随机模型传染性函数在无限易感个体的人口

文摘

两个随机模型研究过程中瞬态行为的传染性在无限总人口易感个体的发展。蔓延的条件密度函数包含两个组件:一个是由于外部资源,另一种是每一个感染者的贡献在本质上是不稳定的。感染者的数量的统计特征在任何时候明确。模型参数的估计是还表示。

1。介绍

传染病影响公共健康,因此一个国家的进步在几个方面。疾病,如流感、肠胃炎在人类禽流感,口蹄疫疾病在动物中是一个伟大的公众关注的问题。面对这样的新出现的疾病,时间是本质的发展和实施干预措施。能够预测瞬时传染性函数(感染人口)由这样的流行对干预设计至关重要。随机建模的传染病是唯一有效的工具可用于健康规划者最佳干预设计和实施。

从Kermack和麦肯德里克1)在《英国皇家学会学报》发表了他们的经典,有各种方法来描述传染病的传播的动力学。它们包括随机舱模型、条件强度模型(2,3)、仿真模型、推理模型(4),蒙特卡罗方法(5),和爵士模型(6- - - - - -9]。最近,李代数方法用于研究susceptible-infected-susceptible (SIS)流行病模型(10,11]。

Kermack和麦肯德里克1模型的特点是确定性方程: 在哪里代表易感个体的数量。这个模型是完全的特征和功能和这个函数外模型可能与时间有关的感染源或代表流行的历史时间为零。这个函数描述一个人的传染性感染他的年龄的函数以来,即时间的那一刻自己的感染。

Gielen [12)提出了一个自然随机版本上面的模型。他发现他的模型填补了贝利的简单的随机流行病模型之间的差距13)(这是获得的特殊情况Kermack和McKendrik传染性时的模型参数和是常数)和Reed-Frost模型12)(当功能和狄拉克δ函数)。Gielen [14上面)进一步提出一个有趣的模型,一个小流行易感个体的人口众多。这个模型可以被视为直接随机版本的Keyfitz [15]确定性模型,由更新方程: 在哪里表明感染个体的数量在一个无限易感个体的人口。Gielen [14)显式地派生感染个体的数量的概率分布,用他到达一些有趣的结果。然而,分布的表达式感染性涉及个体的数量倍积分可以在最好的情况下被认为是一个正式的解决方案,而不是用于显式的评价。因此,数量分布的统计特征是非常重要的在最优决策问题在一般情况下不能到达。当前工作的目的之一是分析的随机版本Keyfitz模型(15),获得明确的统计特征的感染性个体数量无限的人口。

传统的传染病模型假定传染率依赖于人群中的感染者的数量,从而暗中假设所有人表现出相同的模式的传染性。然而,这不是在现实导致传染性函数的概念。传染性函数感染的力量在任何时间吗这是敏感的概率/单位时间都会被感染。动态扩散模型,传染性功能影响内生和外生因素潜在的感染。提出的随机感染模型本文感染的条件密度函数分割成流行和非平稳的流行组件。后者,在我们的模型中,疾病的传播是通过人接触和提供了一个描述保存时间由于每一个感染者。流行的组件模型输入性病例,并与流行的组件。感染者的数量是建模为一个点的过程,其强度函数依赖于过程本身,从而提供一个更有效的模型来捕获蔓延现象。感染者从我们获得的平均数量随机流行病模型,对特殊情况时的地方病和流行病组件强度函数是常数,满足Keyfitz更新方程(2)。Gielen随机版本的Keyfitz模型预测的负二项分布感染者的数量(见[14)具有相同的意思是验证我们的方法。提出制定足够广泛的处理各种各样的传染性的疾病进展模型不同内部和外部因素,包括埃博拉病毒病(EVD)生成一个大流行在西非和世界的其他地方16,17]。

摘要组织如下。在下一节中,我们提出两个随机模型:第一个是一个流行的模型,在这个模型中,每个人感染从外部源贡献一个随机的传染性的传染性(或传染性函数),减少以恒定速度在时间。总传染性出席任何时间感兴趣的是数量的统计特征。第二个模型捕获流行病地方病和流行病组件的强度函数。受感染的人的数量的统计特征明确。部分3提供了一个讨论开发模型以及模型的极大似然估计参数。

2。这些模型

在本节中,我们提出一个地方病和流行病的动态随机模型来描述疾病易感个体的人口众多。

2.1。一个流行的模型

我们假设起源的时候,有无限多的易感个体。易得病的可能感染之后,它被列为感染。假设随机变量表示之间的时间两个连续感染指数分布和感染是由于感染源以外的人口。我们的利益是分析传染性的总力的统计特征在任何时间出现在人口由于感染,直到所有的时间在这方面,贡献由于感染时由两部分组成,一个离散跳吗和一个非平稳的组件。因此在任何时候传染性的力量可以写成: 在哪里是感染的数量,直到时间吗

从我们的假设,很容易看到泊松过程。为了推导出概率的频率函数的马尔可夫过程我们定义 Chapman-Kolmogorov向后方程收益率 我们假定

上述方程简化后的收益率 与初始条件 应用傅里叶变换 (两边6),我们得到 上面的偏微分方程(7)可以解决给解决方案: 现在可以很容易地通过反相(6)为特定的函数形式。在上述模型中,我们假定每个受感染的个人的贡献力的传染性是相同的常数然而在实践中,这可能不是如此。因此如果我们假设跳”“是一个随机变量的概率密度,然后在这种情况下,可以获得与上述模型进行小的修改。向后方程(3)现在降低 和相应的方程应用傅里叶变换后双方的证明 现在让 这只不过是随机变量的特征函数和使用(13)(12我们获得 因此我们获得 可以通过反相(15)函数的具体形式

