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工程数学问题
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工程数学问题/2008/文章

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体积 2008 |文章的ID 935095 | https://doi.org/10.1155/2008/935095

Mohammad Mehdi Rashidi, Hamed Shahmohamadi, Saeed Dinarvand， ＂平行板间非定常二维和轴对称压缩流动的解析近似解"，工程数学问题， 卷。2008， 文章的ID935095， 13. 页面， 2008． https://doi.org/10.1155/2008/935095

平行板间非定常二维和轴对称压缩流动的解析近似解

默罕默德·迈赫迪Rashidi，1 哈米德Shahmohamadi，1 和 赛义德Dinarvand1

1伊朗哈梅丹，新浪布阿里大学工程学院机械工程系

学术编辑器:本·诺哈拉
收到了 2008年8月07日
接受 2008年12月01
发表 2009年2月25日

摘要

研究了粘性不可压缩流体在两平行平板间的法向运动。利用相似解将非定常Navier-Stokes方程简化为非线性四阶微分方程。采用同伦分析法对该非线性方程进行了解析求解。详细分析了所得级数解的收敛性。用四阶龙格-库塔法得到的数值结果验证了我们解的有效性。

1.介绍

粘性不可压缩流体在垂直于其自身表面且对时间具有任意独立性的两个平行板之间的非定常压缩问题是许多流体力学机械和设备中经常遇到的一种基本的非定常流动类型。挤压流的一些实例包括聚合物加工、压缩和注射成型。此外，润滑系统也可以通过挤压流来建模。Stefan [1]发表了一篇用润滑近似方法研究挤压流的经典论文。1886年，雷诺兹[2]得到了椭圆板的一个解，Archibald [3.研究了矩形板的这一问题。许多研究者对挤压流进行了理论和实验研究[4，4- - - - - -14.］．早期的挤压流研究是基于雷诺方程的。Jackson证明了雷诺方程在多孔推力轴承和高速挤压膜分析中的不足[13.], Ishizawa [14.］．完整Navier-Stokes方程问题的一般研究涉及广泛的数值研究，需要更多计算机时间和更大的内存。然而，通过适当地规定平板的相对速度，可以掌握这个问题的许多重要特征。如果相对正常速度比成比例 在哪里t是时间和 维数常数 因此，非定常Navier-Stokes方程具有相似解。

1992年，廖[15.]利用拓扑同伦的基本思想，提出了非线性问题的一般解析方法，即同伦分析方法(HAM) [16.- - - - - -21.］．基于拓扑的同伦性，该方法的有效性与方程中是否存在小参数无关。因此，HAM可以克服上述摄动方法的限制和局限性[22.］．此外，HAM总是为我们提供辅助参数中的一组解表达式 利用辅助参数可以方便地确定各解的收敛范围和速度 火腿还避免了离散化，并提供高精度，最小计算和避免物理不切实际的假设的有效数值解决方案。此外，火腿是相当一般的，含有同型扰动方法（HPM）[21.，阿多米亚分解法(ADM) [23.),而δ扩展方法。实际上，HPM和ADM总是HAM的特殊情况 HAM解决方案系列的融合取决于三个因素，即初始猜测，辅助线性操作员和辅助参数 但是，作为同型分析方法的特殊情况 HPM解级数的收敛只取决于两个因素:辅助线性算子和初始猜想。因此，在给定初始猜测和辅助线性算子的情况下，HPM不能提供其他方法来保证解是收敛的。HAM为我们提供了一组辅助参数的解表达式 而ADM给出的解决方案只是其中之一。

近年来，HAM被成功地应用于解决许多类型的非线性问题，如在传热过程中产生的非线性方程[24.]，多孔催化剂中扩散和反应的非线性模型[25.，混沌动力系统[26.，非齐次Blasius问题[27.]，广义三维MHD在多孔拉伸薄板上的流动[28.]，钢丝涂层分析采用MHD Oldroyd 8-constant fluid [29.]，二级流体通过拉伸薄板的轴对称流动和传热[30.]，二级流体在多孔通道中的磁流体流动[31.]，广义库埃特流[32.]，Glauert-Jet问题[33.]、Burger和正则化长波方程[34.]，在均匀磁场存在下的半多孔通道中层流粘性流[35.，以及其他问题。所有这些成功的应用都验证了HAM的有效性、有效性和灵活性。

本文用同伦分析方法研究了平行平板间粘性不可压缩流体的非定常压缩问题。本文的组织结构如下。节2，呈现数学制剂。节3.，我们将HAM的应用推广到构造控制方程的近似解。第一部分详细分析了所得到级数解的收敛性4．部分5包含结果和讨论。第一部分对结论进行了总结6．

