文摘

香农一起研究了小波微分属性(称为连接系数)。结果表明,香农采样定理可以被认为是在一个更一般的方法适用于多频分析等功能。这个概括正值Shannon小波重建功能。香农的微分性质小波也通过连接系数进行了研究。结果表明,香农小波函数及其衍生品可以任何顺序分析定义为某种有限的超几何级数。这些系数可以定义小波重建的衍生品功能。

1。介绍

小波(1)局部函数是一个非常有用的工具在许多不同的应用程序:信号分析、数据压缩、运营商分析和PDE解决(见,例如,2)和引用)。小波的主要特征是自然的对象分割成不同的组件(规模1,3根据多尺度分辨率分析。为与衰减函数,也就是说,函数无穷,小波给最好的近似。当函数是局部的空间,也就是说,底部长度的函数是在很短的时间间隔(函数与一个紧凑的支持),如脉冲、其他重建,但小波,导致对吉布斯现象等不良问题时近似是由傅里叶的基础。本文结果表明,香农小波是最有利的依据脉冲函数的分析(脉冲)4]。近似可以简单地进行重建,香农小波在多频波段范围。与香农采样定理的频带是只有一个,香农的重建可以做小波函数的范围在不同的频段。香农采样定理(5]在信号分析中起着重要的作用,特别是,重建的信号从数字采样。合适的假设下(在给定信号函数)几集值(样品)和初步选择的基础上(由sinc函数)使我们完全重建连续信号。这个重建都重建一个函数的级数展开(如多项式,即。泰勒级数,或三角函数,即。,Fourier series), but for the first time the reconstruction (in the sampling theorem) makes use of the sinc function, that is a localized function with decay to zero. Together with the Shannon sampling theorem (and reconstruction), also the wavelets series become very popular, as well as the bases with compact support. It has been recognized that on the sinc functions one can settle the family of Shannon wavelets. The main properties of these wavelets will be shown and discussed. Moreover, the connection coefficients [6- - - - - -9)(也称为refinable积分)将被给予一些有限公式计算任意顺序衍生品(参见一些初步结果2,10- - - - - -12])。这些系数使我们能够定义任何顺序衍生品香农的尺度和小波的基础上,它也表明,金融衍生品是正交的。

2。香农小波

Sinc函数或香农尺度函数的定义的起点Shannon小波家族(11]。它可以表明,香农小波与谐波小波的实部(2,10,13,14),限带复杂的功能与。谐波小波形成一个标准正交基,产生多分辨率分析(1- - - - - -3,14,15]。在频域中,他们非常本地化和紧凑的支持上定义的间隔,但他们有一个非常缓慢衰减的空间变量。然而,在处理实际问题更有利的利用真正的基础。通过关注真正的调和家庭的一部分,我们可以利用谐波小波的基本性质以及更直接的物理解释。

让我们以尺度函数,sinc函数(图1)和扩张和翻译实例的参数分别给一个压缩(膨胀)的基本功能(2。2)和一个翻译设在。翻译实例的家庭是带状频率一组标准正交基函数(5)(香农定理)。出于这个原因,他们可以用来定义香农多分辨率分析如下。扩展函数并不代表一个基础,在函数空间,因此我们需要定义一个家庭的功能(基于扩展)的基础;他们被称为小波函数和相应的分析的多分辨率分析。

让函数的傅里叶变换和它的逆矩阵变换。的傅里叶变换(2。2)给了我们与类似地扩张和翻译实例的尺度函数从给定的扩展功能,可以定义相应的小波函数(1,15根据以下)。

定理2.1。在傅里叶域中,香农小波

证明。它可以很容易地证明了尺度函数(2。6)满足条件特征的多分辨率分析(1)与因此相应的小波函数可以定义为(1,15]
与我们有类似地,我们获得因此,(2。9)。

dilated-translated全家的实例,它是香农小波函数可以获得在现实域(2。9由傅里叶反变换(图)1)和空间转移和压缩我们全家的扩张和翻译实例:

