水平和垂直翻转下Costas阵列的互相关性及其图像

抽象的

我们考虑一个Costas阵列与它的图像在水平和/或垂直翻转下的互相关。对于一般的Costas数组和代数构造的数组，我们提出并证明了最大互相关及其原点上的值的几个界。

1.介绍

Costas阵列是由Costas博士引入的具有理想自模糊特性的跳频模式[1那2]，努力提高声纳表现。他自己无法找到一般的施工技术，他接近Solomon Golomb教授，他发表了[3.并证实[4.两种生成Costas数组的技术，都是基于有限域理论，分别被称为Welch和Golomb-Lempel方法。这些仍然是目前可用的Costas阵列的唯一通用构造方法。

在多用户和多路复用系统中，为了减少串扰，希望使用的信号具有低的互相关。虽然Costas阵列以其理想的自相关而闻名(事实上，是由它定义的)，但它们通常表现出较差的互相关。因此，低互相关Costas阵列的亚族特别适合这种应用。本文研究了水平和垂直翻转相关的Costas阵列对的互相关性，以识别具有良好互相关性的阵列对。在某些应用中，这样的小簇就足够了，例如，当同一地理区域内只有少量的SONARs/RADARs(4个或更少)工作时(否则需要考虑更大的簇，但本研究不在本文讨论范围内)。

关于论文的布局，在章节中2给出了Costas数组的定义，并描述了可用的构造方法。节3.，我们回顾了有关Costas阵列互相关特性的文献。节4.，我们证明了Welch Costas阵列的反射对称性质。部分5.并证明了同族Costas数组对的互相关上的界。

2. Costas阵列：定义和代数建设

定义2.1。让考虑一个双射 对于所有人来说，科斯塔斯排列是当且仅当的吗这样 Costas阵列置换数组对应的是Costas置换吗这封通讯是一个公约的问题：我们在这里选择了“公约”排列的第一个元素索引的位置(唯一)1在阵列的列，在通常的阵列公约中从上到下计算：习惯上将排列数组中的1表示为“点”，将0表示为“空白”。定义2．1等于所有距离向量的说法吗在哪里在Costas数组中点对之间是不同的(注意，我们取第二个坐标为非负)。

示例costas数组显示在图的左上角1．请注意，图像的Costas数组下转动经过水平或垂直翻转和转换仍然是一个Costas阵列：每个Costas阵列都会生成一个八个成员（或四个，如果阵列是对称的）也会显示。使用的表示法表示使用两个运算符来生成这个家庭：一种逆时针旋转(CCW)，和垂直翻转。我们还为方便而定义是水平翻转，在这种情况下我们也有那个双（水平和垂直）翻转。每个阵列下的数字对应于置换索引它。

每个哥斯达斯大小的尺寸已通过彻底的计算机检索[5.-7.]:总计约15万个阵列。

已知的两种构造Costas阵列的方法都是基于有限场技术;每个都有几个子方法/变体[3.那4.那8.］．在续集中，我们将专门使用主要方法。定理2.2（韦尔奇建筑）.让做一个擎天柱，让是有限域的原始根的元素,让是一个常数;然后，功能在哪里和科斯塔斯的财产是双向的。存在的原因在指数中是什么时候1是一个不动点我们参考由此生成的数组作为阵列产生的圆形偏移对于相同的和Welch Costas阵列有抗反射对称（见下文，另见[9.])。定义2.3。让 抗反射对称是否当且仅当 也就是说，右半部分是左半的垂直翻转。定理2.4（戈尔仑建筑）.让是一个'然后让是有限场的原始根的元素;然后，功能在哪里和科斯塔斯的财产是双向的。

如果该数组称为aLempel Costas阵列，且主对角线对称。

3.Costas阵列的相互关系

定义3.1。让 然后让之间的互相关和在被定义为 换句话说，为了找到两个Costas阵列的互相关和订单在我们将两个阵列放在彼此之上，第一个幻灯片水平柱子垂直行，并计算重叠的点数的数量。我们还将使用符号代替

文献中关于Costas阵列的相互关联的研究较少。本文最接近的主题是O'Carroll等人[10]（关于其与本作工作的相关详情将在一节中给出5.）.titlebaum和maric [11事实证明，从奇数素数的往复原始根部产生的两个韦尔奇或lem​​pel的最大互相关是2.它们还证明了两个韦尔奇·卡斯加斯阵列的互相关的上限是并确定某些形式的预言具有良好或不良的互相关界限，例如，它们表明，对于等于1模2的次柔性矩阵的最大互相关的上限。

Drumheller和Titlebaum [12]导出了两个Golomb或两个Welch Costas数组的最大互相关系的上界，这两个数组都是根据生成原语元素的相对幂来确定的。

