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Kamal Barghout, ”在概率Collatz猜想的收敛性的证明”,概率论与数理统计》杂志上, 卷。2019年, 文章的ID6814378, 11 页面, 2019年。 https://doi.org/10.1155/2019/6814378
在概率Collatz猜想的收敛性的证明
文摘
新方法对概率收敛的证明Collatz猜想是通过识别描述序列的相关性甚至自然数由分歧遵循复发模式的形式 ,在哪里代表部门2不止一次。序列提出了一种概率50:50的部门由2人不止一次与部门2一次甚至是自然数。连续的序列也给同样的50:50概率Collatz甚至元素当统计部门由2人不止一次与部门2,3:1的比例。考虑Collatz函数产生随机数和足够数量的迭代,这个概率分布产生数量降序排列导致的收敛Collatz函数1,假设唯一函数的周期是1-4-2-1。
1。介绍
Collatz猜想担忧自然数作为( )积极的偶数。它是定义的函数 它只是要求你保持任何积极的偶数反复除以2,直到它变成一个奇数,然后由三倍,甚至把它转换成整数加1,然后重复这个过程。这个猜想已被广泛研究[1,2]。它预测,反复出现的过程总是形成一个序列,沉降到自然数循环在琐碎的循环1-4-2-1。猜想是自然数,它只是问道,在任何猜想的完整过程,为什么总是这样,在统计上足够数量的迭代,减少由部门2超过增加的转换从奇怪均匀度。从一开始注意到这里,奇怪的正整数,要么一个迭代数量增加时,连数除以2只有一次一开始获得一个奇数或减少数量时,结果是数除以2不止一次。因此,我们在这里寻求量化减少和增加的概率开始后每个迭代和概括,在足够数量的迭代检查函数的收敛。据称这里函数数量开始减少,直到达到一个周期,因为统计序列的连续偶数Collatz函数的元素的自然数(验证通过扣除1从每一个正整数,然后由3)检查可分性复发性的模式 除2不止一次相比,除2次概率50:50的比例约为3:1,是除2不止一次。
似乎Collatz猜想函数产生随机数并在本地生成一个随机游走过程但全局收敛于1。因此,证明猜想的收敛概率就足以表明,全球分歧甚至Collatz元素的复发2不止一次到达一个奇数有复发的概率一样,部门2,表示这里复发频率(RF)和平均比例约为3:1。对各自的分歧总是会求和的利润抵消了增加复发和由递归转换过程的奇怪Collatz偶数的三倍数量和增加1。这是很容易的,如果我们认识到,如果积极的整数被增加2排序,如 ,除2 /积极的偶数遵循一系列顺序,描述如下:如果任何序列的元素产生一个奇数当除以2,以下序列中的元素必须产生一个奇数,除2不止一次。这个隐藏的规律产生的一半对一半的概率射频除2 /积极的偶数,似乎除2的随机分布全球的过程,使部门2复发的事件在整个正偶数进步根据序列 ,在哪里是部门的数量2的偶数不止一次产生一个奇数。我们证明Collatz-even数字也遵循相同的50:50导致后裔收敛序列的概率分布函数的一个循环。Collatz提出证明的猜想这是完整的如果它只处理周期大约4和2,因为减少的序列组成全球Collatz过程完美的相关概率事件定义的序列 。,甚至在函数的元素。这个概率相关性不是启发式的派生与著名的启发式函数的参数中发现许多引用(3- - - - - -5)即函数平均分裂2次时间和部门的2两次时间和部门2三次的时间等,并产生减少前每次迭代的平均数量。在本文中声称的功能 产生奇怪的开始增加数量的50%,的时间而不是奇怪的开始的数量减少62%的时间,平均在一个足够大的样本数量的Collatz偶数如果我们假设函数的混合属性的偶数是真正随机的过程。
2。除2正偶数序列
为比较和轻松地识别射频除2 Collatz函数序列元素,我们首先生成射频正偶数序列。
引理1。让甚至是任何积极的整数可以除以2只产生一种奇怪的正整数;然后下一个整数 必须除以2不止一次产生一个奇怪的正整数。
证明。如果 由最初的定义,然后 。添加lh表达产量 ,一个奇数。这需要 和这个词 不止一次被2整除。
引理2。让甚至是任何积极的整数可以除以2只产生一种奇怪的正整数;然后第二下一个偶数 必须除以2只产生一种奇怪的正整数。
证明。如果 由最初的定义,然后 。添加lh表达产量 ,一个偶数。这需要 和这个词 能被2整除只有一次获得一个奇数。
