对于线性政权和选择 2 = / 3 或 2 = 0 硬化的政权。用这组材料参数、线性政权的行为(一个小级别的应用压力)是相同的,在前面的情况下获得的。调查的影响非弹性区附近诱导的表面空隙沿裂纹前缘应力强度因子,我们进行各种实验通过改变应用的压力 0 。的分布沿裂纹前缘应力强度因子是在图<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/fig16/" target="_blank">16硬化材料 1 = 和 2 = / 3 五岁以下的应用水平的压力 0 ∈ { 0 。 2 5 , 1 。 0 0 , 1 。 2 5 , 1 。 5 0 , 1 。 7 5 } 。身体是完全弹性的 0 = 0 。 2 5 ,略过初始屈服 0 = 1 。 0 0 ,拥有一个更大的非弹性区压力进一步增加。很明显从图<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/fig16/" target="_blank">16的存在一个弹性区显著改变了规范化的应力强度因子值的线性弹性的解决方案和应用水平等差异越来越明显的压力增加。局部非弹性区作为立管压力,也就是说,它产生的应力场强度裂缝,因此这个收益率较高的归一化应力强度因子与线性弹性相比。图<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2011/702082/fig17/" target="_blank">17显示了一个额外的情节之间的最大标准化的应力强度因子和标准化的应用压力两个各向同性线性弹性材料和各向同性硬化材料(联系在一起 2 = 0 和 2 = / 3 )。结果这两个材料是一样的低水平的应用压力(因为整个身体仍在弹性),和更高层次的应用压力,最大应力强度因子的情况下硬化材料明显大于线性弹性材料。此外,这种差异往往会增加硬化模量降低。


图16
1 = 2 = / 3
规范化模式下我扁平形裂纹的应力强度因子嵌入在无限介质含有球形孔隙压力均匀。结果是各向同性硬化材料的报道和。

图17
= 0 。 3
最大规范化i型应力强度因子与应用在孔隙表面的压力。结果是各向同性的线性弹性材料的报道和两个各向同性硬化材料。

5。结论和讲话

之间的耦合过程标准有限元方法(FEM)和弱奇异对称的伽辽金边界元法(SGBEM)已经成功地建立了一个三维的无限介质的应力分析。该技术利用的积极特性有限元法和SGBEM提高建模能力。绝大和有限元法的一般特征采用基础治疗局部地区可能嵌入区表现出复杂的行为,而SGBEM专门使用模型的大多数媒体是强大和可能包含的表面位移不连续,如裂缝和混乱。耦合配方一直主要基于域分解技术以及适当的强制位移的连续性和牵引的界面两个区域(一个由有限元建模SGBEM和其他)形成的耦合方程。有限元法的子域名,关键配方直接遵循众所周知的虚功原理,然而,对于SGBEM子域名,制定控制方程是基于一对弱奇异,弱式位移和牵引的边界积分方程。使用弱奇异积分方程的优点是与许可相关的应用空间连续插值函数在初级未知的离散化SGBEM子域名。

在数值实现中,被认为是为了提高各个方面的准确性和计算效率的耦合技术。例如,特别有关元素已经被用来更好的近似near-tip字段。形状函数的这些特殊元素恰当地强化了平方根函数,这样得到的插值函数可以捕获crack-face相对位移和足够高的精度。作为一个直接后果,它允许使用相对较大的有关元素沿裂纹前缘同时产生非常准确的应力强度因子。另一个重要的考虑是使用一个插值策略近似的价值内核一般各向异性材料;这大大减少了计算成本与线积分的直接评价。最后,采取了特殊的数值求积有效评价弱奇异和奇异曲面积分翻倍。演示和看透的耦合策略,制定实施首次内部计算机代码的线性弹性边值问题。随后,弱奇异SGBEM已成功被加上一个可靠的商业有限元软件包,以利用其丰富的功能模型更复杂的非弹性区和尺度等局部地区。从广泛的数值实验结果表明,当前已经找到有前途的技术,特别是数字解决方案具有良好的收敛性和弱依赖网格细化的程度。

