SQP优化的6自由度并联机器人系统3 x3万国邮联奇点自由和最大化的工作区

文摘

运动学参数的确定对并联机器人系统(PRS)是一个重要和关键阶段最大化的工作空间,同时避免奇异构型。Stewart平台(SP)机制是一种众所周知的PRS,它是用来证明拟议的技术。相关文献,GCI(全球条件指数)和LCI(本地条件指数)是常用的性能指标,给出一个测量机制的灵活性。在这个工作中,序列二次规划(SQP)方法用于优化运动参数的6自由度3 x3万国邮联SP以达到最大工作空间满足小条件数据。移动的半径和基础平台和腿用于平台的长度被选为运动参数优化的多目标优化问题。优化执行在不同的阶段,优化运动参数的数量在每个水平增加。总之,优化选择的运动参数同时利用PRS SQP技术提供了最好的结果。

1。介绍

1947年,高夫(1)建立一种机制的基本原理与闭环运动结构,允许定位和方向的移动平台测试轮胎磨损。1965年,斯图尔特高夫的机制提供了一个非常相似的结构被用作飞机模拟器。具有讽刺意味的是,高夫平台通常被称为Stewart平台(1]。近年来,有很多研究PRS的原则是起源于高夫。系列机器人系统相比有太多的优势,如高负荷承载能力和精确的定位能力。PRS有移动平台通过并行连接到一个固定的基地腿代替串行链路。

除了他们的优势与串行机械手相比,PRS工作空间小,需要一个更复杂的机械设计。控制并联机构的运动是一项具有挑战性的任务,因为其复杂的运动学动力学通过其空间结构和变量。为了克服这个问题,许多研究人员试图找到替代平行结构像冗余PRS2- - - - - -4]。近年来,许多研究了不同并联机器人结构的各种应用程序。

PRS的性能主要受其几何参数的影响。确定几何参数称为几何合成。运动学性能的最重要的措施之一是叫做灵巧的描述机制的能力力在任意方向移动并应用尽可能容易。然而,最合适的索引定义精度和刚度性能的条件,而LCI(局部条件指数)和GCI(全球条件指数)有关。LCI被定义为最大和最小奇异值的比值的雅可比矩阵PRS [5]。它介于1和变化无穷(6,7]。GCI指数衡量的灵巧和LCI的平均值计算整个工作区。

灵活性和工作空间并联机构优化设计的最重要的标准。有很多调查研究几何参数对灵敏度的影响,工作空间和奇异性。有些是关于最大化状态良好的工作区8使用不同的优化方法。蒙特卡罗方法(8,9)、多目标遗传算法(10- - - - - -12),受控随机搜索(CRS) [13,14),分析算法(15],neurogenetic算法大多是那些二手的(16]。g . Abbasnejad提供了一个实用的算法找到奇点自由圆柱并联机构的工作空间使用粒子群优化算法(PSO) [17,18]。在文献中,有其他性能指标如GSI(全球刚度指数)和VTF(速度转换因子)19]。因此,一些研究人员优化PRS multiperformance索引称为MOO(多目标优化)20.- - - - - -22]。这些优化方法用于调查的最佳几何参数结构的并联机构。另一方面一些研究者的收敛性能优化方法相比(23]。

在这项研究中,我们使用SQP方法是基于拉格朗日(24]运动学参数的优化达到最大PRS的工作区。本文组织如下。在下一节中,PRS的机制及其几何参数和雅可比矩阵公式3 x3 SP简要描述。节3,我们的性能指标和工作空间的假设。部分4说明了SQP优化算法。在上一节中,我们讨论了SQP优化过程的结果。

2。PRS的机制

PRS是由平行连接腿之间移动和基础平台。有两个主要的PRS的分类标准是基于(a)联合类型连接的腿移动和基础平台和(b)腿的数量。数组类型的关节是普遍的,移动关节,分别和普遍。所以它被称为万国邮联。具体来说,线性驱动的六条腿的连接到一个手机和一个基础平台导致硬件的完整空间运动转化和使用硬件旋转运动。这个PRS叫斯图尔特平台(20.,25,26和分类的数量腿上下平台上的连接。3 x3 SP包括3连接上下的腿上。每两个六条腿分享cocentered关节两侧的腿。“图1“说明了SP的一般结构,3 x3特殊配置用于当前的研究。