里卡德曾提出过一对有序的Golomb数组的最大互相关的上界接管所有这样可能的不同数组对，最多[13］．他还提出了（a）的青睐的形式 素数（称为安全或生殖器），该数量表现出局部最小值，并且（b）上限为一对陀螺仪达到的吞咽阵列的最大互连取超过所有这种可能的不同阵列成对，比相应的数量小于韦尔奇阵列的顺序数量接管所有对不同的数组，只要不互相循环移位即可不是一个安全的素数。

最后，etzion已经证明，任何Costas阵列的互相关都与其图像的图像旋转正好是2 [14］．

4. Welch阵列的对称性

如上所述，Welch Costas阵列具有反射反射对称性（参见定义2．3)，也被称为滑动反射对称（G-Symmetry）[14］．为了完整起见，我们给出了这个性质的一个证明。

定理4.1。韦尔奇科斯塔斯阵列具有抗反射对称性。证明。考虑Welch Costas排列由在然后，为所有人 鉴于这一事实这完成了证明。

我们将在本文后面使用这个特性。需要注意的是，这种对称性并不是Welch Costas数组的特征，也就是说，存在具有这种性质的非Welch数组。文献[1]中建立了具有减反射对称性的阵列存在的若干条件。14］．

5.一些相关范围的证明

在本节中，我们在翻转相关的Costas阵列的互相关值上存在上限。更具体地说，我们分为两组的结果：处理互相关的最大值和处理原点互相关的人。

5.１.互相关最大值的界限

Freedman和Levanon [15证明了这一点任何两个相同尺寸阵列之间的互相关至少点击。我们提出了一种特殊的情况，其中一对数组之间的互相关正好为2:任何Costas数组与其之间的互相关旋转的最大值为2。

定理5.1。让是令人愉快的订单数组然后证明。观察到的关键是旋转经过生成距离矢量与原始阵列中的距离矢量相同的Costas阵列：让两个点位于 在哪里他们在旋转阵列中的图像呈现 是阵列的顺序。距离向量和等于：和因此，一个移动将使这些对对齐（但请注意换档对齐和和和）.
现在假设，对于这个给定的移位，第三对点也对齐了和在哪里是一个点和一个点在:那有预图像吗说一个点我们声称该点 和形成平行四边形，违反了Costas属性：确实，通过三对准，我们得到了和而在上面的观察，和它遵循 因此是一个平行四边形，证明是完整的。

如前所述，这种结果也被etzion衍生（[14定理2]);为了完整性，我们选择在这里给出它，提供一个更简洁的证明。O'Carroll等人[10]给出了一个证明，证明了一个Golomb数组中任意两个的最大互相关及其 和Flips等于2。

我们现在证明了Welch Costas有序数组的两个界：首先，我们表明韦尔奇·卡斯特阵列阵列的互相关的峰值及其垂直翻转是然后我们考虑Welch Costas数组及其水平翻转的情况这产生了一个更好的结果。

定理5.2。用于任何抗反射Costas阵列（甚至）订单以及它的垂直翻转 特别地，这个结果适用于输入生成的任何Welch Costas数组（在哪里）.证明。我们通过考虑互相关的三个不同区域的形式来证明这个性质。让是排列对应的然后，我们证明它
（一世）对所有什么时候(2) 什么时候（iii） 修复和我们求出成对数的 ,““如果是选中的话和““ 除此以外。
假设这个方程最多有一个解因为科斯塔斯的财产假设方程变成了不满足于什么如果我们选择但对所有人都满意这是的值如果我们选择这完成了证明。

定理5.3。韦尔奇·科斯塔斯阵列以及水平翻转 证明。让是韦尔奇排列由原始根和参数对于固定值和我们需要找出有多少对的 我们得到了两个方程 即 如果这个等式是真的，那也是如此那里 设置我们获得 这是一个场中的二阶方程，因此它最多有两个解因此然而，请注意，并非这个方程的所有解实际上也需要是(5.6）.同时也要注意和是卡斯塔斯阵列，Freedman和Levanon的结果[15]保证至少有一对值有两个解决方案和

定理5.4。任何Costas阵列订单 取决于是否分别是偶数或奇数要么是或证明。假设甚至，假设存在一个子集的移位的圆点可以与子集合一致同样很多点 还包含一个子集的点，即前像:距离矢量距离矢量的垂直翻转是在哪里
现在观察，由于Costas数组中没有两个点位于同一行或同一列，每个距离矢量与其垂直翻转不同。假设包含两个向量以及它的垂直翻转在不失一般性的前提下，起点在哪里位于起点的左边然后包含两个向量，但现在现在的起点位于起点的右边这意味着两对等载体不能均来并沉积，因此包含至少两个相等的向量，而不是Costas，这是一个矛盾。
它遵循该点之间的距离矢量与点之间的距离向量不相交但这是荒谬的，因为根据鸽子洞原理，和具有至少2个常见的点，因此它们必须共享一个共同的距离向量。
假设奇数，并考虑一个子集的圆点我们最终，如前所述，另一个子集的点在因此，每个集合包含在另一个中存在的距离矢量的垂直翻转。但现在鸽孔原理只保证两组有至少一个常见的点，所以有必要更仔细地计算。实际上，如果我们假设转变对齐和有一个非零垂直组件，比如说它遵循点可以不属于任何一方也不那里也就是说，它们共用一个距离向量，这是不可能的。
这意味着转变对齐和是完全水平的，所以和相互垂直翻转。唯一可能存在的点然后是中央行的(唯一的)点，因为至少一个点必须存在（要不然至少有点)，我们推断不可能有位移。因此,是唯一的可能。
争论是完全相似的。这完成了证明。