通过总结(2。3)和(2.17),香农小波理论是基于以下功能(11]:在空间域和收集(2。8)和(2.15),我们已经在频域

内积定义为据帕平等,也可以表示为那里的酒吧代表共轭复数。

关于内积(2.20),我们可以证明以下定理[11]。

定理2.2。香农小波正交函数,与Kroenecker符号。

证明。这是零。为它是根据(2。7),变量的变化为(和),它是非常的为,它是和类似地。

此外,我们有如下定理11]。

定理2.3。香农的翻译实例扩展功能在水平,是正交的被。

证明。它是当,我们有自,,也就是说,当,假设,我们有也就是说,
当,最后一个表达式总是不同于零,事实上(因为)也就是说,和只有在。因此,为了有正交性必须,所以特别是,当,

由于这个证明我们有标量的乘积(Shannon)相应尺度函数与小波的特征是以下(11]。

定理2.4。香农的翻译实例扩展功能在水平,是香农正交小波被。

证明。它是这是零(因为,根据(2。7),紧凑的特征函数不相交)的支持。
相反,它可以很容易地看到,,它是这个产品,在一般情况下,不会消失。

3所示。香农小波函数的重建

让是一个函数,这样任何值的参数,它是和Paley-Wiener空间,带宽有限的空间功能,为表示对基础(2.18),这是。根据采样定理(见,例如,(5)以下。

定理3.1 (Shannon)。如果和该系列一致收敛于,

证明。为了计算系数的值,我们必须评估系列对应的整数:考虑到(2.39)。
融合之前的假设。特别是,带宽有限频率的重要性可以很容易地看到通过应用傅里叶变换(3所示。3):这换句话说,如果函数是带限(即。,compact support in the frequency domain), it can be completely reconstructed by a discrete Fourier series. The Fourier coefficients are the values of the function采样的整数。

的泛化Paley-Wiener空间,为了推广香农定理,我们定义空间的函数的积分存在,是有限的。根据(2.20)和(2.21),是在傅里叶域中让我们证明如下。

定理3.2(香农泛化)。如果和该系列收敛于,和由(3所示。8)和(3所示。9)。特别是,当它是

证明。表示(3.10)遵循缩放和香农的正交小波(定理2。2,2。3,2。4)。系数的存在,是有限的,是由(3所示。8)。级数的收敛性是小波原理的结果。
应该注意到它有限带宽的频率信号,也就是说,对一个信号的频率属于第一个乐队香农,这个定理可以减少。但更一般来说,要处理的信号频率范围在不同的乐队,即使实际上带状,因为它是。在这种情况下,我们有一些重要的贡献级数系数的乐队,从:在频域(3.10)给也就是说,有遵循由傅里叶变换系数在不同频带的成分。当,尽管,我们获得香农采样定理的一个特例。

当然,如果我们限制扩张的因素截断系列,我们有近似的,由

通过重新排列的许多条款系列对不同尺度,对于一个固定的我们有

在哪里表示函数的组件在规模(即。,in the band),结果从多波段多尺度近似或更好的重建。

3.1。例子

让我们先计算偶函数的近似小波表示

底部长度(即。,the main part) of the function是集中在间隔。与较低的规模我们可以有一个好的近似(数字2,4)函数的即使是一个小数目的翻译。事实上,随着近似误差的绝对值小于(见图4)。翻译更多的参数改进的近似函数的“尾巴”,通过增加翻译参数的数量“尾巴”的振动下降。我们可以看到的近似误差降低。此外,近似误差趋于零。

的多尺度表示这在高尺度有更高的频率振荡(见图2)。它应该也注意到低规模近似代表振幅的主要内容。换句话说,给了一个很好的表征(3.18在原点),而更高的振动,使一个好的近似(反面的3.18)。因此,如果我们感兴趣的进化起源的高峰,我们可以限制低尺度的分析。如果我们感兴趣的是进化的反面或高频率,我们必须考虑尺度(在我们的例子中就越高)。

如果我们比较香农与傅里叶积分小波重建方法,在傅里叶方法如下。

(1)是不可能有一系列扩张除了周期函数。(2)重点是不可能的,因为它是完成了香农系列,每个基函数的贡献。换句话说,上的投影在每个学期傅里叶基础并不明显。之前,是不可能分解组件在不同尺度的概要文件。(3)积分变换执行的整个实轴积分函数实质上是零(结束),除了“小”区间。

第二个例子,让我们考虑奇函数的近似小波表示

底部长度(即。,the main part) of the function是集中在间隔。也在这种情况下,局部的功能,较低的规模我们可以有一个好的近似(数字3,4)函数的即使是一个小数目的翻译。然而,在这种情况下,可以减少误差(原点)通过添加一些翻译实例,但它仍然是近距离原点的距离恒定。事实上,随着近似误差的绝对值小于(在原点,图4)。翻译更多的参数改进的近似函数的“尾巴”,通过增加翻译参数的数量“尾巴”上的振动降低,成为常数(约)。但是我们可以看到起源的近似误差降低。

