文摘
求解非光滑系统的方程,Levenberg-Marquardt方法及其变体是特别重要的,因为他们的本地快速收敛率。有限许多最大功能系统是非常有用的非线性互补问题的研究中,变分不等式问题,Karush-Kuhn-Tucker系统的非线性规划问题,力学和工程方面的许多问题。在本文中,我们提出一个修改Levenberg-Marquardt非光滑方程方法在最大数量有限的功能。在较弱的假设,目前的方法是收敛Q-linearly。一些数值结果比较该方法与经典新处方指示修改Levenberg-Marquardt算法在实践中工作得很好。
1。介绍
在过去的几年里,已经被越来越多的兴趣研究非线性方程(见,例如,1,2])和非光滑方程,研究非线性互补问题,提出了变分不等式问题,平衡问题和工程力学(见,例如,3- - - - - -10])。
有限许多最大功能系统是非常有用的非线性互补问题的研究中,变分不等式问题,Karush-Kuhn-Tucker系统的非线性规划问题,力学和工程方面的许多问题。在本文中,我们研究一种非光滑方程的新方法在最大数量有限的功能系统提出了(11] 在哪里为连续可微的,为是有限的指数集。表示 在哪里 然后(1。1)可以改写如下: 在哪里是一个非光滑函数。通过使用以下函数的次微分在(1。2), 高了牛顿法(1。4)与超线性收敛11]。
基于[5,11),我们提出一个修改Levenberg-Marquardt方法求解非光滑方程。节2,我们回忆起一些广义雅可比矩阵和semismoothness的结果。节3我们给Levenberg-Marquardt方法,提出了在5)和新修改Levenberg-Marquardt方法非光滑方程组在最大数量有限的功能。修改后的Levenberg-Marquardt算法的收敛。节4,一些数值测试比较提出修改Levenberg-Marquardt算法与原方法表明,我们的算法很好工作。
2。预赛
我们从一些概念和命题,可以发现在8- - - - - -11]。
让是本地Lipschitzian。然后,几乎无处不在F可微的。我们点的集合是F可微是用。然后, 的雅可比矩阵在在克拉克被定义为的感觉
命题2.1。 是一个非空的和紧凑的设置吗点设置次微分地图上断断续续的。
命题2.2。 是一个非空的和紧凑的设置吗和上断断续续的。
证明。从这一事实一个有限点集在吗并且可以计算确定指数集和评估的梯度,
定义2.3。 是半光滑如果在局部李普希茨和 对于所有存在。如果是半光滑人知道,。如果对所有,,一个调用函数是强半光滑。
命题2.4。(我)如果是局部李普希兹连续和半光滑,然后
(2)如果是局部李普希兹连续、强半光滑,定向可微的社区,然后
引理2.5。方程的最大函数(1。4)是一种半光滑方程组。
研究算法的局部解的半光滑系统方程,类似于(11),还有下面的前题。
引理2.6。假设和是由(1。4)和(1。5),分别非奇异的。那么存在一个常数这样
证明类似于(11引理2.1),从这一事实是一个有限点集。
引理2.7。假设是一个解决方案(1。1),然后 对所有在一些社区的和和为,
因为每一(1。1)是连续的,立即得到了引理。
3所示。修改Levenberg-Marquardt方法及其收敛性
在本节中,我们简要回忆一些结果Levenberg-Marquardt-type方法为非光滑方程的解及其局部收敛(见,例如,5,9])。我们也给修改Levenberg-Marquardt方法并分析其本地行为。现在我们考虑Levenberg-Marquardt方法的准确和不精确的版本。
给定一个向量开始,让 在哪里系统的解决方案吗 该方法在不精确的版本的可以由系统的解决方案 在哪里是残差向量,我们可以假设对于一些。
我们现在给的修改Levenberg-Marquardt方法(1。1)如下。
修改Levenberg-Marquardt方法
步骤1。鉴于,。
步骤2。解决系统,
为和残差向量的吗
步骤3。集,如果,终止。否则,让,去一步2。
基于上述分析,我们给出下面的局部收敛性结果。
定理3.1。假设上面是一个序列生成的方法和存在常数,对所有。让是一个解决方案,让所有非奇异的。然后序列收敛Q-linearly来为。
证明。由引理2.6的连续可微的,有一个常数这样对所有足够接近非奇异的有
此外,通过命题2.4,存在等,可以任意小
对所有在一个足够小的小区根据。由命题2.2的上半连续性,我们也知道
对所有和所有足够接近,作为一个合适的常数。局部李普希兹连续的,我们有
对所有在一个足够小的小区和一个常数。从(3.4),我们也知道
上面的方程乘以并考虑引理2.7,(3.6),(3.7),(3.8)和(3.9),我们得到
让,所以
自可以选择任意小,通过吗足够接近,存在和这样,所以Q-linear收敛的来遵循以足够小的。因此我们完成这个定理的证明。
定理3.2。假设上面是一个序列生成的方法和存在常数,对所有。然后序列收敛Q-linearly来为。
定理的证明类似3.1,所以我们忽略它。
在定理的证明3.1,下面的语句。
4所示。数值试验
为了显示修改Levenberg-Marquardt性能的方法,在本节中,我们目前的数值结果和比较Levenberg-Marquardt Levenberg-Marquardt方法和修改方法。结果表明,改性Levenberg-Marquardt算法在实践中工作得很好。所有的实验都是在Matlab 7.0实现。
例4.1。 在哪里 从(1。1),我们知道 在哪里。
我们的子程序计算这样,(3.3)和(3.4)举行。我们也使用条件作为停止准则。我们可以看到,我们的方法是好的4所示。1。
结果为例4所示。1与初始点和计算由(3.3在表中列出)2和3。
结果为例4所示。1与初始点和计算由(3.4在表中列出)4和5。
结果为例4所示。1与初始点和计算由(3.3在表中列出)6和7。
结果显示为例4所示。1与初始点。我们也使用条件作为停止准则和计算由(3.4我们通过21个步骤。当我们计算由(3.3),我们得到,到45的步骤。我们可以测试其他例子的方法,将在另一篇文章中认为该方法的全局收敛性。
确认
这项工作是由美国国家科学基金会支持的中国(在格兰特:10671126)。上海市研究生创新基金项目(JWCXSL0801)和关键项目的基础研究STCSM(项目号06 jc14057)和上海重点学科建设项目(S30501)。作者也非常感谢裁判宝贵的建议和意见。