的扩张的方法丰富Caudrey-Dodd-Gibbon方程的行波解

文摘

我们构建基于行波解的Caudrey-Dodd-Gibbon (CDG)方程的扩展方法。丰富的行波解和任意参数成功通过这个方法和波解的双曲表示,三角,理性的功能。这是显示扩展方法是一种强大的和简洁的数学工具求解非线性偏微分方程。

1。介绍

调查的精确行波解的非线性偏微分方程(NLPDEs)中发挥着重要作用的分析复杂的物理现象。NLPDEs出现在物理科学,各种科学和工程问题,如流体力学、等离子体物理、光学纤维、生物学、固体物理、化学动力学、化学物理、化学等。近年来,获得NLPDEs精确行波解,许多有效的和强大的方法已经在文献中,如Backlund变换(1),双曲正切函数法(2),扩展的双曲正切函数法(3),变分迭代法(4],Adomian分解方法[5,6),同伦摄动法(7],拓广方法[8),副大臣的双线性方法(9],exp-function方法[10),Cole-Hopf变换(11),一般射影黎卡提微分方程方法(12)和其他(13- - - - - -20.,现在的搜索解析解的NLPDEs变得更加有利可图的部分原因是可访问性计算机符号系统,如枫,Mathematica, Matlab,帮助我们计算复杂和乏味的计算机代数计算。

最近,王et al。21]介绍了一个新的直接法叫做扩张方法寻求非线性演化方程的行波解。Abazari [22)实现了扩张的方法有nle与流体力学有关。郑(23)方法用于获得精确行波解的两种不同类型的方程。冯et al。24)使用Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov方程的方法来寻求解决方案。刘等人。25)有关妇幼保健方程和加德纳方程简化的方法。冯(26)方法应用于seventh-order Sawada-Kotera方程。

目前,郭和周27首次提出延长基于新的扩张方法拟设。他们的方法应用于Whitham-Broer-Kaup-Like方程和两Hirota-Satsuma KdV方程。扎耶德et al。28)使用扩展扩展一些非线性pde在数学物理方法。Zhang et al。29日)提出了一种改进的扩张方法求解非线性发展方程(有nle)。李等人。30.]介绍了扩张的方法获得Zakharov方程的行波解。哈耶克(31日)提出了扩展扩张方法构造精确解KdV汉堡与幂律非线性方程。

在本文中,我们的目标是调查丰富的5次Caudrey-Dodd-Gibbon方程的新的精确行波解的扩展方法。

2。的描述扩展方法

假设的非线性偏微分方程的形式 在哪里是一个未知函数,是一个多项式各种各样的偏导数,和最高阶导数和非线性项。

的主要步骤扩张的方法(21)在以下转达了。

步骤1。行波变换: 在哪里波的速度,是两个独立的变量的组合和变换(2.1)一个普通的微分方程 质数表示普通导数在哪里。

步骤2。如果可能的话,集成(2.3)逐项进行一次或多次,收益率不变(s)的集成。为简单起见,这个积分常数(s)可能是零。

步骤3。假设的解决方案(2.3)可以通过一个多项式表示: 在哪里()是常数,,满足二阶线性常微分方程(脉): 在哪里和任意常数。的正整数可以确定通过考虑齐次平衡最高阶衍生品和非线性项出现在(2.3)。

步骤4。用(2.4)和(2.5)(2.3)产生一个代数方程涉及的权力。然后,将每个的力量的系数为零收益率的一组代数方程(),,,。自的一般解决方案(2.5)是已知的,那么用(),的通解(2.5)(2.4),我们获得准确的非线性偏微分方程的行波解(2.1)。

3所示。应用程序的方法

在本节中,我们应用方法构造双曲三角,和基于有理函数解Caudrey-Dodd-Gibbon方程,和图中所示的解决方案。

3.1。Caudrey-Dodd-Gibbon方程

我们认为5次Caudrey-Dodd-Gibbon方程: 现在,我们使用转换方程(2.2)(3所示。1),产量, 质数表示导数在哪里。

方程。(3所示。2)是可积的,因此,对整合一次收益率 在哪里是一个积分常数,也就是说,以后待定。

考虑齐次平衡和在(3所示。3),我们得到。因此,解决(3所示。3)的形式: 在哪里,,是常数,。用(3所示。4)和(2.5)(3所示。3)和收集所有的相同的力量和设置了多项式的每个系数为零,我们获得一组代数方程,,,,,,如下: 解决代数方程组的帮助下枫13,我们得到两个不同的解决方案。

案例1。一个人 在哪里和任意常数。

例2。一个人 在哪里,,任意常数。

案例1。用(3所示。6)(3所示。4)的收益率

替换的一般解决方案(2.5)(3所示。8),我们获得的三种类型的行波解(3所示。3)如下。

双曲函数的解决方案
当用的一般解决方案(2.5)(3所示。8),我们得到以下的行波解(3所示。3): 在哪里,,任意常数。各种已知的结果可以发现,如果和是作为特殊值。例如:

(我)如果但我们获得 (2)如果但,我们获得 (3)如果和,我们获得 在哪里。

三角函数的解决方案
当,我们获得 在哪里,和任意常数。

各种已知的结果可以发现,如果和是作为特殊值。

有理函数的解决方案
当我们获得 在哪里,,任意常数。

例2。用(3所示。7)(3所示。4)的收益率

替换的一般解决方案(2.5)(3.15),我们获得的三种类型的行波解(3所示。3)如下。

双曲函数的解决方案
当,我们获得 在哪里。和任意常数。

各种已知的结果可以发现,如果和是作为特殊值。

三角函数的解决方案
当,我们获得 在哪里和任意常数。各种已知的结果可以发现,如果和是作为特殊值。例如:

(我)如果但,我们获得 (2)如果但我们获得 (3)如果和,我们获得 在哪里。

有理函数的解决方案
当, 在哪里。和任意常数。

3.2。讨论

CDG的解决方案(3所示。1)调查不同的方法,如金(32变分迭代法)调查方案,萨拉斯[33射影黎卡提微分方程方法,Wazwaz [34通过使用双曲正切法。最好的我们的意识CDG方程不是解决的突出扩展方法。在本文中,我们解决这个方程扩展方法。值得注意的指出,我们从上面获得解决方案无法找到新的和作者的解决方案的选择任意常数。

3.3。图形化表示的解决方案

图表中所示的解决方案借助枫13的数字1- - - - - -5。

4所示。结论

在这篇文章中,三种类型的行波解,如双曲三角,理性的功能Caudrey-Dodd-Gibbon方程获得的成功使用扩展方法。精确行波解这个方程有许多潜在的应用在工程和数学物理。获得的解决方案也表明,该方法是有效的,更强大,和简单的搜索NLPDEs的精确行波解。该方法可以应用于不同类型的有nle在未来,我们的任务是。

确认

本文由超声电机短期格兰特(没有。304 / PMATHS / 6310072)。作者要感谢数学科学学院振子结构,提供相关研究设施。

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