注意,对甚至，Welch Costas数组的上界实际上是实现的，而for奇数，对于从韦尔奇·卡斯特组阵列中删除角点来再次实现上界，从而从韦尔奇·卡斯特组阵列产生在两种情况下由于抗反射对称性。

5.2。跨相关原因值的界限

我们现在考虑一些关于原点互相关值的边界，也就是两个数组完美叠加的命中数。的原因我们特别感兴趣的价值互相关在原点,一方面,实用,因为它成为唯一相关的价值在一个多用户系统用户的时钟同步,另一方面,理论,因为它通常是更简单的计算或估计比一般的价值,我们马上就会看到。

首先，我们展示了一个偶数顺序的Costas数组及其垂直或水平翻转(和resp。）不要重叠，而奇数订单的相应结果是它们仅在一个点重叠。请注意，我们已经派生并使用了部分结果的定理证明5.4．

定理5.5。对于任何哥斯达斯的订单数组 当数组要么是或证明。由于Costas阵列每列和行包含一个点，因此是否等于垂直翻转的点数固定:如果甚至没有固定的点，而如果是奇数，恰好有一个点保持不变，即位于中间行的那个点。水平翻转用类似的方法处理。这完成了证明。

我们现在勾勒出一个偶数顺序的对称硬盘阵列和它的旋转在任何方向(和）不要重叠，而奇数顺序的相应结果是它们仅在一个点重叠。

定理5.6。对于任何有序的对称Costas数组 当数组是其中之一或证明。我们可以通过观察对称阵列的旋转来证明这一点等同于水平或垂直翻转然后调用定理5.5．

接下来，我们证明了如果我们用它覆盖Welch Costas数组旋转时，命中的次数取决于数组的顺序。

定理5.7。韦尔奇·科斯塔斯阵列 证明。韦尔奇·科斯塔斯数组大小在位置上包含点 对'和一个原始元素的它的旋转在位置包含点
互相关原点的值等于同时方程的最大可能数量的解决方案 将后者替换为前者，并使用(5.13），我们得到了一些操作， 作为是整数，这些方程可以满足当且仅当因此,当是这种形式，我们有两个解，但是什么时候呢没有解决方案。

定理5.8。对于Golomb Costas Array订单 证明。一个狼磁唱片肋肋糖花数组有坐点的点在哪里 为了 '整数和原始的元素和它的旋转的位置上有点
原点的互相关的值是同时等式的解数和它遵循 因此，我们得到两个联立方程: 设置我们获得了二次 现在我们考虑三种情况。
（一世） ：是3的幂，所以(5.20)成为 由于只有解决方案，(2)否则,解决了如果并且只有解决了这有解决方案如果并且只有：(一) ： (5.20)有两个根源(b) ： (5.20)有0个根

6.结论

低互相关的Costas阵列系列在多用户设置中非常有用，在多用户设置中需要理想的自模糊度以获得最佳的雷达/声纳性能，同时需要减少不同用户之间的交叉干扰。我们关注由水平和/或垂直翻转相关的两个Costas数组的互相关的特殊情况，并考虑了一般的Costas数组和更具体的代数构造子族。

在许多情况下，发现互相关是低（2或更小），这意味着对于少量用户来说，可以使用相同阵列的翻转变型而没有显着干扰。如果我们将所有用户绑定到公共时钟，我们的选项进一步增加，在这种情况下，唯一的互相关值是在原点处的唯一互相关值。

对于更多的用户，需要考虑更大的Costas阵列的家庭;我们贬低了这一点以备将来的工作。我们还收集了关于Costas阵列与其在旋转中的图像的互相关的经验结果或者在换位（和翻转和/或旋转）下，但到目前为止，我们无法找到这些结果的可提供公式。

致谢

作者想要感谢John Russo和Svetislav Maric带来了定理中陈述的结果5.1他们的注意力。他们也要感谢匿名评审人员的全面评审，以及他们详细而深刻的评论。本材料基于爱尔兰科学基金会(grant no.)资助的作品。05 /移/ I677也没有。08年/ RFP / MTH1164。

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