一个SP 48设计参数影响其工作空间和运动行为(27]。这些参数空间的位置上、下关节(2 x18参数)和上/下腿长度(2 x6参数)。通过将连接点上一圈,这些将会减少上/下圆直径/半径通过上/下联合中心,r_p和r_b。在这个研究,优化参数这两个半径和长度的腿, 。

2.1。PRS的几何参数

腿的长度( ),这变化根据所需的移动平台的位置和姿态,可以使用逆运动学方程,计算x(x, y, z,α,β,γ)。在这种情况下,有六个未知数, 。“图1“帮助我们理解SP。移动和基地的几何坐标框架,和 ,定义。他们每个人都与移动平台和基础。帧的起源位于一个圆的中心通过关节的中心和移动平台的两腿之间。的轴是朝上,轴角的平分线( )。帧的起源位于一个圆的中心穿过中心基地之间的关节和腿。的轴是朝上,轴角的平分线 。

这两个坐标框架让我们确定的位置链接连接到基地(B₁…B₆在(P)和移动平台₁。。P₆)。

角( , )表示为 。角( , ),( , ),和( , )都等于120°。同样,角( , )用 。角( , ),( , ),和( , )同时,等于120°。

现在,腿的长度( )可以计算出 盎格鲁 和 被表示为和 ,分别。因此,我们有 “情商。”(5)代表平移的位置关于 , “情商。”(6)是代表了移动坐标系的旋转对基础框架 。 “情商。”(7)描述关节位置对移动平台 。 “情商。”(8)描述关节位置对基地的平台 。

, , , , , 在哪里的旋转关于关于 。 的旋转关于关于 。 的旋转关于关于 。

因此, 腿的长度可以计算如下: 使用(4),我们得到了腿的长度

2.2。雅可比矩阵

雅可比矩阵的机器人系统代表了在关节空间速度之间的线性变换, ,和世界的空间, ,机器人的机械手。雅可比矩阵提供了关节空间的速度比末端执行器的空间(26]。

并联机械手,腿的长度( )作为一个向量给出 末端执行器的位置 所以,末端执行器的位置之间的关系方程(x)和腿的长度( )可以表示成 通过区分(15),我们得到 因此雅可比矩阵的机制,用于计算PRS的性能指标,在本研究利用吗

3所示。性能指标和工作空间

3.1。灵巧,GCI LCI

灵巧的能力的指标是一个并联机械手的关节如何变换率的移动平台,反之亦然。这取决于位置和并联机械手的结构,可以由使用其雅可比矩阵的条件数 电导率(J)是雅可比矩阵的条件数的定义是 代表规范相关的向量或矩阵。

虽然计算雅可比矩阵的条件数,在文献中使用不同类型的规范,和最常用的是弗罗贝尼乌斯和光谱规范(1]。这些规范的区别是它们的计算方法。如果弗罗贝尼乌斯标准被认为是,那么我们可以写 在这种情况下,弗罗贝尼乌斯规范被定义为每个元素的平方和的提取根源的雅可比矩阵。GCI(全球条件指数)被定义为在工作空间的平均电导率(J) = LCI(局部条件指数)。

如果介绍了光谱标准,可以被描述为灵巧索引 在哪里和代表了雅可比矩阵的最大和最小奇异值(J),分别。电导率的值(J),直接关系到雅可比矩阵的奇异值矩阵,一到正无穷。所有奇异值将是相同的雅可比矩阵,机械手是各向同性当电导率(J) = 1。

否则,当电导率(J)可能是正无穷,雅可比矩阵是奇异。所以,当条件被认为是数量,条件数的值应该是最低到一个更好的灵活性。

条件数作为指标用于测量的准确性/灵巧机器人系统,并具有信息是否接近奇点的位置。然而,它并不完全可以定义一个数学接近奇点PRS的自由度平移和旋转运动。这是因为使用条件只是一个索引,但作为一个数值,它有一个优点是用于描述整个PRS的运动行为。

由于复杂的条件数的定义,我们不能计算它的分析作为位置参数的函数形式,除了很简单的机器人。然而,鲁棒线性代数工具可以计算数值对于一个给定的空间位置。并联机构具有平移和转动自由度对条件数有一个主要缺点。因为单位的平移运动不同于旋转运动,雅可比矩阵不是同质(28]。因此,存在一些关于雅可比矩阵的标准化研究部分旋转,平移。他们中的一些定义自己的归一化方法和其中一些分裂程度的雅可比矩阵的矩阵(29日- - - - - -32]。

