积分变换技术用于解决裂纹的弹性动态问题的固定长度以恒定的速度传播两个保税的接口不同的正交的层的厚度相等。两种情况的实际调查的重要性。首先,外侧边界层夹和流离失所的大小相等,方向相反的方向产生反平面剪切导致撕裂运动沿裂纹前缘,其次,层的横向边界剪切应力。半无限裂纹在界面的解析解的两个保税不同正交的层。封闭表达式获得了强调强度因子和其他物理量在所有情况下。
<年代p一个ncl一个年代年代="end-abs">
1。介绍
首先,硅和陈<一个href="#B1">1一个>)解决了这个问题格里菲斯裂纹的反平面剪切下正交的层。他们减少了弗雷德霍姆积分方程的解的第二种,和应力强度因子的值是通过解决弗雷德霍姆积分方程数值。辛格et al。<一个href="#B2">2一个>),泰特和穆迪(<一个href="#B3">3一个>)得到封闭解有限长度裂纹与恒定的速度移动。在[<一个href="#B2">2一个>),一个积分变换方法,而在<一个href="#B3">3一个>使用了复杂的变量技术。封闭解有限长度裂纹以恒定速度在一个正交的Danyluk获得的有限层厚度和辛格<一个href="#B4">4一个>),工作是一个扩展的工作中讨论(<一个href="#B1">1一个>- - - - - -<一个href="#B3">3一个>]。利用复变方法,皮质(<一个href="#B5">5一个>]有裂纹的正交的地带,解决了这个问题,稳步的问题在一个正交各向异性材料裂纹反平面剪切应力下被Piva研究[<一个href="#B6">6一个>,<一个href="#B7">7一个>]。最近,李<一个href="#B8">8一个>)获得了封闭解mode-III两个保税不同的弹性层之间的界面裂纹。本文关注mode-III移动裂缝之间的接口两个保税正交的不同弹性层的封闭解。此外,半无限界面裂纹的准确结果取得了两个保税弹性正交各向异性弹性层直接从有限长裂纹的结果通过一个限制的过程。
本文的结果是更普遍比李的纸<一个href="#B8">8一个>]。如果我们假设裂纹移动的速度是零和假定常数<年代vg height="16.637501" id="M1" style="vertical-align:-4.77652pt;width:186.89999px;" version="1.1" viewbox="0 0 186.89999 16.637501" width="186.89999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
4
4
(
)
=
5
5
(
)
=
(
)
(
=
1
,
2
)
,
我们得到的结果纸的李<一个href="#B8">8一个>),<年代vg height="12.7625" id="M2" style="vertical-align:-4.77652pt;width:21.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 21.8125 12.7625" width="21.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
是上下两层的剪切模和<年代vg height="12.975" id="M3" style="vertical-align:-4.77652pt;width:71.025002px;" version="1.1" viewbox="0 0 71.025002 12.975" width="71.025002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
4
4
(
)
,
5
5
(
)
在本文中定义。
解决混合边值问题的标准方法是减少解决方案为第二类弗雷德霍姆积分方程,在那里可以找到近似解。本文的目的是获得封闭形式或问题的精确解。
2。裂纹问题的基本方程和公式
考虑两个弹性层的厚度相等<年代vg height="10.95" id="M4" style="vertical-align:-0.1254pt;width:9.1374998px;" version="1.1" viewbox="0 0 9.1374998 10.95" width="9.1374998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
ℎ
占领该地区<年代vg height="10.7" id="M5" style="vertical-align:-0.30096pt;width:90.900002px;" version="1.1" viewbox="0 0 90.900002 10.7" width="90.900002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
−
∞
<
<
∞
,<年代vg height="11.175" id="M6" style="vertical-align:-0.30096pt;width:76px;" version="1.1" viewbox="0 0 76 11.175" width="76" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
−
ℎ
<
<
ℎ
,<年代vg height="10.7" id="M7" style="vertical-align:-0.30096pt;width:90.612503px;" version="1.1" viewbox="0 0 90.612503 10.7" width="90.612503" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
−
∞
<
<
∞
,在那里<年代vg height="10.9125" id="M8" style="vertical-align:-0.17555pt;width:41.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.8125 10.9125" width="41.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
0
是一个固定的直角坐标系。我们假设裂纹的长度<年代vg height="10.85" id="M9" style="vertical-align:-0.1254pt;width:15.7875px;" version="1.1" viewbox="0 0 15.7875 10.85" width="15.7875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
2
在一个恒定的速度移动吗<年代vg height="7.4250002" id="M10" style="vertical-align:-0.11285pt;width:8.0375004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.0375004 7.4250002" width="8.0375004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
在<年代vg height="10.325" id="M11" style="vertical-align:-0.0pt;width:13.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.4125 10.325" width="13.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
方向在两层的接口,如图<一个href="//www.newsama.com/journals/mpe/2008/930820/fig1/" target="_blank">1一个>。这个调查的目的是确定orthotropy的影响材料的初始裂纹的传播方向与恒速运动。假设有一个非零的位移分量<年代vg height="10.325" id="M12" style="vertical-align:-0.0pt;width:13.2875px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.2875 10.325" width="13.2875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
方向,我们有<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq1">