的前题1和2,我们生成一个积极的偶数表和相应的频率除2,直到达到一个奇宇称。从第一行开始为偶数的术语 , 与元素的频率除2,和跨越自然号码我们可以构建一个“射频表”对所有正整数标识Collatz元素与骨干线崩溃的整数1通过重复部门2的偶数 ,因为Collatz功能需要。这行做了一个对称线包含所有偶数由崩溃微不足道的周期1-4-2-1 Collatz功能,例如,4、8、16、32。然后我们构建列按升序,甚至增加2生产所有正整数与每个偶数列结束,两个小于下一个整数对称线崩溃。我们观察到表中的对称线对称连续频率的所有列沿行到正无穷,使行以同样的频率,因为命令重复频率为每一列,它允许我们估计相对RFs,关键的概率分布,使我们得出这样的结论:Collatz猜想收敛概率周期。表主要建于此订单能被2和近似计数频率的分歧甚至正整数的相对RFs收益率奇数。此前甚至Collatz连续函数的元素(斜体)也遵循相同的模式的序列表的 。我们还构建表变量生成的所有正整数在对称的行,而不是即使Collatz函数元素导致的崩溃过程Collatz功能,生产一条线2的所有权力。
从任何自然数,Collatz本地函数产生数字看似随机的方式但数量减少和全球过程所得向对称线,左边桌子上崩溃,最终达到对称线然后崩溃1和周期约1-4-2-1一个确定的过程。
频率的对称分布的分歧甚至自然数的第2表中的展品古典概率分布的对称线在自然数崩溃。只有那些数字对称线满足Collatz函数可以拓展和导致崩溃过程为1(这些数字年代偶数)通过功能连接的分支和奇怪的开始数字新支行Collatz树(参见图1),如果一个分支,这个过程将会崩溃的开始奇数;即。,on the trunk of the tree, the number 28(256)导致崩溃的过程,因为你可以从中扣除1除以3得到一个整数,但是2号9341号(512)没有,导致210(1024)在崩溃的对称线1而奇数357913941以230.在对称的行(1073741824)。这些数字在对称的行,可以向后追踪的功能 作为拓展跟踪点Collatz树的对称线是树的树干。
3所示。完美对称的积极偶数表关键频率
寻找隐藏的对称的背景中偶数RFs至关重要的分配对称的RFs 概率函数和确定他们的比率。这是因为Collatz函数的元素发生顺序表中的每一个第三个元素的正整数表示为表2。快速观察积极偶数的表显示,每一列是完全对称的一个关键的新频率下数在数轴上的关键频率在前面的列和= 自己的;即。,the column 25(32)的两倍频率的前2列4的关键射频4,关键射频大于前一个前列1和3等于 ,在哪里是5。这些关键RFs无限增加的数量的增加列的对称线 。
4所示。完美对称的表 即使是元素
的完美对称RFs甚至2部门的条款 函数允许我们确定概率的比率。我们构建表3我们构建表一样1通过建立连续元素的列按升序的对称线崩溃是由时间组成的 元素。类似于偶数列在表中1,甚至的列的元素 的表3对称分布自表中的每一行有相同的频率的所有列,每列以相同的射频序列前面的列。这个对称是重要的,因为它正整数到正无穷,它允许采取的平均值RFs元素的功能 不止一次,除以2的测量函数的完整过程的行为导致下行轨迹。分歧的比例约为3:1 2不止一次RFs而分裂的2曾经被计算从表项不同的长度和位置,在100年到3000年之间连续 元素和236元素。而射频比例约为3:1似乎一致的无穷如表所示3,这项工作需要而煞费苦心的方法来确定一个适当的收益率的分布这一比率来证明一致性无穷射频对称的表3达到全面Collatz猜想的收敛性的证明。无视的确切形状合适的分布,这里我们使用对称分布的 甚至对对称线元素估计RF 3:1的比例。
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5。概率分布的自然数的除2
甚至自然数的有序分布而言,除2的对称线代表了古典概率分布。
引理3。除2不止一次的概率和分裂2一次随机选择积极的偶数 。
证明。它遵循的有序分布除2次跟着部门由引理2不止一次1和引理2。概率是容易检查表1。
6。甚至Collatz的概率分布函数的元素
表3甚至代表了Collatz 50:50的概率函数的元素的RFs分工由2人不止一次与部门2次。
引理4。Collatz函数甚至元素排序每三个连续数字的顺序甚至非负整数除2不止一次的概率而不是部门2一次,获得一个奇数为随机选择Collatz元素 。
证明。让甚至是任何Collatz元素之后可以除以3减去1;然后下一个整数
甚至不是一个Collatz元素,因为它并不意味着限制,也不是下一个,但接下来的一个是,因为Collatz元素是限制吗
能被3整除如果变量是哪一个仅6的倍数,导致后连续第四个整数变量在桌子上的非负整数。