3.2。均匀性

一致性是另一个全球PRS的性能指标。它是一个统一的指标灵活工作空间。计算均匀性指数方程所示(25)。均匀性指数变化1到无穷大。索引值的最好的制服灵巧工作区= 1。

3.3。工作空间

连环机器人系统的可能的机械配置数量小于并联机器人系统的配置。因此,比较串行的工作空间机器人系统是适用的。例如,人们很容易评估,存款准备金率比笛卡尔机器人系统有更大的工作空间容量配置,因为它的角空间能力。然而,由于大量的机械配置的并联机器人系统的可能性,没有这样的比较很容易被执行(24]。

一个可以管理比较6自由度并联机器人系统缩写为SP在这项研究。这些类full-motion-capable空间机制分为3 x3, 6 x3, 6 x6基于数量的上下平台连接的点。所以,3 x3三角形基地和移动平台,而6 x3配置六角基地和三角移动平台配置。最后,6 x6六角基地和移动平台。考虑第一个、第二个和第三个配置类似的尺寸和相同的最小和最大腿长度,第三个最大的工作区,其次是第二个,然后第一个。必须指出的工作空间体积6 x6结构总是大约30%大于6的x3机械结构。同样6 x6配置体积70%大于3 x3的工作区。因此,6 x3体积大约25%大于3 x3的配置工作空间(1]。

此外,几何参数对并联机器人系统的影响远远大于系列机器人系统。例如,外部刚度在给定的工作区6 x6高夫平台可以相差700%,只有10%的平台半径的改变,(24]。

因此,为了延长3 x3的可获得的工作区SP机制,为优化和绩效评估目标工作区描述如下:(我) =变化从-0.06 + 0.06米0.04米定期(2) =变化从-0.06 + 0.06米0.04米定期(3) =变化+ 0.3 + 0.4米0.02米定期(iv) , , 从5 + 5 =改变2.5°定期

因此,总计12000空间6自由度,坐标需要满足后,优化性能。首先,根据定义的工作区,我们计算LCI在弗罗贝尼乌斯标准12000点的工作空间,然后计算快。“图2”表示为3 x3的体积工作区SP和内部空间的内部优化。我们使用不同的分辨率,“Δa”,值为每个轴的工作区如上所述。例如,Δa 0.04米为直线运动轴。

4所示。由SQP优化

优化的主要目的是增加灵活性和可用空间的平台通过改变设计参数。除了各种优化技术,我们用SQP方法的优化设计参数 , ,和 。最小和最大的目标设计参数值设置在优化过程。另一个限制是Z (LCI的工作空间点)。我们计算每个点的所有Z (LCI)预定义的工作区”图所示2。”

4.1。成本函数赋值

在这个研究中,Matlab优化工具箱(fmincon)是用于执行PRS SQP优化技术。优化过程分三个阶段完成最大的灵活性与可及工作区:(1)单变量优化:旨在优化(2)两变量优化:和 旨在优化(3)有三优化: , , 一起进行了优化

子的所有优化方法,成本函数定义如下:(我)子为单变量优化代价函数 (2)子两变量优化代价函数 (3)子有三优化代价函数 (iv)成本函数的所有情况

我们定义如上所述,因为最低成本函数g (x)值调查,发生于最低子成本函数的总和,f (x)值。这意味着最小f (x)值被发现。而搜索最小f (x)值,两个标准。其中一个是最小Z和最小的必要性第二个标准是可获得的工作区。由于Z从未变得小于1,相应的构造算法。如果目标位置在工作区中是不可到达的,大Z值分配不是计算的Z值,以消除不可到达的点进行评估。因此,不必要的计算发现最低f (x),避免相应的位置。寻找最低的两个变量,和 ,使子函数f (x)最低成本,我们把这些变量定义子成本函数吗。因此,同时最小化代价函数,我们优化变量。我们的限制Z(条件)的最大值1000作为灵巧的指示器。我们有限的腿长度和检查如果工作区中的坐标是否可及。寻找最低的三个变量 , ,和 ,使子函数f (x)成本最低,我们用吗 , 平均的和(z 1)定义子成本函数 。我们最大优化参数可灵活工作空间。

4.2。一个,两个,和有三优化算法

图3表示为一个变量序列的优化过程中,我们必须解决其他变量和定义最小和最大价值约束他们。其次,我们限制了腿的长度检查如果工作区中的点是可获得的。后来,我们定义子成本函数根据一个变量或为两个变量,并创建一个极限值 。之后,我们检查工作区点是否可以,我们消除不可到达的。然后,成本函数定义和条件号码吗为每个工作空间点计算和一个最佳值调查使之和吗(或 )最小值。类似的算法对两变量优化执行差异,和 。为两个变量优化时,图中定义的第一步”3“跳过这一步,我们定义min-max值作为第二阶段,我们使用子成本函数两个变量来代替在第五步。我们有三优化约束所有变量定义最小和最大价值。子成本函数,我们使用。