在哪里<年代vg height="16.2875" id="M14" style="vertical-align:-4.77652pt;width:74.487503px;" version="1.1" viewbox="0 0 74.487503 16.2875" width="74.487503" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,
,
中的位移组件吗<年代vg height="12.5375" id="M15" style="vertical-align:-1.76814pt;width:36.462502px;" version="1.1" viewbox="0 0 36.462502 12.5375" width="36.462502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
,
,
和<年代vg height="10.325" id="M16" style="vertical-align:-0.0pt;width:13.2875px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.2875 10.325" width="13.2875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
方向,分别<年代vg height="13.6125" id="M17" style="vertical-align:-2.34499pt;width:47.737499px;" version="1.1" viewbox="0 0 47.737499 13.6125" width="47.737499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
1
,
2
。然后<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq2">
在哪里<年代vg height="15.125" id="M19" style="vertical-align:-6.50204pt;width:27.0375px;" version="1.1" viewbox="0 0 27.0375 15.125" width="27.0375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
4
4
(
)
和<年代vg height="15.125" id="M20" style="vertical-align:-6.50204pt;width:27.0375px;" version="1.1" viewbox="0 0 27.0375 15.125" width="27.0375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
5
5
(
)
是剪切模<年代vg height="10.325" id="M21" style="vertical-align:-0.0pt;width:21.65px;" version="1.1" viewbox="0 0 21.65 10.325" width="21.65" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
和<年代vg height="10.325" id="M22" style="vertical-align:-0.0pt;width:25.625px;" version="1.1" viewbox="0 0 25.625 10.325" width="25.625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
飞机,分别为材料。两层的运动方程<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq3">
在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq4">
和<年代vg height="16.375" id="M25" style="vertical-align:-4.77652pt;width:16.15px;" version="1.1" viewbox="0 0 16.15 16.375" width="16.15" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
横波速度和吗<年代vg height="12.975" id="M26" style="vertical-align:-4.77652pt;width:13.5px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.5 12.975" width="13.5" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
密度是常数的材料。裂纹与恒速运动<年代vg height="10.325" id="M27" style="vertical-align:-0.0pt;width:13.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.4125 10.325" width="13.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
方向,方便介绍伽利略变换<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq5">
方程(<一个href="#eq3">2.3一个>)现在变成了<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq6">
在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq7">
3所示。平衡方程的解决方案
平衡的解决方案(<一个href="#eq6">2.6一个>)可以写成<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq8">
在哪里<年代vg height="12.975" id="M32" style="vertical-align:-4.77652pt;width:12.5375px;" version="1.1" viewbox="0 0 12.5375 12.975" width="12.5375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
作为(<一个href="#eq7">2.7一个>),<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq9">
给出了非零压力<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq11">
现在,我们考虑两个基本问题涉及剪切应力加载和位移条件下表面的层。
<年代p一个ncl一个年代s="statement" id="ProblemA">一个问题。我>年代p一个n>让反平面剪切应力被应用到表面<年代vg height="12.1625" id="M36" style="vertical-align:-1.09097pt;width:47.599998px;" version="1.1" viewbox="0 0 47.599998 12.1625" width="47.599998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
±
ℎ
,那么相当于问题在这个实例中涉及的应用剪切应力<年代vg height="13.55" id="M37" style="vertical-align:-2.29482pt;width:37.474998px;" version="1.1" viewbox="0 0 37.474998 13.55" width="37.474998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
−
(
)
裂纹表面<年代vg height="10.9125" id="M38" style="vertical-align:-0.17555pt;width:35.6875px;" version="1.1" viewbox="0 0 35.6875 10.9125" width="35.6875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
=
0
。边界条件可以写成<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq13">