此外,让甚至是任何Collatz元素只有一次能被2整除;以下的一组逻辑方程描述RFs Collatz甚至所有元素的获取他们的平价。
首先,如果
由最初的定义,然后
。添加lh表达产量
,一个奇数。这需要
和这个词
是偶数,因此它能被2整除不止一次获得一个奇数。
第二,如果
由最初的定义,然后
。添加lh表达产量
,一个偶数。这需要
这一词
能被2整除只有一次获得一个奇数。
这是快速检查所示的顺序甚至自然数由减去1后面跟着部门在表3(斜体的脸1)。
请注意。引理4可以推广到任何形式的广义Collatz函数 ,在哪里是奇数和相应的序列甚至可以导出相应的非负整数序列。
7所示。概率的比率RFs Collatz甚至元素
甚至因为RFs命令完全在所有Collatz元素表3表明,任何足够大的样本是一个真正的代表来计算射频Collatz比函数的元素。
引理5。部门的总和除以2不止一次平均2.97倍(约3倍)部门的总和除以2一次Collatz甚至在前1500项元素。
证明。检查表3验证的预测。
理论1。Collatz函数过程必须产生一个降序排列的数字在适当的迭代次数与射频的比例3:1部门2的偶数 元素。
证明。考虑偶数由Collatz明显随机分布函数过程,除2的概率不止一次除2一旦Collatz元素 。因此我们可以平均Collatz流程作为开始的两个独特的操作数的一个奇怪的Collatz元素,最终在奇数。第一个操作增加了三倍,加1,然后除以2,这就增加了开始而另一个操作数增量开始三次但除以2,数量开始减少数量的大小比增加,符合Collatz猜想。看到这,让是奇数。然后应用函数 和除以2给结束号码后, 足够大的数字,这个方程给出了增加的开始的号码。如果我们把函数除以23相反,这一过程 这个方程给出了减少的的开始数,比增加,并导致连续平均数量开始减少。
的临界比生产减少的数量开始增加约为2.57:1。
Collatz函数然后生产步骤以偶数上下交错,但以降序的方式,直到最终达到提升一步是奇数的对称线和崩溃的终极奇数1假设周期1-4-2-1是唯一的循环过程。
较低的项 即使是元素,表4显示了RFs除2的选择性比不止一次相比,除2次。比率表明,计数低,低至100个元素,可能跨越一个Collatz的过程,这个过程展览减少轨迹。同时,前129的比例RFs列下224在对称线表3发现是2.92,收益率下降轨迹因为所有的比率高于临界比率。
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数量很低的一个完整的过程,这个过程可能会很快结束其生命和崩溃与增加1按对称线轨迹的对称线;3和5的例子开始奇数。
例子6(开始奇数3)。为50:50的概率部门由2人不止一次与部门2一旦比率3:1和重复模式,应用函数的迭代过程 给10。除2一旦给了5。如果我们除以2三次迭代为1.25。这是增加的数量开始。幸运的是,这个过程的对称线和崩溃的增加开始只有5号重复的过程。从7号开始在数轴上,一般来说,集体开始减少数量大于集体增加,除了那些开始袭击前的对称线数字减少发生,例如,开始在Collatz数字,使主要分支树(参见图1)5、21、85、5461、等,符合理论1。
示例7(9999年开始奇数)。递增Collatz函数 ,一旦产量14999除以2。这是增加的数量增长50%。三次重复这个过程但除以2,你得到3749.75。这是一个的数量开始减少约62%。显然,减少比例大于数量开始增加的百分比与Collatz猜想。
8。与广义Collatz功能
许多广义Collatz函数讨论了文献[4- - - - - -8]。广义Collatz等功能 和 甚至有概率分布的元素而言,除2;即。,inspection of Table1显示功能 每四个连续整数偶数了偶数序列以50:50的比例除2不止一次而不是一次。同样的功能 间隔为7个连续整数。因此,检查这些功能的差异,我们必须计算的相对频率分裂2造成的兴起开始数量而不是那些有助于其下行。这里注意到,与函数 ,除2不同有助于开始数的增加或减少对其他广义函数;即。,besides the fact that you multiply the start number by 5 instead of 3, division by 2 once as well as twice with the function 导致的兴起开始数量及其过程,然后产生一个方程的系数更大比的函数 导致函数的散度。
的问题。为什么不是函数 最终达到提升的对称线轨迹和1崩溃吗?