最后的话,而发达技术仍局限于无限域和符合接口,它提供了洞察SGBEM-FEM耦合策略制定、实施程序,其性能。这种耦合策略可以直接推广到解决更实际的边值问题,包括半空间,例如,裂缝和局部复杂区在自由表面附近。扩展另一个关键是提高当前技术的功能通过使用整个界面连续性执行不力。这将提供网格生成的灵活性。

确认

第一作者欣然承认金融支持提供的“开发新教职员工朱拉隆功大学”和“刺激方案2 (SP2)教育部的主题下绿色工程绿色社会。”

引用

  1. 得票率最高和n .古蒂弹性理论美国麦格劳-希尔,纽约,纽约,第二版,1951年版。视图:<一个href="https://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an%3A0045.26402">Zentralblatt数学
  2. i . n .却傅里叶变换美国麦格劳-希尔,纽约,纽约,1951年。
  3. i . n .却混合边值问题的潜在理论约翰·威利& Sons,纽约,纽约,美国,1965年。视图:<一个href="https://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an%3A0239.73020">Zentralblatt数学
  4. 诉Fabrikant,潜在的理论力学的应用:选择的新结果51的卷数学及其应用Kluwer学术出版商,多德雷赫特,荷兰,1989年。视图:<一个href="https://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an%3A0744.73016">Zentralblatt数学
  5. 诉Fabrikant,混合边值问题的潜在理论及其在工程中的应用卷,68数学及其应用Kluwer学术出版商,多德雷赫特,荷兰,1991年。视图:<一个href="https://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an%3A0752.31001">Zentralblatt数学
  6. j·t·奥登和g·f·凯里,在固体力学有限元素:特殊问题新世纪,卷。5日,恩格尔伍德悬崖,新泽西,美国,1984年。视图:<一个href="https://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an%3A0629.76001">Zentralblatt数学
  7. t·j·r·休斯有限元方法:线性静态和动态有限元分析多佛出版物,米尼奥拉,纽约州,美国,2000年。视图:<一个href="https://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an%3A0653.65054">Zentralblatt数学
  8. o . c . Zienkiewicz和r·l·泰勒,有限元方法:固体力学,卷2,Butterworth-Heinemann,牛津大学,英国,第五版,2000年版。视图:<一个href="https://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an%3A0991.74004">Zentralblatt数学
  9. d . v .斯文森和a。r . Ingraffea建模复杂动态裂纹扩展ns有限元素:理论和应用,“计算力学,3卷,不。6,381 - 397年,1988页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1007/BF00301139">出版商的网站|谷歌学术搜索
  10. l . f .玛莎,p . a . Wawrzynek, a . r . Ingraffea“任意裂纹表示使用固体建模,”与计算机工程,9卷,不。2、63 - 82年,1993页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1007/BF01199046">出版商的网站|谷歌学术搜索
  11. a . o .世界货币基金a·c·卡亚j . Laflen r·d·麦克莱恩和d . Slavik”使用ANSYS裂缝正交异性材料的断裂力学分析,“科技,众议员GRC370 GEGlobal研究,通用电气公司,2003年版。视图:<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Fracture%20analysis%20of%20cracks%20in%20orthotropic%20materials%20using%20ANSYS&author=A. O. Ayhan&author=A. C. Kaya&author=J. Laflen&author=R. D. McClain&author=&author=D. Slavik&publication_year=2003" target="_blank">谷歌学术搜索
  12. t·a·克鲁斯边界元分析计算断裂力学的第1卷力学,计算力学Kluwer学术出版商,多德雷赫特,荷兰,1988年。
  13. c . a . Brebbia和j·多明格斯边界元素:入门课程美国麦格劳-希尔,纽约,纽约,1989年。
  14. 徐和m . Ortiz”,变分边界积分方法分析任意几何建模的三维裂缝作为位错环的连续分布,“国际期刊工程中的数值方法,36卷,不。21日,第3701 - 3675页,1993年。视图:<一个href="https://doi.org/10.1002/nme.1620362107">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
  15. m .帽子,“正规化对称变分直接和间接BIE配方为三维弹性,”工程分析与边界元素,15卷,不。1,第102 - 93页,1995。视图:<一个href="https://doi.org/10.1016/0955-7997(95)00022-G">出版商的网站|谷歌学术搜索
  16. l·肖对称弱式三维断裂分析的积分方程方法博士论文,德克萨斯大学奥斯汀分校,奥斯汀,德克萨斯州,美国,1998年。
  17. 李和m . e .边界”Singularity-reduced积分方程三维线弹性位移不连续的媒体,“国际期刊的骨折,卷93,不。1 - 4、87 - 114年,1998页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1023/A:1007513307368">出版商的网站|谷歌学术搜索