在哪里<年代vg height="10.325" id="M43" style="vertical-align:-0.0pt;width:13.2875px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.2875 10.325" width="13.2875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
是一个偶函数。问题解决的由(<一个href="#eq6">2.6一个>)和(<一个href="#eq13">3所示。5一个>)- (<一个href="#eq16">3所示。8一个>)。年代p一个n>
问题B。我>年代p一个n>层的横向边界<年代vg height="10.325" id="M44" style="vertical-align:-0.0pt;width:13.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.4125 10.325" width="13.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
由等量严格夹和流离失所<年代vg height="119.1625" id="M45" style="vertical-align:-0pt;width:700.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 700.9375 119.1625" width="700.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
)
(
,
0
)
=
−
4
4
(
1
)
ℎ
|
|
|
|
(
)
,
<
,
(
3
。
9
)
(
1
)
(
,
0
)
=
(
2
)
(
,
0
)
,
−
∞
<
<
∞
,
(
3
。
1
0
)
1
(
,
0
)
=
2
|
|
|
|
(
,
0
)
,
>
,
(
3
。
1
1
)
1
(
,
ℎ
)
=
2
(
,
−
ℎ
)
=
0
。
(
3
。
1
2
)
在相反的方向产生的反平面剪切运动<年代vg height="28.9625" id="M46" style="vertical-align:-0pt;width:700.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 700.9375 28.9625" width="700.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
(
)
=
1
(
)
e
x
p
−
2
ℎ
1
1
,
2
(
)
=
2
(
)
e
x
p
2
ℎ
2
2
,
(
4
。
1
)
方向,而裂纹在积极行动<年代vg height="39.849998" id="M47" style="vertical-align:-0pt;width:700.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 700.9375 39.849998" width="700.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
ℎ
1
=
ℎ
√
1
,
ℎ
2
=
ℎ
√
2
。
(
4
。
2
)
方向以恒定速度。为了使用积分变换的技术,需要解决的另一种选择,但等效问题。
等价的条件<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq17">
4所示。解决方案的问题
从(<一个href="#eq11">3所示。3一个>)和(<一个href="#eq14">3所示。6一个>),我们发现<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq21">
在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq22">
从(<一个href="#eq8">3所示。1一个>),(<一个href="#eq11">3所示。3一个>)和(<一个href="#eq21">4.1一个>),我们发现<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq23">
从边界条件(<一个href="#eq15">3所示。7一个>),我们发现<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq27">
从(<一个href="#eq23">4.3一个>),(<一个href="#eq24">4.4一个>)和(<一个href="#eq27">4.7一个>),我们发现<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq28">
在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq29">
现在,边界条件(<一个href="#eq13">3所示。5一个>)和(<一个href="#eq15">3所示。7一个>)导致下面的双重积分方程:<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq30">
封闭的解的对偶积分方程(<一个href="#eq30">4.10一个>)是很难获得,只有近似解的对偶积分方程可以通过改变成第二种的弗雷德霍姆积分方程。获得封闭的形式,我们假设<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq32">
这<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq33">
如果我们把<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq34">
然后对偶积分方程(<一个href="#eq30">4.10一个>可以书面形式)<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq35">
后(<一个href="#B4">4一个>),双重积分方程的解决方案(<一个href="#eq35">4.14一个>可以书面形式)<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq37">
在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq38">
的具体情况<年代vg height="13.45" id="M68" style="vertical-align:-2.21957pt;width:103.7625px;" version="1.1" viewbox="0 0 103.7625 13.45" width="103.7625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
+
(
≪
)
当<年代vg height="39.487499" id="M69" style="vertical-align:-0pt;width:700.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 700.9375 39.487499" width="700.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
我
我
我
=
l
我
米
→
0
1
2
0
(
1
)
(
,
0
)
Δ
(
−
,
0
)
,
(
4
。
2
1
)
是一个常数,我们发现<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq40">
在哪里<年代vg height="40.025002" id="M71" style="vertical-align:-0pt;width:700.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 700.9375 40.025002" width="700.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
我
我
我
=
√
1
−
1
4
4
(
1
)
+
−
1
4
4
(
2
)
2
0
t
一个
n
h
(
)
2
,
t
一个
n
h
(
)
2
。
(
4
。
2
2
)
