文摘

本文提供了一个未知参数通过扩展加权最小二乘估计方法和pivot-based方法龚珀兹分布形状和尺度参数下进步二型审查计划,导致一个一致的估计量和尺度参数的无偏估计量。此外,一种处理多余参数pivot-based中提供了方法。为评价和比较,进行蒙特卡罗模拟,真实的数据进行了分析。

1。介绍

概率密度函数(PDF)和累积分布函数(CDF)的随机变量分别与龚珀兹分布,给出的 在哪里形状参数和吗尺度参数。这个分布被首次引入龚珀兹(1),通常用来模拟人类的死亡率。分布,一些研究已经完成基于关键量的推理方法来估计参数的置信区间(CIs)感兴趣的更有效率。陈(2)提供准确的CIs下二型审查计划。吴et al。3)提供准确的CIs进步下二型审查计划。该分布的各种估算方法的研究也已开展的一些研究人员。戴伊et al。4)提出了不同的方法来估计PDF和CDF和比较基于蒙特卡罗模拟的估计方法。戴伊et al。5)提供了各种数学和统计特性和比较不同频率论者和贝叶斯估计方法的观点。Moala和戴伊(6)提供在客观和主观先验贝叶斯分析方法包括杰佛利之前,最大数据信息之前,Singpurwalla之前,之前引发。

除了这个分布,推断基于关键量已经研究了许多发行版,因为pivotal-based方法提供了确切的CIs即使对小样本,以及更有效的估计比最大似然估计(ml)的偏见。吴(7]研究bathtub-shaped寿命分布下进步二型审查计划。王等人。8]提供了一个基于进步二型广义pivot-based方法从反向风险审查数据分布。在同样的审查计划,搜索引擎优化和康9,10]提供的封闭形式的确切CIs的尺度参数为每个有或没有多余参数如半物流分布的位置参数。

最近,一个新的基于加权回归估计方法框架下提出了一些审查计划。陆和道11]基于回归框架的方法适用于帕累托分布没有审查。搜索引擎优化等。12陆)扩展的想法和道11]进步二型审查计划估计帕累托分布的未知参数。搜索引擎优化等。13)提供的封闭形式两个参数瑞利分布的未知参数使用相同的方法在进步二型审查计划。

本文使用加权回归框架点估计和pivot-based方法基于渐进二型从龚帕兹审查数据分布与PDF (1)。本文的其余部分的结构如下。部分2提供相对应的加权回归框架和pivot-based估计方法的进步从龚帕兹ⅱ型审查数据分布。部分3评估和验证该方法通过蒙特卡洛模拟和分析实际数据为目的的说明。部分4总结了纸。

2。估计

本节简要描述进步二型审查方案ⅱ型审查方案的推广,这是一个最受欢迎的审查计划和提供不同的方法估计未知参数的龚帕兹分布与PDF (1)。为了简便起见,本文中使用以下符号:实验(1):标准的指数分布 :卡方分布与自由度 :逆伽马分布形状参数α和尺度参数β :区间上的均匀分布(0,1)

由Balakrishnan和Aggarwala [14),进步二型审查方案描述如下。让是失败和的数量 表示审查方案,删除的号码吗审查时间。此外,假设故障的数量和审查计划 提前是固定的。在第一次失败的发生,单位是随机撤回(或审查)幸存的单位。随后,第二个观察失败后,单位是随机的审查幸存的单位,以这种方式继续,直到过程失败是观察。最后,的时候th观察失败,所有剩余 从测试单位审查。正如前面提到的,这个方案包括作为一种特殊的情况下,传统的二型审查时定义的场景 。此外,场景 和 诱导完整的样例的情况。

假设 是一个逐步ⅱ型和审查方案审查样品吗从龚帕兹分布。然后,给出了相应的似然函数 在哪里

毫升的和可以发现通过最大化的对数似然函数(2)和 。以下提供的方法基于回归框架和关键量导致一致的估计量的无偏估计量对已知的 ,分别。

让

然后, 进步的ⅱ型审查次序统计来自哪里的意思是 和方差 由定理给出7.2.1 Balakrishnan和克莱默(15]。从这一事实,考虑下面的线性回归模型: 在哪里的误差项的意思是0。对已知的 ,回归模型(7)提供了一种最小二乘估计量作为