5。优化结果

3 x3 SP机制分析了移动平台直径不变的底座直径利用SQP技术。移动平台/基础平台直径优化更好地执行工作空间范围和灵活性。条件数变化对不同移动平台直径在选定范围,最低条件数的基础/移动平台直径变化,和可及点的数量不同的基地/移动平台直径组合进行了讨论。

在图4,横轴是指扫描值,纵轴是指最低条件,我们得到计算雅可比矩阵不化的。我们得到低的值而正在增加。我们正在搜索最优值最有效工作空间体积可分条件较低的数字。因此,高移动平台直径是指计算最小条件的数字。

在图5,横轴是指扫描值。纵轴是指扫描值和右纵轴是指条件数据的映射,我们计算弗罗贝尼乌斯标准预定义的可获得的工作区。见图5,最低条件数字值高的发生 和 这意味着灵巧好转时增加吗。然而,很明显的阴谋存在可比性降低移动平台的直径对底座直径获得最小条件的数字。此外,率的降低是越来越小,底座直径比移动平台直径高很多。的水平趋势平台直径直径明显更高的基地。

在图6,横轴是指扫描值。垂直轴指的是不同的值,正确的纵轴是指可及点的映射在工作区中已条件上限1000数量有限。显示在图6,而值降低,值增加,数量的可及点提高。Z的上界值等于1000。因此可及点的数量很高,低移动平台直径和高底直径。

在优化过程中移动平台的直径,不同的初始值使用各种约束,如表所示1。而= 0.175 [m],最低限度保持0.050 [m]和腿之间扫描长度0.300 [m], 0.450 [m]。因此,最优值计算是0.075 [m]。当最低限制0.080 [m],找到最优值作为吗= 0.088 [m]。正如上面提到的,不同的初始值用于优化。因此,当约束值变化,最优值的变化。这是因为在不同的空间区域,我们有不同的当地的最低标准。

如果优化过程如图8分析彻底,而最低限制的是0.050和0.070 [m],我们选择优化扫描范围在0.050和0.180之间[m]。然后,我们得到的最优值0.075 [m]。当最小约束值上升到0.080 [m],第一个局部最小值的0.075 [m]。优化的价值变化从0.075到0.088 ([m] [m]。九个不同的优化组合,可以理解我们有两个当地的最低标准0.075 [m], 0.088 [m]。组合,包括初始值0.090 [m],更将导致一个优化的价值起点的扫描范围,0.090 [m], 0.100 [m], 0.110 [m],等。

因此,我们发现两个局部最小值0.088 (0.075 [m], [m])有最大可及点上界条件有限,Z, 1000。两个变量的优化结果和和他们的成本函数值和不同初始值的优化过程如表所示2。例如,尽管的初始值等于0.125 [m]和一个初始值的等于0.070 [m],成本函数值等于4.8 xe7,最佳值的等于0.074 [m],最佳值的等于0.12 [m]。直径的最优值和取决于约束。

生成表时2,约束r_b:0.125 [m] <r_b< 0.175 [m]和约束 ;0.070 [m] [m]。低高的移动平台直径基础直径似乎结果相对小成本函数值,这意味着更好的灵活性。在图7,最小代价函数值是4.8 x 10⁷以粗体显示的区域。在那些领域,与优化代价函数值最小和值和兼容表所示2。而优化有最小值,成本函数值最小。正如前面所提到的,我们正在寻找最小代价函数值更好的灵活性。在表2,没有一个最佳的解决方案的最小代价函数值。例如, , 0.129 = 0.074 [m], [m]的最小代价函数值(4.8 xe7)也 , 0.125 = 0.077 [m], [m]的最小代价函数值(4.8 xe7)。

的准确性,我们解决方案区域表中增加分辨率3。为目的的解释结果,我们使用成本函数值。然而,条件数有大量光谱在整个工作区。因此,比较不同设计参数的平均条件的数字有不同的约束是没有意义的。结果,计算成本函数(条件数字之和乘以r_b和r_p),考虑到结果值是更有效率而寻找最好的优化设计参数。