2.2。流行病模型

在早期的流行模型中,假设的传播感染是由于外部只有当每一个感染源贡献的非平稳输入的力量感染。目前部分发展流行病模型,由于外部源传播以及通过传染感染人群。而不是感染者的数量,我们使用更现实的力量感染的概念。因此在任何时候感染的数量点过程的条件密度函数包括地方病和流行病的贡献。更具体地说,我们假设一个条件强度的函数形式 上面的表格是出于以下解释。条款上的皇家可以解释如下:强度函数它由两部分组成:(1)外部的感染发生在一个恒定速率。(2)传染率由于已感染者由一个常数跳当时的感染以恒定速率衰减这样贡献有效的蔓延速度由于感染时是因此感染率的净贡献由于之前所有的感染是 率可以被解释为一个速率瞬时跳减少由于干预行动。

让的概率是有一个值之间和在时间编写向前方程, 上面的方程是通过指出的速度降低感染率的规定 因此,(18)减少 让 (20.)减少 与初始条件 让和解决(22),我们得到 当,所以第二项的贡献的传染率是不存在的,只有外在因素存在,我们获得和模型的假设是一致的。

从解决方案,我们能够获得期望的感染者数量。我们注意到,产品密度的感染之一(即秩序。之间,概率感染发生和),是直接由 因此,预期的感染人数是由 以类似的形式,写方程满足的条件密度函数代表的概率有一个值之间和在时间考虑到它的价值和在时间和最初产品密度,得到二阶然后使用的关系 我们获得一些计算后上述方程的显式表达式,我们不给他们漫长而笨拙。

3所示。讨论

我们提出了两种随机模型的动力学分析疾病的传播。该模型的核心是感染的力量。每个受感染的个人贡献一个非平稳的词总力的感染。这包括一个离散的瞬间跳上感染可确定性或随机响应函数。受感染的人的数量的统计特征从有条件获得强度函数。开发模型在文献中包含一些有趣的模型可用。

在流行病模型,让在(16),这样对强度的贡献函数只是从外部源的速度的均值和方差,我们注意到感染者的数量是相等的表明感染根据泊松过程的速度增长。另一方面让这对强度的贡献函数从外部来源和感染者是常数和域的分别,我们一个简单的随机流行病[13,14]。在这种情况下,我们的模型预测 ,Gielen14)显示了感染者的数量负二项分布具有相同的意思。在这种情况下的概率1,最终有无限多的感染性。也意味着数量的感染性个人获得使用我们的模型满足更新方程(2Keyfitz)的确定性模型(15]。

与通常的记号,susceptible-infected-recovered的方程(先生)模型给出 这些方程假设感染者在利率引起感染和恢复率,给人一种指数分布感染持续时间。显然是无记忆的过程。相比之下,现实生活中的情况下,疾病的“年龄”一个人的感染会影响他/她的传染性,因此复苏的概率。因此,我们的模型可以形象地表现为超越无记忆的政权。

Gielen [14),在他的模型中,考虑了强度的函数形式 在这种情况下,总贡献传染性函数由外部源和一个感染性整个感染期间,分别给出了 这两个量是无量纲。如果然后,概率,终于有无限多的次品这种情况在我们的模型中(见8页纸,14])。然而Gielen的模型,它是可能的和在这种情况下,有一个非零概率感染可能不会开始这无限的感染性个人最终的概率是有缺陷的概率。在我们的模型,我们开始阻止这一情况的发生。

在我们的流行模式,让和在哪里狄拉克δ函数,我们注意,每个感染传染性的力量,增加一个单位。这反映在我们得到最终的解决方案 因此我们得出一个泊松过程的感染。在流行模型中,传染性的贡献力量只能来自外部源。如果我们进一步假设也感染发生由于已经被感染的人,但这样的感染者从池中移除的感染,感染的概率将受感染的人口是由 这可以确认订单的产品密度,即因此感染者的预期时间是 而预期数量的感染者由于外部来源

最后,我们想要提到的有用的工具计划需要在设计干预措施是估计模型的参数值。为了估计模型的参数,和,我们需要的函数 订单的产品密度是哪一个这个函数可以作为似然函数指定感染发生的概率在假定的值和尽管这样一个函数可以获得,它可能不是在实际使用的价值由于其笨拙的形式。因此我们做出合理的近似 估计的参数和收益率最大似然参数和鲁宾(提出的,通过使用方法18]和Ozaki [19]。

本文概括的随机版本Kermack, Gielen McKendrick模型(14)通过考虑总传染性的瞬态行为存在于无限的人口易感个体。一个值得注意的方面是概率分布的显式解析表达式和统计特征的感染者的数量。提出的模型也可以解决使用李代数方法寻找分析解决方案。该模型可能是有用的在传染性为了澄清理论概念,感染的力量,为了比较不同传染病如埃博拉病毒的传染性疾病。提出了未来工作进行具体的统计分析和参数估计使用真实数据流行性疾病。

相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突。

确认

作者感谢教授Alagar Rangan建设性的评论和相当大的支持在这个项目上访问期间所de哥伦比亚。

引用

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