通过最小化以下数量 :

然而,在每一个点给同样重量的方法,它不是正确的差异 不满足条件的常数。作为替代,陆和道11)被认为是成反比的重量对应的方差。即点低方差将得到更高的重量和一个点更高的方差将获得一个低体重。在这里,相对应的权重被定义为进步二型审查方案 。然后,一个估计量基于加权回归框架是由

通过最小化以下数量的加权平方项 :

定理2.1。对已知的 ,加权square-least估计量是一个一致的估计量。

证明。让 然后,估计量可以写成 在这里,两个和在均值为0,因为收敛 这意味着收敛概率(16]。此外,不收敛于0 由下列不等式: 因此,分数项(13)在概率1收敛,这就完成了证明。
对未知的 ,其估计量可以通过最小化的数量(11), 为和表示 。
提供的关键量吴et al。3), ,可用于推导出另一个估计量的对已知的 。根据引理1通过Seo和康[9), 在概率收敛于一个 因为它有 ,的估计量可以获得的 从这个方程 。此外,是一个无偏估计量,因为它吗 。
注意,估计量取决于参数的情况下 。处理它,一个关键的数量根据王等人的作品。8)提供了以下引理。

引理2.2。一个量 有 。

证明。由王et al。8基于数量的),一个量(3)是由 它导致关键的数量 这是订单的统计数据 。然后,从这一事实有 ,以下数量: 有 。这就完成了证明。
由引理1的Seo工作和康(9)和引理2。2, 在概率收敛于一个 ,导致一个方程吗 有一个独特的解决方案因为日志项的参数(16)可以写成 和这个词 在(19)是一个增加的功能(职责。减少) (职责。 ) 。唯一的解决方案是表示 。

3所示。应用程序

本节提供评估和比较的评估方法2通过蒙特卡罗模拟和实际数据分析。

3.1。模拟研究

为评价和比较,均方误差(为了)和偏见所提供的估计被发表在表1。进步二型审查从龚帕兹分布生成的样本 和 在接下来的场景我计划: 方案二: 方案三: 方案四: 通过使用的算法Balakrishnan和Aggarwala [14]。所有基于生成的1000家中小企业和偏差计算进步二型审查数据集。

从表1可以看出,加权最小二乘估计量更高效的大中型企业相比的偏见,但pivot-based估计量显示了最佳性能的MSE和偏见。即使对于 ,pivot-based的估计量一般大中型企业相比,显示了更好的结果和加权最小二乘估计量 。最后,家中小企业的估计减少预期与越来越多的失败为一个固定的样本大小。

3.2。真实的数据

陈(2和李17]分析了一组真实的数据表示患肿瘤时间30天与不饱和饮食喂养的老鼠。出于演示目的,累进二型审查从患肿瘤生成的数据时间数据在每个数据点除以100。审查计划和相应的审查数据展示在表2。拟合优度检验分析之前,首先进行基于第一时刻。为了避免计算复杂,遵循实证采用一阶矩: 在哪里 边际分布的样本吗 。第一个时刻(3.1)是评价一节中提供的估计2。图1报告结果通过box-scatter情节和相关系数(r)生成的进步二型审查数据和相应的经验第一时刻,这表明假设数据审查患肿瘤次龚珀兹分布是合理的估计。的估计结果和报道在表3,这表明,加权最小二乘和pivot-based估计值相似的ml下考虑方案。

4所示。结论

本文提供的方法基于加权回归框架和关键量来估计未知参数龚珀兹分布与PDF (1)进步二型审查计划。拟议的方法比较简洁大方感知与现有方法相比,如最大似然方法。此外,它是证明了pivot-based估计优于ml和加权最小二乘估计量的均方误差和偏差。尽管拟合优度检验的结果没有显著差异,在考虑仿真结果时,强烈建议使用基于关键量的估算方法的情况下进步二型审查龚珀兹分布的数据。

数据可用性

审查数据用于支持本研究的结果包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作是由韩国国家研究基金会(NRF)授予由韩国政府资助(教育部)(没有。2019 r1i1a3a01062838)。