  18. m . s . Li大肠边界,l·肖”对称弱式积分方程方法三维断裂分析,“计算机在应用力学和工程方法,卷151,不。3 - 4、435 - 459年,1998页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1016/S0045-7825(97)00199-0">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
  19. g .徐”,变分分析的边界积分方法任意几何形状的三维裂缝各向异性弹性固体,”应用力学学报,卷67,不。2、403 - 408年,2000页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1115/1.1305276">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
  20. a . Frangi g . Novati r . Springhetti, m . Rovizzi“对称加勒金本三维断裂分析,“计算力学,28卷,不。3 - 4、220 - 232年,2002页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1007/s00466-001-0283-x">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
  21. j . Rungamornrat”分析的三维裂缝各向异性与弱奇异SGBEM多材料领域,“工程分析与边界元素,30卷,不。10日,834 - 846年,2006页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2006.05.005">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
  22. Rungamornrat和m . e .边界,“弱奇异,弱式积分方程在三维裂缝各向异性媒体,”国际期刊的固体和结构,45卷,不。5,1283 - 1301年,2008页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2007.09.030">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
  23. Rungamornrat和m . e .边界”,弱奇异SGBEM裂缝分析的三维各向异性介质,”计算机在应用力学和工程方法,卷197,不。49-50,4319 - 4332年,2008页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1016/j.cma.2008.05.009">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
  24. 大肠Schnack和k . Turke”与本域分解和有限元法”,国际期刊工程中的数值方法,40卷,不。14日,第2610 - 2593页,1997年。视图:<一个href="https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0207(19970730)40:14&">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
  25. w·m·Elleithy h . j . Al-Gahtani和m . El-Gebeily”迭代耦合的弹性静力学和有限元方法,”工程分析与边界元素,25卷,不。8,685 - 695年,2001页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1016/S0955-7997(01)00054-6">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
  26. w . m . Elleithy和m .田中”界面松弛算法BEM-BEM耦合和FEM-BEM耦合,”计算机在应用力学和工程方法,卷192,不。26 - 27日,第2992 - 2977页,2003年。视图:<一个href="https://doi.org/10.1016/S0045-7825(03)00312-8">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
  27. s . Ganguly j·b·莱顿,c . Balakrishna”的对称耦合分域弯曲伽辽金边界元素与有限元素在弹性,”国际期刊工程中的数值方法,48卷,不。5,633 - 654年,2000页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0207(20000620)48:5&">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
  28. m·哈斯和g·库恩Mixed-dimensional,对称耦合有限元方法和边界元”,工程分析与边界元素,27卷,不。6,575 - 582年,2003页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1016/S0955-7997(03)00012-2">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
  29. m·哈斯b Helldorfer g·库恩,“有限的改善耦合壳元素和3 d边界元素,”应用力学的存档,卷75,不。10 - 12,649 - 663年,2006页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1007/s00419-006-0037-5">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
  30. b . Helldorfer m·哈斯和g·库恩,“自动耦合边界元代码与商业有限元系统,”工程软件的进步,39卷,不。8,699 - 709年,2008页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1016/j.advengsoft.2007.07.003">出版商的网站|谷歌学术搜索
