一个样本的随机性的方法基于其弱遍历性限制

文摘

对于一个波兰波莱尔的样本空间场满射可测量的变换,我们定义一个等价关系在采样点根据其遍历限制平均水平。我们表明,这种等价关系分区采样点的可衡量的不变子集,子集,每个极限分布是独特的遍历概率测度定义在每组。结果表明一些自然对象的模型概率定常现象独特的遍历概率空间中。由于获得的结果在本文中,我们提出一个概念的随机性弱于最近斯诺随机性方法。

1。介绍

理解随机性几种方法已经开展的意义。其中一些包括柯尔莫哥洛夫(1],Martin-Lof [2),Zvonkin和莱文3斯诺],[4和其他很多。

在最初的尝试,研究人员试图找出当一个数字序列是随机的。数字的顺序或计算机生成的数据序列所产生的一种算法,似乎表现出一个“随机行为”最初的问题。在任何情况下,序列的元素 或研究人员想给标准序列“随机决定。“一般情况下,样本空间,允许波兰空间结构和一个满射转换(转移转换)拥抱有趣的案例。

在本文中,我们表明,样本空间的自然方法是考虑所有样本描述相同的物理定常现象。我们会证明这种方法允许一个更丰富的概率结构。后者为随机性引入了一个不同的观点,在某种程度上是等价的,如果他们两个样本对象描述相同的概率现象(稍后我们确定精确的方式),因此,我们给另一个答案的问题试图定义随机性。

遍历性定理和遍历性分解定理激励我们的定义。事实上,我们的方法与灰色(5)和扩展了盾牌的一些结果6]。最近的一些工作研究遍历理论之间的关系和随机性V 'yugin [7),广汽et al。8],Galatolo et al。9]。

布林斯力Birkhoff-Kinchin遍历定理(见[10),如果是一个衡量保护变换定义概率空间 和 是一个可积随机向量,那么 在哪里 是不变集的字段(下)。另一种解释这一事实,我们定义为每一个 由此可见, 定义了一个内核(有限), 是一个遍历测量。此外对于任何可测量的随机向量 比尔科夫遍历定理意味着无论何时是一个遍历测量转换和保存是一个可积随机向量存在一组吗 与 这样,对于

使用的术语广汽et al。8),如果满足(4),据说是典型的可观察到的 。此外,如果最后方程适用于任何有界连续函数 ,然后据说是典型。后者相当于弱收敛的 。审查在弱收敛看到布林斯力[11]。此外,如果是典型的任何有效的遍历满射变换,然后据说是典型的。有效的遍历转换的定义见广汽et al。8]。

对于任何可计算的测量 ,上定义 ,波莱尔场 ,V 'yugin [7显示任何Martin-Lof随机序列 是典型的。审查Martin-Lof随机性看到Martin-Lof [2]。Galatolo et al。9]概括可计算的概率空间和最后的结果可计算的多个目标。讨论的定义和后果的可计算的概率,空间看到广汽et al。8]。

此外广汽et al。8]斯诺随机性的概念扩展到可计算的概率空间,他们表明,斯诺随机性的想法是弱于Martin-Lof随机性在这种背景下的概念。斯诺随机性的定义见斯诺(4]。广汽et al。8)还显示,任意可计算的概率空间 空间没有原子 斯诺随机当且仅当吗是典型的混合自同态 。

在本文中,我们获得另一种随机性的方法。假设 波兰是一个空间,与度量 ,并假设波莱尔场 在 。而且假设测量保护转换上定义 。对于大多数问题找到一个合理的定义随机假设是充分的 是实值序列的样本空间的度量 转变,变换 和流程的顺序 和概率独立的具有相同的分布定义为 对所有 波莱尔集。

的帮助下遍历分解定理(见命题1)可能表明存在一组 与 在那里,对于任何 , 概率收敛的措施吗弱,极限分布是一个遍历性不变的概率测度 在 。

后者认为,在某种程度上精确的定理3,只有样品描述物理现象(那些遍历限制是一个“合理”的概率)应考虑作为任何物理“合理概率空间的样本。“这也是明显,如图所示的定理3可以建立更强的理论,如果不考虑其他样品。