4所示。重建的衍生品

让,让是一个可微函数与足够高。重建一个函数由(3.10)也使我们能够计算其衍生品的小波分解因此,根据(3.10)的衍生品已知当衍生品吗给出了。

通过直接计算,我们可以很容易地评估尺度函数的第一和第二衍生品分别。然而,在这种方式,高阶导数无法轻易表达。事实上,根据(3.10),我们需要计算小波分解的衍生品:与是连接系数(6- - - - - -9,11)(或refinable积分)。

他们的计算可以很容易地在傅里叶域中进行,由于平等(2.21)。事实上,在傅里叶域中订单衍生品(扩展)的小波函数根据(2.19),

考虑到(2.21),我们可以很容易地计算出连接在频域系数的衍生品(4.8)。

的显式计算,我们需要一些初步定理(参见[证据的草图11])。

定理4.1。对于给定,,它是在哪里

证明。当,(4.10)非常。当,由部分集成的迭代公式从显式计算的迭代条款和重新安排的许多条款,(4.10)持有。

下面的推论。从定理4.1后,替换,我们有以下推论。

推论4.2。对于给定,,它是

特别是,考虑到这一点我们有下面的推论。

推论4.3。对于给定,和,它是

更一般来说,下面的推论。

推论4.4。对于给定,和它是

特殊情况下,下面的推论。

推论4.5。对于给定,和它是

推论4.6。对于给定,它是

因此我们可以证明以下定理成立。

定理4.7。任何顺序连接系数(4.5)₁扩展的功能是
或者,不久,

证明。从(4.9),(4.8),(4.7),(2.21),(2.19),这是也就是说,最后一个积分,根据(4.15)(),使(4.20)。

因此我们在低阶导数

类似地,连接系数(4.5)₂,我们有下面的定理。

定理4.8。任何顺序连接系数(4.5)₂香农小波(2.18)₂是分别为,。

证明。从(4.9),(4.8),(4.7),(2.21),(2.19),这是从那里,根据定义(2。7),这是和()考虑到(4.16),(4.24)是证明。

定理4.9。的连接系数递归矩阵在最低规模水平:

此外,它是

现在让我们证明混合连接系数(4.6)为零。它足以显示下面的定理。

定理4.10。混合系数(4.6)₁香农的小波

证明。从(4.9),(4.8),(4.7),(2.21),(2.19),这是从那里,因为定理的证明。

因此,我们的订单的衍生品香农尺度和小波换句话说,下面的定理。

定理4.11。香农尺度函数的导数是香农的导数小波正交

证明。这是直接从(4.33)和香农的正交函数根据定理2。4。

4.1。一线和二阶关联系数

第一和第二衍生品香农小波,我们(见[11])(4.24)分别。

一个缺点(4.33)是,衍生品表示为无限的总和。然而,由于小波主要是局部范围在短时间间隔,可以得到一个非常好的近似系列的一些术语。的主要优势(4.33),表达的衍生品的小波基。

类似地,我们获得第一,尺度函数的二阶导数(4.20)衍生品是真实值的系数可以通过直接计算如果我们考虑的二元离散化设在这样也就是说,有结果

因此,(4.33在二元点)就变成了例如,(见上面的表格),

类似地,从那里,,它是

外的二元点,近似很好即使低价值的参数。例如,我们有(图5)近似

5。结论

本文分析了香农理论的小波显示这些功能的主要属性大幅本地化的频率。重建公式函数的功能已不仅也为其衍生品。香农的导数小波已经被一个有限的计算公式(尺度和小波)的任何顺序的导数。事实上,为了实现这一任务,这足以计算关联系数,即小波系数的基础上衍生品。这些系数得到作为一个有限级数(任何顺序衍生品)。在Latto的方法6,8,9),相反,这些系数得到只有(Daubechies小波)通过使用包含公理,但第一二阶近似形式,只有衍生品。衍生品的知识基础使我们能够近似函数及其衍生物,它是一个有利的工具的投影差运营商解决方案的数值计算部分和常微分方程(2,3,10,13]。