  31. l . j .灰色l . f .玛莎,a . r . Ingraffea超奇异积分在边界元断裂分析中,“国际期刊工程中的数值方法卷,29号6,1135 - 1158年,1990页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1002/nme.1620290603">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
  32. p·a·马丁和f·里佐,“超奇异积分:光滑密度必须如何?”国际期刊工程中的数值方法,39卷,不。4、687 - 704年,1996页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0207(19960229)39:4&">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
  33. m .阀盖、g·迈尔和c . Polizzotto“对称的伽辽金边界元方法,”应用力学的评论,51卷,不。11日,第703 - 669页,1998年。视图:<一个href="https://doi.org/10.1115/1.3098983">出版商的网站|谷歌学术搜索
  34. a . Frangi和g . Novati BEM-FEM耦合三维断裂力学的应用,”计算力学,32卷,不。4 - 6,415 - 422年,2003页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1007/s00466-003-0510-8">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
  35. r . Springhetti、g . Novati和m . Margonari“弱耦合对称伽辽金边界元与有限元的潜力和elastostatic问题,“计算机模拟在工程和科学,13卷,不。1,第80 - 67页,2006。视图:<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Weak%20coupling%20of%20the%20symmetric%20galerkin%20BEM%20with%20FEM%20for%20potential%20and%20elastostatic%20problems&author=R. Springhetti&author=G. Novati&author=&author=M. Margonari&publication_year=2006" target="_blank">谷歌学术搜索
  36. Rungamornrat和m . e .边界“SGBEM-FEM耦合分析裂缝的三维各向异性介质,”国际期刊工程中的数值方法,卷86,不。2、224 - 248年,2011页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1002/nme.3055">出版商的网站|谷歌学术搜索
  37. k . j .洗澡有限元程序美国,新世纪,上台北,1990年。
  38. t . Belytschko w·k·刘,b·莫兰连续非线性有限元素和结构约翰·威利& Sons,纽约,纽约,美国,2000年。
  39. h·b·李·g·m·汉和h·A·芒”的一种新方法在应力分析计算奇异积分的固体直接边界元法,“国际期刊工程中的数值方法,21卷,不。11日,第2098 - 2071页,1985年。视图:<一个href="https://doi.org/10.1002/nme.1620211109">出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
  40. k Hayami和c . a . Brebbia正交奇异和近奇异积分的方法在三维边界元方法中,”边界元素X施普林格,页237 - 264年,柏林,德国,1988年。视图:<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=Quadrature%20methods%20for%20singular%20and%20nearly%20singular%20integrals%20in%203-D%20boundary%20element%20method&author=K. Hayami &author=C. A. Brebbia&publication_year=1988" target="_blank">谷歌学术搜索
  41. k . Hayami“投影变换方法近奇异面边界元积分,”课堂讲稿在工程c . a . Brebbia和s . a .奥斯泽格。,卷。73,pp. 1–2, Springer, Berlin, Germany, 1992.视图:<一个href="https://scholar.google.com/scholar_lookup?title=A%20projection%20transformation%20method%20for%20nearly%20singular%20surface%20boundary%20element%20integrals&author=K. Hayami&publication_year=1992" target="_blank">谷歌学术搜索
  42. k Hayami和h松本,”一个数值求积近奇异边界元积分,“工程分析与边界元素,13卷,不。2、143 - 154年,1994页。视图:<一个href="https://doi.org/10.1016/0955-7997(94)90017-5">出版商的网站|谷歌学术搜索
  43. j . Lubiliner塑性理论麦克米伦,纽约,纽约,美国,1990年。
  44. i s Sokolnikoff数学理论的弹性美国麦格劳-希尔,纽约,纽约,1956年。

版权©2011 Jaroon Rungamornrat和Sakravee Sripirom。这是一个开放的分布式下文章<一个rel="license" href="http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/">知识共享归属许可,它允许无限制的使用、分配和复制在任何媒介,提供最初的工作是正确引用。

更多相关文章

PDF 下载引用 引用
下载其他格式更多的
ePub
XML
订单打印副本订单
的观点977年
下载694年
引用

相关文章