我们建议划分样本空间根据他们的弱遍历限制:假设一个可测量的空间 如上所述,假设一个满射可测函数 。我们定义一个等价关系 ,通过 敌我识别任何有界连续函数 如果 我们说有相同的随机类型的 。很明显是一个等价关系元素 。此外,如果 弱, 然后 弱,如果是一个空不变的概率(见定义2),那么这是一个不变的概率(参见定理3)。

我们注意到的弱收敛的要求 作为 概率测度是很自然的。后者是因为任何概率空间上定义一个波兰空间测量保护转换几乎所有提到的弱收敛(见命题1)。的情况下 我们说随机的类型 是 。

本文的主要贡献是定理3。大致说来,定理3指出,任何合理的空间划分为不重叠的子空间,在每个子空间的统计行为,所有的点是相同的,而这些空间有一个简单的统计结构(它们独特的遍历)。事实上盾牌(6I.4][部分。c]提出的有限字母表( 对于一些),因此各态历经的分解定理,这种分解是很自然的。

由于定理3,对于任何物理“合理概率空间”的样本描述物理现象(那些遍历限制是一个“合理”的概率)已经足够作为样本空间的实现研究物理现象(其他实现不必要的)。

在当前事务,待任何示例实现概率空间和统计应用程序中,只有一个有限的设置的值观察到,由于我们的技术限制(需要收集数据的时间是有限的)。因此,假设任何 属于样本空间(例如 )是技术假设它是动力,只要提供了丰富的和一致的理论。但是我们表现定理3获得更丰富的理论是如果我们限制样本空间一个是谁的弱遍历限制空不变的概率。获得实现建模结构源自于这样一个事实:极限概率描述物理现象的独特的遍历。

因此,我们的结论建议进一步研究指出考虑独特的遍历概率空间自然空间任何物理建模的定常现象。

同时,由于定理3,结果广汽et al。8),自然的定义是随机的 弱收敛于一个空不变的遍历测量(见定义2)。事实上,它遵循随机性延伸到无法计算概率空间的定义,并通过广汽et al。8)可计算的概率空间概念的随机性是弱于斯诺随机性(因此低于Martin-Lof随机性)。

在我们的方法,我们不考虑任何可能的混合自同态。与现有的方法我们修复一个满射变换 。我们的方法适用于任何波兰空间,它适用于任何概率测度(而不是可计算的概率空间)。

保持开放的问题包括研究的后果概率空间作为独特的遍历空间建模。的随机性,它仍然是开放的研究定义的离散序列随机性模型non-ergodic相关流程和随机性定义为函数在一个区间的定义(遍历和non-ergodic例)。最后,它仍然开放提供特定序列是随机的(或极限分布是一个特定的分布),并提供序列是随机的例子在这个意义上我们给本文并不是随机斯诺意义上(因此不是随机的Martin-Lof意义上)。

2。随机性

第一个主张说,在“合理的空间,任何合理的物理实现,总是遍历平均收敛的弱遍历性不变的措施。

命题1。假设一个保测变换定义在一个概率空间 ,在那里 波兰是一个空间, 是波莱尔字段。让是不变集的字段(对)。定义 由(2)。
存在一组 与 在任何 , 概率收敛的措施吗弱遍历性不变的概率测度 在哪里常规条件概率内核对吗各态历经的分解定理。

证明。假设是可数的密集的子集 。我们注意到的类集与理性有限十字路口的球的半径为中心的点是一个可数名词系统与 。让是可数字段生成的 。通过遍历分解定理存在一组 ,与 这样, , 在哪里 是相对应的遍历性不变的概率测度正则条件概率内核对吗各态历经的分解定理。
假设一个开集 ,然后存在 , ,在那里 可以认为分离集 为每一个 。因此,对于 第二个平等是绝对收敛的哪里 平等,第三是费托引理。最后的结果是布林斯力混合定理(见[11])。