2.数学制定

让两个盘子的位置在 在哪里 位置在时间点吗 如图所示1．我们假设长度为1(在二维情况下)或直径D(在轴对称情况下)比间隙宽度大得多 任何时候，最终的影响都可以被忽略。当 是正的，两个板块被挤压直到它们接触 当 是负的，两块板分开了。让u，v,w是速度分量x，y,z方向,分别。对于二维流动，Wang引入了以下变换[36.]： 在哪里 用(2．1)转化为非定常二维Navier-Stokes方程，得到形式为非线性的常微分方程 在哪里 （挤压号码）是Nondimensional参数。该流程的特征在于该参数。应该提到它 为运动粘度。边界条件是，板的横向速度为零，法向速度等于板的速度，也就是， 类似地，王的变换[36.]对于轴对称流量是 使用转换(2．5），不稳定的轴对称Navier-Stokes方程减少 受边界条件（2．4）.


图1
问题的示意图。

因此，我们应该解非线性常微分方程 在哪里 受边界条件限制(2．4）.

3.火腿的解决方案

的显式全解析解2．7)通过使用HAM，我们选择 作为初始近似 满足边界条件(2．4）.此外，我们选择了辅助线性算子 作为 很容易检查该算子满足下列等式: 在哪里 任意常数。基于(2．7)，我们定义了以下非线性算子: 使用这些运营商，我们可以构建所谓的零顺序变形方程式 在哪里 是内嵌参数和 是辅助非零参数。需要强调的是，初始猜想、辅助线性算子和辅助参数的选择具有很大的自由度 然而,(3．5)是HAM的原始方程，也是数学术语“同伦”(参数 是“同伦”的首字母)。此外,如果 （3．5)总是改变为原来的HPM方程。的边界条件(3．5) 显然,当 和 上述零阶变形方程有如下解: 作为p从0到1增加， 不同 至 现在扩大 用泰勒级数表示p，就会得到 在哪里 正如廖所指出的[19.，级数(3．8)强烈依赖于辅助参数 假使，假设 选择了这样的系列（3．8)汇聚于 那么由于(3．7)，则最终的级数解为 为m阶变形方程，我们微分(3．5）m乘以p,除以m！然后设置 得到的变形方程m阶是 有下列边界条件 在哪里 我们使用符号软件Mathematica来解决线性方程系统（3.11)与边界条件(3.12)，并依次获得 因此,像(3.10)时，该问题的解析解可表示为以下形式的无穷级数(见[37.]）

4.HAM解的收敛性

级数解包含辅助参数 该方法的有效性基于这样一个假设，即级数(3．8)是收敛的 它是辅助参数 这就保证了这个假设可以被满足。一般而言，通过所谓的手段 选择一个合适的值是很简单的 这就保证了级数解是收敛的。对于不同值的挤压数 , 由轴对称的15阶近似得到 和二维 案例如图所示2和3.,分别。从这些数字中，有效的区域 对应于与水平轴几乎平行的线段。数字2和3.说明有效区域的大小强烈地依赖于s 通过增加挤压数向零收缩。如前文所述，同伦分析方法比较一般，通常包含同伦摄动法(HPM) [21.]和阿多米亚分解法(ADM) [23.)当 从数字2和3.， 对于S的大值是无效的。