最优值在表3。最小代价函数值是3.2 xe7。解集以最小代价函数值出现, 0.127 = 0.072 [m], [m]; , 0.127 = 0.071 [m], [m]; , 0.128 = 0.071 [m], [m]。

三个变量的优化结果 , , ,和他们的成本函数值与不同初始值的优化,如表所示4和6。例如,尽管的初始值等于0.125 [m],初始值的等于0.070 [m],初始值的等于0.300 [m],成本函数值等于4.8 xe7,最佳值的等于0.076 [m],等于0.125 [m],等于0.300 [m]。最优的参数值也取决于约束。生成表时4,我们作为表的约束5。

在表4,不仅有一个最佳解决方案的最小代价函数值。例如, , , 0.125 = 0.076 [m], [m], 0.300 [m]最小代价函数值(4.8 xe7)也 , , 0.125 = 0.077 [m], [m], 0.388 [m]最低成本函数(4.8 xe7)的价值。的准确性,我们放大区域的解决方案表5。所以,我们生成的表6。如表所示6、最小代价函数值是3.2 xe7找到。根据表6,最优参数, , 0.127 = 0.071 [m], [m], 0.350 [m] , , 0.127 = 0.072 [m], [m], 0.374 [m]。优化结果变化根据优化参数初始值和收敛公差。因此,我们控制我们的优化结果与数学计算和比较这些值与计算值。

带三个参数的优化,我们使用替补成本函数和结果表4和6使用优化算法如图8。

对于表7从表中,我们使用优化值3,我们生成的表7使用逆运动学方程。

表7礼物l_马克斯,l_最小值,均匀性指数,和可及点对于移动和基础平台的最佳半径值。根据这些计算值使用优化参数表7GCI(全球条件指数)和LCI(局部条件指数)值计算为每个解决方案。图9代表LCI首先优化变量的值。如图9在工作区中,有近400的点。LCI的值可以分不同近8 - 11所示。LCI值被定义为GCI的平均值。

当等于0.127 [m],等于0.071 [m],在0.300和0.450之间[m], LCI值如图9GCI等于9.62。

当等于0.127 [m],等于0.072 [m],在0.300和0.450之间[m], LCI值如图10GCI等于9.49。

当等于0.128 [m],等于0.071 [m],在0.300和0.450之间[m], LCI值如图11GCI等于9.57。

如数据所示9,10,11LCI和GCI值非常相似,因为两个参数和只有0.001 [m]不同。LCI值分布图形是不同的,但这并不影响GCI明显。如表所示7我们可以改变约束并达到所有的工作区。你可以重新定义PRS的腿的长度。如果我们比较表6和7计算解决方案是不同的,但非常相似,因为初始值影响优化过程和收敛公差的优化。所有LCI数据9,10,11从同质雅可比矩阵计算,这些计算值除以同质化的雅可比矩阵的维数。

在细节,第一个解决方案是最好的可及点的数量。第二个是根据GCI最好的解决方案。第三个是最好的均匀性。

6。结论

确定几何参数的值是非常重要的PRS设计的效率。在文献中,有许多研究PRS的运动学的优化。在这些作品中,各种优化方法已被使用。在这项研究中,我们使用SQP优化方法优化3 x3 SP机制为预定义的工作区和检查的效率优化的三个参数是移动和基础平台直径与长度的腿。结果表明,多参数的优化是不容易制定有关成本函数和结果必须由计算灵敏度指标和评估可及点的数量。首先,我们进行了优化然后,我们优化和同时进行。最后, , ,和同时进行了优化。在优化、公差、过程步骤,并应用/定义代价函数影响收敛效率。结果表明,初始值为每个参数的优化确定的公差优化的收敛。进一步的研究,各种优化方法可以在越来越多的运动参数进行优化搜索不同的成本函数。

符号

:	腿的长度
:	Dir。沿着x轴的移动平台
:	Dir。沿着轴的移动平台
:	Dir。沿着z轴的移动平台
:	螺旋角的移动平台
:	横摇角的移动平台
:	偏航角的移动平台
:	雅可比矩阵的条件数
	雅可比矩阵
:	重心移动平台
:	基础平台的重心
:	夹角
:	夹角
:	一个圆半径通过中心基础平台和腿之间的关节
:	一个圆半径通过中心移动平台之间的关节和腿
:	角之间的连接分腿的基础平台
:	角分腿的移动平台之间的连接
	旋转变换矩阵。

数据可用性

Matlab代码数据用于支持本研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

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