和<年代vg height="28.9625" id="M72" style="vertical-align:-0pt;width:700.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 700.9375 28.9625" width="700.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
1
(
)
=
−
1
(
)
e
x
p
−
2
ℎ
1
1
,
2
(
)
=
−
2
(
)
e
x
p
−
2
ℎ
2
2
。
(
5
。
1
)
椭圆积分的第一和第三种,分别定义表中的Gradshteyn和Ryzhik [<一个href="#B9">9一个>]。
沿着裂纹是由应力分布<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq42">
和裂纹滑动位移<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq43">
应力强度因子可以书面形式<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq44">
假设应用载荷作用下裂纹尖端的进步沿着裂缝平面<年代vg height="28.9625" id="M76" style="vertical-align:-0pt;width:700.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 700.9375 28.9625" width="700.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
1
+
)
−
1
ℎ
1
1
(
)
年代
我
n
h
1
ℎ
1
1
(
)
=
1
(
)
。
(
5
。
8
)
来<年代vg height="14.75" id="M77" style="vertical-align:-3.25793pt;width:59.900002px;" version="1.1" viewbox="0 0 59.900002 14.75" width="59.900002" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
(
)
=
0
单位长度,那么能量释放率在此过程中给出<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq45">
在哪里<年代vg height="68.3125" id="M79" style="vertical-align:-0pt;width:700.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 700.9375 68.3125" width="700.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
√
Ψ
(
)
=
1
年代
我
n
(
)
4
4
(
1
)
−
1
4
4
(
1
)
+
−
1
4
4
(
2
)
0
ℎ
1
年代
我
n
h
2
(
)
−
年代
我
n
h
2
(
)
1
/
2
。
(
5
。
1
0
)
表示裂纹尖端的距离。
从(<一个href="#eq45">4.21一个>),我们发现<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq46">
我们发现上面的剪切应力位移和强度因素获得与相应的协议导致Danyluk和辛格(<一个href="#B4">4一个>]。
能量释放率(<一个href="#eq46">4.22一个>)是新的,没有获得在<一个href="#B4">4一个>]。
5。解决问题的B
对于这个问题,我们发现边界条件(<一个href="#eq20">3.12一个>如果将满意<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq47">
使用(<一个href="#eq47">5。1一个>),(<一个href="#eq8">3所示。1一个>)和(<一个href="#eq11">3所示。3一个>),我们发现<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq48">
从(<一个href="#eq50">5。4一个>)和(<一个href="#eq51">5。5一个>)和边界条件(<一个href="#eq18">3.10一个>),我们发现<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq52">
使用(<一个href="#eq32">4.11一个>)和(<一个href="#eq52">5。6一个>),边界条件(<一个href="#eq17">3所示。9一个>)和(<一个href="#eq19">3.11一个>)导致对偶积分方程<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq54">
在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq55">
后(<一个href="#B4">4一个>),双重积分方程的解决方案(<一个href="#eq54">5。7一个>)<年代vg height="12.8625" id="M89" style="vertical-align:-4.68874pt;width:88.699997px;" version="1.1" viewbox="0 0 88.699997 12.8625" width="88.699997" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
4
4
(
1
)
,
5
5
(
1
)
,
1
可以书面形式<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq56">
在哪里<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq57">
我们可以很容易发现<年代p一个ncl一个年代年代="equation" id="eq58">
的应力强度因子<年代p一个ncl一个年代年代="inline" id="M93">是由<年代p一个ncl一个年代年代="displayed-label" id="eq59">和裂纹滑动位移<年代p一个ncl一个年代年代="displayed-label" id="eq60">过程中能量释放率单位长度是由<年代p一个ncl一个年代年代="displayed-label" id="eq61">
6。半无限界面裂纹的解决方案
为加强层的边界的情况下,半无限界面裂纹的封闭解获得通过<年代p一个ncl一个年代年代="inline" id="M97">在(<一个href="#eq58">5.11一个>),(<一个href="#eq59">5.12一个>)和(<一个href="#eq60">5.13一个>),然后让<年代p一个ncl一个年代年代="inline" id="M98">,所以,我们有<年代p一个ncl一个年代年代="displayed-label" id="eq64">
应力强度因子的结果的特例静止裂纹的无限地带恰逢皮质(获得的相应的结果<一个href="#B5">5一个>和大米<一个href="#B10">10一个>]。
7所示。结论
本文中提供的封闭的解是不那么重要的由于条件(<一个href="#eq32">4.11一个>)。条件(<一个href="#eq32">4.11一个>可以书面形式)<年代p一个ncl一个年代年代="displayed-label" id="eq65">
如果裂缝的速度以特定的常量值<年代p一个ncl一个年代年代="inline" id="M101">,我们可以代替常量的值<年代p一个ncl一个年代年代="inline" id="M102">因此,(<一个href="#eq65">7.1一个>)是满意的。因此,解决方案(<一个href="#eq65">7.1一个>)存在一些分层指定正交的材料。
对于静止裂纹,我们假设<年代p一个ncl一个年代年代="inline" id="M103">。然后,从(<一个href="#eq65">7.1一个>),我们发现<年代p一个ncl一个年代年代="displayed-label" id="eq66">
方程(<一个href="#eq66">7.2一个>)非常简单,因此我们可以轻松地找到固定的解决方案为上部和下部层正交各向异性材料裂纹问题(<一个href="#eq66">7.2一个>),具有实用价值。解决方案已经得到李(<一个href="#B8">8一个>]静止裂纹的各向同性弹性层,而由于条件(<一个href="#eq66">7.2一个>),我们可以找到解决方案静止裂纹正交异性层。