图2
年代 的的给出了不同挤压数值下轴对称情况下的15阶近似．

图3.
的的对于不同挤压数S值的二维情况，给出了15阶近似。

5.结果与讨论

我们主要关心的是 和 这些量描述了流动行为。对于几个值 ,函数 对轴对称和二维情况采用不同阶次近似得到的结果与表中的数值结果进行了比较1和2,分别。值得一提的是，数值结果是在c++程序中使用四阶龙格库塔计算得到的。我们可以看到，纯解析结果的HAM和数值结果之间有很好的一致性。的变化 随着二维壳体的S正值的变化绘制在图中4．数字5表示负S对 对于轴对称的情况。注意，对于较大的负值 ，相似度分析结果不可靠。 产生皮肤摩擦 表示压力梯度。 和 为S的函数，如图所示6和7,分别。
二阶 第四阶 第6阶 7阶 8阶 数值
0.2 0.319474 0.319526 0.319526 0.319526 0.319526 0.319526
0.4 0.603652 0.603825 0.603830 0.603830 0.603830 0.603830
0.6 0.822574 0.822863 0.822875 0.822876 0.822876 0.822876
0.8 0.956580 0.956789 0.956800 0.956801 0.956801 0.956801
0.2 0.302545 0.302582 0.302582 0.302582 0.302582 0.302582
0.4 0.578028 0.578082 0.578082 0.578082 0.578082 0.578082
0.6 0.800737 0.800780 0.800780 0.800780 0.800780 0.800780
0.8 0.947686 0.947702 0.947702 0.947702 0.947702 0.947702
0.2 0.290353 0.290322 0.290322 0.290322 0.290322 0.290322
0.4 0.559299 0.559253 0.559252 0.559252 0.559252 0.559252
0.6 0.784341 0.784304 0.784303 0.784303 0.784303 0.784303
0.8 0.940717 0.940704 0.940703 0.940703 0.940703 0.940703
0.2 0.281032 0.281010 0.281010 0.281010 0.281010 0.281010
0.4 0.544851 0.544780 0.544779 0.544779 0.544779 0.544779
0.6 0.771493 0.771374 0.771371 0.771371 0.771371 0.771371
0.8 0.935127 0.935038 0.935036 0.935036 0.935036 0.935036
0.2 0.273767 0.273683 0.273682 0.273682 0.273682 0.273682
0.4 0.533516 0.533255 0.533247 0.533246 0.533246 0.533246
0.6 0.761299 0.760868 0.760848 0.760847 0.760847 0.760847
0.8 0.930617 0.930299 0.930281 0.930280 0.930280 0.930280
表格1
分析结果 并与轴对称情况下四阶龙格-库塔数值结果进行了比较。
二阶 第四阶 第6阶 7阶 8阶 数值
0.2 0.332883 0.333591 0.333617 0.333618 0.333618 0.333618
0.4 0.623190 0.624315 0.624358 0.624358 0.624358 0.624358
0.6 0.838219 0.839284 0.839324 0.839325. 0.839325. 0.839325.
0.8 0.962441 0.962961 0.962983 0.962984 0.962984 0.962984
0.2 0.305436 0.305543 0.305545 0.305545 0.305545 0.305545
0.4 0.582314 0.582468 0.582470 0.582470 0.582470 0.582470
0.6 0.804271 0.804390 0.804392 0.804392 0.804392 0.804392
0.8 0.949065 0.949107 0.949108 0.949108 0.949108 0.949108
0.2 0.288347 0.288261 0.288260 0.288260 0.288260 0.288260
0.4 0.556268 0.556145 0.556143 0.556143 0.556143 0.556143
0.6 0.781768 0.781670 0.781671 0.781671 0.781671 0.781671
0.8 0.939674 0.939641 0.939640 0.939640 0.939640 0.939640
0.2 0.276526 0.276433 0.276432 0.276432 0.276432 0.276432
0.4 0.537929 0.537754 0.537752 0.537752 0.537752 0.537752
0.6 0.765463 0.765252 0.765249 0.765249 0.765249 0.765249
0.8 0.932607 0.932474 0.932471 0.932471 0.932471 0.932471
0.2 0.268041 0.267797 0.267791. 0.267791. 0.267791. 0.267791.
0.4 0.524558 0.524057 0.524045 0.524045 0.524045 0.524045
0.6 0.753285 0.752627 0.752605 0.752605 0.752605 0.752605
0.8 0.927166. 0.926724 0.926704 0.926703 0.926703 0.926703
表2
分析结果 并与二维情况下四阶龙格-库塔数值结果进行了比较。

图4.
积极的影响上对于二维案例，何时．

图5.
负面的影响对于轴对称案例，何时．

图6.
表面摩擦(），对于轴对称和二维情况，则从的级数解在整个区域收敛．

图7.
压力梯度(），对于轴对称和二维情况，则．从的级数解在整个区域收敛．

6.结论

在本文中，使用火腿分析地研究了两个平行板之间的非定常轴对称和二维挤压流。显式显示结果的收敛性。提出了图形结果和表，以研究挤压数S对速度，皮肤摩擦和压力梯度的影响。通过火腿获得的溶液是用于适当的初始近似的无限功率序列，其可以以封闭形式表示。与扰动方法不同，火腿不依赖于任何小物理参数。因此，它对于弱且强烈的非线性问题是有效的。此外，与所有其他分析方法不同，火腿为我们提供了一种简单的方法来通过辅助参数来调整和控制串联解决方案的收敛区域 因此辅助参数 在HAM的框架内起着重要的作用，这可以由所谓的 因此，对挤压流的高度非线性问题的同型分析方法的本成功验证了该方法是科学与工程中非线性问题的有用工具。

参考文献

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