光滑的内核圆形密度函数的估计:到正交多项式在单位圆上的连接

文摘

圆形核密度估计量,包装柯西内核,来源于经验的版本Caratheodory函数在文献中使用的正交多项式在单位圆上。结果之间的等效圆形核密度估计,傅里叶级数密度估计量,也已建立。这进一步增加了重量包装柯西分布的相当大的作用在循环统计数据。

1。介绍

考虑一个绝对连续(对勒贝格测度)圆形密度 , ;也就是说,是周期, 在文献中建模循环数据,从古典文献学Mardia [1Fisher)标准文本,如(2),Jammalamadaka和森古普塔(3],和Mardia Jupp [4随着许多推理问题]覆盖参数的模型。最近各种替代这些经典的参数模型,表现出不对称性和多峰性,研究了关于他们的数学特性和拟合优度一些真实数据;看到安和保斯[5],琼斯和保斯[6],加藤和琼斯[7],加藤和琼斯[8),明和Farnum9),清水和丽达(10]。

阐述了在Nunez-Antonio et al。11),循环数据具有高偏态和峰态和多峰性等特点在很多情况下,例如,临床心电向量图的数据方向(见唐斯(12]),风的方向(见费雪和李13]),和动物方向(见奥利维拉et al。14])。这些数据不是由标准的参数模型,以及安装和在这种情况下,半参数或非参数建模可能被认为是更合适的。

Fernandez-Duran [15和穆尼等。16)认为是圆形的建模数据的半参数模型基于混合循环正常,·冯·米塞斯的分布而大厅et al。(17和白等。18)考虑非参数核密度估计的数据范围和费舍尔(19)和泰勒(20.)考虑循环数据的核密度估计。而费舍尔(19)线性数据使用的内核适应循环数据的背景下,泰勒(20.]·冯·米塞斯使用圆形分布代替线性内核中使用古典自然保持周期性的核密度估计在生成的密度估计。最近,Di Marzio et al。21,22]提供了一个理论依据圆形核密度估计,考虑到非参数核密度估计的一般设置维环;的特殊情况 提供了圆形核密度估计,描述如下。

给定一个随机样本 从密度(1),圆形核密度估计量是由 在哪里 是一个圆形的内核在哪里是一个集中参数和是指方向。注意,一个圆形的内核通常选择一个圆形密度、单峰和对称绕着它意味着方向是零,它的特点是浓度参数平滑的控制量(见,例如,Di Marzio et al。21,22]详情)。经典圆内核的例子包括·冯·米塞斯密度和包裹正常和包裹柯西分布的密度。

在这个报告中我们考虑循环使用包装柯西核密度估计量是由内核 在哪里 我们表明,它来源于经验的版本Caratheodory函数,用于文学在单位圆上正交多项式。我们还表明,这种方法会导致傅里叶级数密度估计;但是不需要截断的系列。

节2,一些基本结果从文献正交多项式在单位圆上了,然后估算的策略介绍了。这反过来产生循环核密度估计的非参数(3)。的细节部分3。在下一节中描述的傅里叶级数估计量显示的是相当于圆核密度估计(2)当包裹柯西内核采用一种限制。

2。在正交多项式在单位圆了一些初步的结果

让开单位圆盘, 在复平面,让是一个连续测量的边界上定义 ,也就是说,圆 。这一点 将会由 为 , 和 关闭将用

定义1。一个多项式序列上定义是正交的关于波莱尔测量吗 ,如果他们满足 在哪里 为 它等于0,否则。

这些多项式的重要性是有界函数的近似上定义的单位圆表示(见Cantero和Iserles [23]) 在哪里 在这里是指的复共轭 。读者被称为优秀的书的主题由西蒙(正交多项式在单位圆上的24]。我们将使用这个结果近似下面的定义,

上面的函数是一个“特殊功能”,被称为Caratheodory功能,起着重要的作用在单位圆上研究正交多项式的定义(见西蒙(24),页25)。正交的扩张关于基础是由(见和西蒙的25]) 在哪里 是三角的圆形分布密度的时刻 。被积函数在(8)涉及到函数 这被称为复杂的泊松理论内核的复杂的分析。与包装的关系柯西内核在于 为 和 ,““表示真正的部分。上面的函数被称为真正的泊松内核和显然相关包装柯西内核

一个标准导致复杂的分析,被称为泊松表示(见([24),27页)),说如果分析在附近吗 ,与真实的,然后 , 这种表示方法导致结果(见(2)节西蒙的24勒贝格乙醯])。 存在,

3所示。光滑的圆形密度估计来自的估计量

识别的表达式的期望 ,它是由经验版本 因此我们可以定义一个估计量出于 ,身份(15)和(16),如

现在,我们表明,上述估计量是相同的形式的圆形密度估计(3)。认识到, 在哪里 ;然后使用(12),我们有 因此 这是相同的形式如(3)。

4所示。一个连接的循环密度估计傅里叶级数估计量

的正交级数在(9)可能直接用于定义一个估计量 。这种方法还提供了相同的估计量推导出在前一节中显示如下。估计系数 , ,通过 的估计量是由 用表达式代替从(22),我们可以写 这是一样的吗在(19)。

方程(9)可用于推导出傅里叶级数估计量。读者可以Efromovich [26傅里叶级数密度估计量的详细信息)。删除无限求和(9在一些大型索引 ,我们有一个估计量 在这里根据某些标准选择,例如,集成的平方误差降到最低。读者可以Efromovich [26]。因此我们有两个对比情况;在一个我们必须选择在其他情况下,我们必须选择一个合适的浓度参数 。数字技术,第二个选择,也就是说,圆形核密度估计,可能被认为是更合适的。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

作者还想承认部分支持NSERC,加拿大,通过发现格兰特作者。

引用

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