后者主张表明,任何合理的物理实现( ),遍历的平均水平 是收敛的弱遍历不变的概率测度。事实证明,一个较弱的概念不变性足以描述任何合理的限制遍历性行为“物理实现。”

定义2。给定一个可测量的空间 和一个满射转换 ,我们说一个概率测度上定义是一个空不变的概率如果 意味着 。

命题的条件下1我们获得必要的概率的极限要求空不变。在定理3我们证明后者条件是充分的需求限制概率不变的概率测度弱收敛。

在接下来的定理,我们证明了任何物理“合理概率空间”的实现(或样品)描述物理现象(那些遍历限制是合理的。“概率)足够的样本空间的实现来研究物理现象(其他样品是不必要的)和那些实现(或样品)分区整个空间据他们描述的物理现象。此外,我们表明,当我们限制这些样本描述相同的物理现象(那些限制遍历性行为是相同的),定义的数学结构空间更丰富的概率(在某种意义上,空间是唯一不变的)。上述结论做一个强项考虑唯一不变的概率空间自然空间物理建模的定常现象。

定理3。假设一个可衡量的满射函数 定义在一个可测量的空间 ,在那里 是波兰和空间 是波莱尔场,是度量的是一个完整的可分空间。让 和假设 弱,是一个空不变的概率。然后是一个不变的概率测度定义 。此外,如果 然后是一套可衡量的不变 在此,要么 或 和是各态历经的敌我识别 。此外,存在一个可数在任何开放的元素可以写成一个可数联盟的 ,这样,对于任何 , , (特别是 )。
此外,如果是一个遍历概率测度只有一个遍历吗上的不变测度 (即,)。

证明。让是一个可数的密集的子集 。为每一个 ,定义是一个可数集球的中心 ,半径为 当 这样 ,因为 ,在那里 , ,表示给定的边界 。一组与标准参数所需的属性存在。让生成的字段 。显然任何打开的设置可以写成一个可数联盟中的元素 。的多用途的定理 对于任何 。
对于任何设置 ,很明显 ,从类的集合 是一个系统包含自是一个空不变的概率,它遵循Dynkin的吗定理 对于任何 ,证明是不变的。
很明显 ,对于任何 ,因此使用Dinkyn定理的限制措施和是一样的,证明吗 。我们也注意到, ,如果 就是这样一个元素 ,然后 ,对于任何 ,然后由Dynkin定理 证明 。接下来,我们证明是一个可测集。对于后者,让 的枚举 。定义 通过 然后通过合并定理 ,在那里 被定义为 ,因此是可以衡量的。
各态历经的分解定理,存在一个内核 并设置 ,与 为所有的属性 对所有 , 是一个遍历测量, 在哪里是限制的和是不变集的字段(下)。因此,对于 自类集 在哪里 是一个系统,Dynkin的定理, , 。特别是 ,证明 或 。
假设 ,然后遍历的分解定理,存在一组在哪里 和 , ,因为 在哪里 遍历。由此可见,遍历。
最后假设 ,假设一个遍历概率测度在 。很明显,可以扩展到 ,在一个自然的方式 。我们也表示扩展 。此外,扩展遍历。各态历经的分解定理,它遵循 此前, , 和Dinkyn的定理 在 ,因此 在 。

可能最有趣的结果以前的定理是一致收敛的遍历所有采样点平均值。如果是一个紧集,连续有界函数吗上定义(诱导拓扑),对所有 统一在 。后者是Oxtoby定理的内容(12(定理6.19)。

定理的结果3,对于任何 ,是各态历经的敌我识别 已经观察到的有限字母表的盾牌(6][节I.9.b]。事实上盾牌(6I.4][部分。c和I.9。b]表明类似的方法在有限字母表,尽管没有获得独特的遍历性。

最后我们遵守一些基本事实的定义。

命题4。假设一个可测量的空间 和一个满射转换 ;然后:(我)如果是周期性的在这个意义上,存在与 ,以期(即, ,然后 ),是有限集上的概率测度支持。(2)如果存在 这样 ,然后 。特别是它是不可能告诉一组有限的价值任何有关的分布信息 。(3)对于任何 , 。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

引用

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