的答案。所有的偶数对称线属于函数的元素从所有的偶数自扣除1不会产生奇怪的评估为0的整数( )。
9。唯一的琐碎Collatz函数的周期是1-4-2-1
很容易证明周期1-4-2-1是唯一Collatz微不足道的周期函数。
引理8。让是任何积极的奇数。那么只有微不足道的Collatz函数的周期是1-4-2-1。
证明。这个方程 描述了一个简单的周期是一个整数,2 =数量的分歧。解收益率 为正整数解,必须是2,必须是1, 必须是4。这是因为如果 ,表达式的收益率分数,如果 ,表达式收益率负值。这使得 方程的唯一解,1号开始。
10。非平凡的嵌套循环
Collatz猜想禁止循环在Collatz树除了底部的树干,清晰的图1。开始在任何时候在树上,Collatz函数允许过程只在一个方向上从一个点到另一个地方去另一个支行支行导致主要分支和主干循环1-4-2-1最后崩溃。全球Collatz猜想由嵌套轨迹序列定义的轨迹开始奇数 , 序列函数必须成为周期的结束数等于一开始数对于任何 和 。
Collatz推测表明,不存在一个嵌套循环的开始等于最终数字。这可能不是任何相对较小程度的广义局部嵌套函数,根据推测,禁止返回相同的不同数量1开始。因为我们假定函数头随机行为非常快,我们可以假设小程度的确定性函数不追溯到同一个开始点击某个周期数的整数序列相同的推理有高概率的随机样本分布的大量元素,达到相同数量有一个非常低的概率的两倍。
在比较函数 没有Collatz树的树干上的元素,因此它的任何周期必须最后一个奇数1(见图1),这个函数 元素在树干上,1如果发生崩溃,函数的轨迹到达主干在琐碎的循环周期1-4-2-1。两个已知周期的 是17-27-43-17和17-27-43-17。了更高程度的混乱的向上和向下的函数(与函数 开始与一开始奇数列13 Collatz树指定的函数,然后其他列之间的交替,这里81和33第二周期,并返回的列13号开始(见图1)。任意数量的四个数字可以开始和结束的数字。显然,所涉及的三列必须包含元素的函数间隔足够宽的轨迹回到相同的列(树枝)开始。广义函数 统计学上有更大的几率比推出后开始分支 因为曲折的程度对其发射分支更高,因为它有一个更广泛的间距(乘以5)以及除2两次以及导致的增加的功能,而不是只除2一次导致函数的数量开始增加 。总的来说,概率,它似乎不存在禁止非平凡周期函数 。
11。结论
的收敛过程 2功能是证明对其元素36通过识别的功能甚至是正整数序列产生一个整数的除法的50:50的概率2不止一次与他们的部门2一旦比例约为3:1。对于任何积极的奇数,集体部门2不止一次,一共的数量开始减少函数的轨迹被发现超过总部门产生的数量开始增加2次。全球减少到一个事件过程表明系统匹配一个偶数的对称线和崩溃1和循环周期1-4-2-1,假设收益率没有其他周期函数。
数据可用性
使用的数据来支持本研究的结果大多是可用的文本。任何进一步的数据可能被要求从相应的作者。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
作者感谢帮助和鼓励他收到王子穆罕默德·本·法赫德大学。
引用
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